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다항식의 곱셈과 인수분해
핵심 개념 01
곱셈 공식 4가지
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a−b)² = a² − 2ab + b²
(a+b)(a−b) = a² − b²
(x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab
부호 조심! (a−b)²는 가운데 −2ab. 합차공식은 가운데 항이 사라진다!
Q 01
기초
곱셈 공식완전제곱식
다음을 전개하시오.
(x + 5)²
※ 전개한 결과를 내림차순으로 쓰세요.
정답 선택 (가장 가까운 것 고르기)
🔀 변형 문제
(2x + 3)² 을 전개하면?
힌트: a=2x, b=3으로 놓고 공식 적용 → 4x²+12x+9
Q 02
기초
합차공식
(x + 7)(x − 7) 을 전개하면?
정답 선택
🔀 변형 문제
101×99 를 합차공식으로 계산하면? (= (100+1)(100−1))
답: 100²−1 = 9999
Q 03
중간
곱셈 공식 응용계산 활용
곱셈 공식을 이용하여 계산하시오.
98² = (100 − 2)²
정답 선택
🔀 변형 문제
103² 를 곱셈 공식으로 계산하면?
(100+3)² = 10000+600+9 = 10609
핵심 개념 02
인수분해 공식
a² + 2ab + b² = (a+b)²
a² − 2ab + b² = (a−b)²
a² − b² = (a+b)(a−b)
x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)
인수분해 = 곱셈공식의 역방향! 공통인수 먼저, 그 다음 공식 적용.
완전제곱식 판별: 상수항의 제곱근의 2배 = 일차항 계수면 완전제곱!
Q 04
기초
인수분해공통인수
다음을 인수분해하시오.
x² − 9
정답 선택
🔀 변형 문제
4x² − 25 를 인수분해하면?
(2x+5)(2x−5) — a=2x, b=5
Q 05
중간
인수분해이차식
다음을 인수분해하시오.
x² + 5x + 6
정답 선택
🔀 변형 문제
x² − 7x + 12 를 인수분해하면?
곱이 12, 합이 −7인 두 수: −3과 −4 → (x−3)(x−4)
Q 06
고난도
인수분해서술형완전제곱식 판별
다음 식이 완전제곱식이 되도록 □ 안에 알맞은 양수를 구하시오.
x² + □x + 36
풀이 과정을 단계별로 쓰세요: ① 완전제곱식 조건 ② □값 계산
정답 선택 (□ 값)
🔀 변형 문제
x² + □x + 49 가 완전제곱식이 되려면 □는?
√49=7 → □=2×7=14 → (x+7)²
2
이차방정식
핵심 개념 03
이차방정식 풀이 3가지 방법
① 인수분해법: ax²+bx+c=0을 인수분해 후 각 인수=0
② 제곱근 이용: x²=k 이면 x=±√k
③ 근의 공식:
x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
판별식 D = b²−4ac: D>0 → 두 근, D=0 → 중근, D<0 → 근 없음
Q 07
기초
이차방정식인수분해법
이차방정식을 인수분해로 푸시오.
x² − 5x + 6 = 0
두 근의 합 = ?
🔀 변형 문제
x²−5x+6=0의 두 근의 곱은?
2×3=6 (상수항과 같음!)
Q 08
기초
제곱근 이용
다음 이차방정식을 푸시오.
(x − 3)² = 16
큰 근의 값은?
🔀 변형 문제
(x+2)² = 25를 풀면?
x+2=±5 → x=3 또는 x=−7
Q 09
중간
근의 공식서술형
근의 공식을 이용하여 이차방정식을 푸시오.
x² + 2x − 8 = 0
a=1, b=2, c=−8 로 놓고 근의 공식 x=(−b±√(b²−4ac))/2a 적용
두 근은?
🔀 변형 문제
x² − 3x − 10 = 0 의 두 근은?
인수분해: (x−5)(x+2)=0 → x=5 또는 x=−2
Q 10
중간
판별식근의 개수
다음 이차방정식의 근의 개수를 구하시오.
x² − 6x + 9 = 0
판별식 D = b²−4ac를 계산하세요.
근의 개수는?
🔀 변형 문제
x² + 2x + 5 = 0 의 근의 개수는?
D = 4−20 = −16 < 0 → 근 없음(실수 범위)
Q 11
고난도
활용 문제서술형연속 자연수
연속하는 두 자연수의 곱이 56일 때, 두 수 중 큰 수를 구하시오.
풀이 단계: ① 미지수 설정 ② 방정식 세우기 ③ 인수분해 ④ 조건 확인 (자연수)
큰 수는?
🔀 변형 문제
연속하는 두 자연수의 제곱의 합이 61일 때, 두 수는?
x²+(x+1)²=61 → 2x²+2x−60=0 → x²+x−30=0 → (x+6)(x−5)=0 → x=5 → 5,6
3
이차함수
핵심 개념 04
이차함수의 표준형과 그래프
y = a(x−p)² + q
• 꼭짓점: (p, q)
• 축: x = p
• a>0 이면 아래로 볼록 (최솟값 q)
• a<0 이면 위로 볼록 (최댓값 q)
• |a|가 클수록 폭이 좁아짐
꼭짓점 (p, q) 읽을 때: x−p에서 p의 부호 반대로! y=a(x−3)²+2 → 꼭짓점 (3,2)
Q 12
기초
이차함수꼭짓점
이차함수의 꼭짓점 좌표를 구하시오.
y = 2(x − 3)² + 5
꼭짓점은?
🔀 변형 문제
y = −3(x+2)² − 1 의 꼭짓점은?
x+2 = x−(−2) → 꼭짓점 (−2, −1)
Q 13
중간
이차함수축의 방정식최솟값
이차함수 y = x² − 4x + 7 에 대한 설명으로 옳은 것을 고르시오.
표준형으로 변환 후 답하세요: y = (x−p)² + q 형태로
최솟값은?
🔀 변형 문제
y = x² − 6x + 11 의 꼭짓점은?
(x−3)²+2 → 꼭짓점 (3, 2)
Q 14
중간
이차함수 그래프평행이동
이차함수 y = x²의 그래프를 x축 방향으로 2, y축 방향으로 −3 만큼 평행이동한 함수는?
이동한 함수는?
🔀 변형 문제
y=(x−1)²+4를 x축 방향 −3, y축 방향 2 이동하면?
y=(x−1−3)²+4+2 = (x+2)²+6
Q 15
고난도
이차함수조건 적용서술형
꼭짓점이 (1, −4)이고, 점 (3, