Part 01
연립방정식
Concept
연립방정식이란?
두 미지수 x, y에 대한 두 개의 일차방정식을 동시에 만족시키는 x, y의 값을 구하는 것.
가감법: 두 방정식을 더하거나 빼서 한 미지수를 없앰.
대입법: 한 방정식을 x=… 또는 y=… 꼴로 정리 후 다른 방정식에 대입. ax + by = c
dx + ey = f → x, y를 동시에 구하기
가감법: 두 방정식을 더하거나 빼서 한 미지수를 없앰.
대입법: 한 방정식을 x=… 또는 y=… 꼴로 정리 후 다른 방정식에 대입. ax + by = c
dx + ey = f → x, y를 동시에 구하기
가감법: 계수 맞추고 → 더하거나 빼기 → 한 미지수 소거!
대입법: 간단한 쪽을 먼저 y= 로 정리 → 쏙 집어넣기!
대입법: 간단한 쪽을 먼저 y= 로 정리 → 쏙 집어넣기!
1
다음 연립방정식을 가감법으로 풀어라.
x + y = 7
x − y = 3
x − y = 3
(1) 두 식을 더해서 구한 x의 값
(2) x 값을 이용해 구한 y의 값
변형 문제
연립방정식 2x + y = 11, x + y = 7 을 가감법으로 풀어라.
힌트: 두 식을 빼면 x가 남는다. x = ?, y = ?
힌트: 두 식을 빼면 x가 남는다. x = ?, y = ?
2
다음 연립방정식을 대입법으로 풀어라.
y = 2x − 1
3x + y = 9
3x + y = 9
(1) y = 2x − 1을 대입하면 3x + ( ) = 9. 괄호 안에 들어갈 식
(2) x와 y의 값을 순서대로 입력 (예: 2,3)
변형 문제
y = x + 3, 2x + y = 12 를 대입법으로 풀어라.
힌트: 2x + (x+3) = 12 → 3x = 9 → x=3, y=6
힌트: 2x + (x+3) = 12 → 3x = 9 → x=3, y=6
3
계수를 맞춰서 연립방정식을 가감법으로 풀어라.
2x + 3y = 12
4x − y = 2
4x − y = 2
(1) y를 소거하기 위해 두 번째 식에 곱해야 할 수
(2) 풀었을 때 x의 값
(3) y의 값
변형 문제
3x + 2y = 10, x − 4y = −6 을 가감법으로 풀어라.
힌트: x 소거 위해 두 번째 식에 3을 곱한 뒤 빼거나, 또는 y 소거 전략 선택.
힌트: x 소거 위해 두 번째 식에 3을 곱한 뒤 빼거나, 또는 y 소거 전략 선택.
4
어른 2명과 어린이 3명의 입장료 합계는 13,000원이고,
어른 1명과 어린이 2명의 입장료 합계는 8,000원이다.
어른 한 명의 입장료를 x원, 어린이 한 명의 입장료를 y원이라 할 때,
어른 1명과 어린이 2명의 입장료 합계는 8,000원이다.
어른 한 명의 입장료를 x원, 어린이 한 명의 입장료를 y원이라 할 때,
(1) 두 조건을 연립방정식으로 세우면 (두 번째 식의 y계수)
(2) 어른 1명의 입장료 (단위: 원)
(3) 어린이 1명의 입장료 (단위: 원)
변형 문제
연필 3자루와 볼펜 2자루의 값은 2,600원, 연필 1자루와 볼펜 1자루의 값은 1,000원일 때 각각의 가격을 구하여라.
힌트: 연필=x, 볼펜=y / 3x+2y=2600, x+y=1000
힌트: 연필=x, 볼펜=y / 3x+2y=2600, x+y=1000
5
다음 연립방정식을 풀어라.
0.4x + 0.3y = 2.1
x + y = 6 ※ 소수·분수가 포함된 연립방정식: 먼저 정수 계수로 변환하라!
x + y = 6 ※ 소수·분수가 포함된 연립방정식: 먼저 정수 계수로 변환하라!
(1) 첫 번째 식의 양변에 곱해야 할 수 (정수화)
(2) 두 번째 식의 양변에 곱해야 할 수 (소수 소거를 위해)
(3) x, y의 값을 순서대로 입력 (예: 2,3)
변형 문제
0.3x + 0.4y = 2, (1/3)x + (1/6)y = 1 을 정수로 바꿔서 풀어라.
Part 02
연립방정식 활용
전략 포인트
활용 문제 세우는 법
① 무엇을 x, y로 놓을지 명확히 정의
② 조건 2개 → 방정식 2개 → 연립
③ 속력 문제: 거리 = 속력 × 시간
④ 농도 문제: 소금량 = 농도(%) ÷ 100 × 용액량
② 조건 2개 → 방정식 2개 → 연립
③ 속력 문제: 거리 = 속력 × 시간
④ 농도 문제: 소금량 = 농도(%) ÷ 100 × 용액량
활용 문제의 핵심: 단위 통일! (km→km, 분→분) 그리고 "합이 있으면 +" "차이가 있으면 −"
6
A가 시속 4 km로 걷고 B가 시속 12 km로 자전거를 타면, 같은 지점에서 반대 방향으로 출발한 지 1시간 후에 두 사람의 거리는 16 km가 된다.
(1) 1시간 후 A가 이동한 거리 (km)
(2) A+B의 이동 거리 합이 16이 되려면 B의 속력은? (km/h)
변형 문제
두 사람이 같은 지점에서 같은 방향으로 출발할 때, 속력이 각각 시속 3km, 시속 7km라면 2시간 후 두 사람의 거리 차는?
7
두 자리 자연수가 있다. 각 자리의 숫자의 합이 9이고, 십의 자리와 일의 자리를 바꾸면 원래 수보다 27 크다고 한다.
(1) 십의 자리를 a, 일의 자리를 b라 할 때, 원래 수를 식으로?
(2) 두 번째 방정식 (자리 바꿨을 때)을 세우면?
(3) 원래 두 자리 수는?
변형 문제
각 자리의 숫자의 합이 11이고, 십의 자리와 일의 자리를 바꾸면 원래 수보다 45 크다고 할 때 원래 수는?
Part 03
일차부등식
Concept
부등식의 성질 핵심
부등식 양변에 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 바뀐다!
예) 3 > 2 → 3 × (−1) = −3, 2 × (−1) = −2 → −3 < −2
ax > b 에서 a < 0 이면 x < b/a (부등호 뒤집기!)
예) 3 > 2 → 3 × (−1) = −3, 2 × (−1) = −2 → −3 < −2
ax > b 에서 a < 0 이면 x < b/a (부등호 뒤집기!)
음수 곱하면 = 부등호 방향 뒤집기! (양수는 그대로, 음수는 뒤집어!)
이것만 절대 잊지 말 것 — 시험에서 가장 많이 틀리는 포인트!
이것만 절대 잊지 말 것 — 시험에서 가장 많이 틀리는 포인트!
8
다음 일차부등식을 풀고 수직선 위에 나타낼 때 올바른 방향을 고르라.
3x − 2 > 7
(1) 부등식을 풀면 x의 범위는?
(2) 수직선에서 x=3을 포함하는가? (포함하면 ●, 미포함은 ○)
변형 문제
2x + 5 ≥ 11 을 풀어 수직선에 나타내어라.
힌트: ≥ 는 x=3 포함 (●), > 는 미포함 (○)
힌트: ≥ 는 x=3 포함 (●), > 는 미포함 (○)
9
다음 부등식을 풀어라.
−2x + 5 ≥ 11
※ 음수로 나눌 때 부등호 방향 주의!
(1) −2x ≥ 6 이 될 때, 양변을 −2로 나누면 부등호 방향은?
(2) 최종 답 (x의 범위)
변형 문제
−3x + 2 > −7 을 풀어라.
힌트: −3x > −9 → 음수로 나누므로 부등호 뒤집기 → x < 3
힌트: −3x > −9 → 음수로 나누므로 부등호 뒤집기 → x < 3
10
한 개에 800원인 물건을 x개 사고, 500원짜리 물건을 2개 샀더니 전체 금액이 5,000원 이하였다.
(1) 부등식으로 나타내면?
(2) x의 최댓값 (자연수)
변형 문제
1,200원짜리 음료를 x개, 500원짜리 과자를 3개 사는 데 10,000원 이하로 사려면 음료를 최대 몇 개 살 수 있는가?
11
집에서 학교까지의 거리는 2.4 km이다. 분속 60 m로 걷다가 지각할 것 같아 분속 120 m로 뛰었더니 30분 이내에 도착하였다. 뛴 거리를 x m라 할 때,
(1) 걸은 거리는? (m)
(2) 걸린 시간 부등식을 세우면? (분 단위)
(3) 최소 몇 m 이상을 뛰어야 하는가?
변형 문제
집에서 도서관까지 3 km. 분속 50 m로 걷다가 분속 100 m로 뛰었더니 40분 이내에 도착. 뛴 거리는 최소 몇 m?
Part 04
일차함수와 그래프
핵심 개념
일차함수 y = ax + b
기울기(a): x가 1 증가할 때 y가 a만큼 변화. 그래프 방향 결정
y절편(b): 그래프가 y축과 만나는 점 (0, b)
x절편: y=0을 대입해 x 값 계산
기울기 공식: 두 점 (x₁,y₁), (x₂,y₂) → a = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) y = ax + b (a ≠ 0)
y절편(b): 그래프가 y축과 만나는 점 (0, b)
x절편: y=0을 대입해 x 값 계산
기울기 공식: 두 점 (x₁,y₁), (x₂,y₂) → a = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) y = ax + b (a ≠ 0)
기울기 a > 0 → 오른쪽 위로 / a < 0 → 오른쪽 아래로
y절편은 "x=0 넣기", x절편은 "y=0 넣기" — 무조건 이것만!
y절편은 "x=0 넣기", x절편은 "y=0 넣기" — 무조건 이것만!
12
일차함수 y = 3x − 6 에 대하여
(1) 기울기는?
(2) y절편은?
(3) x절편은? (y=0 대입)
변형 문제
y = −2x + 8 의 x절편, y절편, 기울기를 구하여라.
13
두 점 (1, 3)과 (4, 9)를 지나는 일차함수의 식을 구하여라.
(1) 기울기 a = (9−3)/(4−1) = ?
(2) y절편 b = ? (y = 2x + b에 점 (1,3) 대입)
(3) 일차함수의 식은? (숫자만: 예 y=2x+1 → 2,1 입력)
변형 문제
두 점 (−1, 5), (3, −3)을 지나는 일차함수의 식을 구하여라.
14
일차함수 y = ax + b의 그래프가 점 (2, 5)와 점 (0, −1)을 지난다.
(1) y절편 b의 값은? (힌트: 점 (0, −1)이 지난다)
(2) 기울기 a = ? (점 (2,5)를 y = ax−1에 대입)
변형 문제
그래프가 (−2, 7)과 (0, 3)을 지날 때, 기울기와 y절편을 각각 구하고 일차함수의 식을 써라.
15
두 일차함수 y = 2x + 3과 y = ax + b에 대하여
(1) 두 그래프가 평행하려면 a와 b의 조건은?
(2) 두 그래프가 일치(완전히 겹침)하려면?
변형 문제
y = −3x + 5 와 평행하면서 점 (1, 2)를 지나는 일차함수의 식을 구하여라.
Part 05
일차함수와 연립방정식
핵심 연결고리
연립방정식의 해 = 두 그래프의 교점!
두 일차함수 y=f(x), y=g(x)의 교점의 좌표 = 연립방정식의 해
교점이 1개 → 해가 1쌍 / 평행 → 해 없음 / 일치 → 해가 무수히 많음
교점이 1개 → 해가 1쌍 / 평행 → 해 없음 / 일치 → 해가 무수히 많음
그래프 교점 찾기 = 두 식 연립해서 풀기!
평행(해 없음): 기울기 같고 y절편 다름
일치(무수히 많음): 기울기도 y절편도 같음
평행(해 없음): 기울기 같고 y절편 다름
일치(무수히 많음): 기울기도 y절편도 같음
16
두 일차함수 y = x + 2와 y = −x + 6의 그래프의 교점을 구하여라.
(1) 두 식을 연립하면 x의 값은?
(2) 교점의 좌표 (x, y)를 순서대로 입력
변형 문제
y = 2x − 1 과 y = −x + 5 의 교점을 구하여라.
17
물이 가득 찬 수조에서 1분마다 3 L씩 물을 빼낸다. 처음 물의 양은 60 L이다.
x분 후 남은 물의 양을 y L라 할 때,
x분 후 남은 물의 양을 y L라 할 때,
(1) y를 x의 함수로 나타내면?
(2) 물이 모두 없어지는 시간은 몇 분 후인가?
(3) 10분 후 남은 물의 양은 몇 L인가?
변형 문제
빈 수조에 1분마다 5 L씩 물을 채운다. 최대 용량이 80 L라면 몇 분 후에 가득 차는가? 또한 12분 후 수조의 물의 양은?
18
연립방정식 ax + y = 5
x − by = 3 의 해가 x = 2, y = 1일 때,
x − by = 3 의 해가 x = 2, y = 1일 때,
(1) 첫 번째 식에 x=2, y=1 대입 → a의 값은?
(2) 두 번째 식에 x=2, y=1 대입 → b의 값은?
(3) a + b의 값은?
변형 문제
2x + ay = 8 과 bx − y = 5 의 해가 x=3, y=2일 때 a, b를 구하고 a×b를 구하여라.
19
일차함수 y = −2x + 6의 그래프와 x축, y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하여라.
(1) x절편 (y=0 대입)
(2) y절편 (x=0 대입)
(3) 삼각형 넓이 = (1/2) × 밑변 × 높이 = ?
변형 문제
y = (1/2)x − 4 의 그래프와 x축, y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는?
20
연립방정식 2x − y = 1
x + y = 5 의 해가 두 직선의 교점이다.
교점에서 x좌표와 y좌표를 이용하여 아래 물음에 답하여라.
x + y = 5 의 해가 두 직선의 교점이다.
교점에서 x좌표와 y좌표를 이용하여 아래 물음에 답하여라.
(1) 연립방정식의 해 (x, y)
(2) 교점을 지나고 기울기가 −1인 일차함수의 y절편은?
(3) 이 일차함수의 식을 쓰면? (기울기,y절편 순으로 입력 예: -1,5)
변형 문제
3x + y = 7, x − 2y = −4 의 해를 구하고, 그 교점을 지나면서 y = 2x + b의 꼴인 일차함수의 식을 구하여라.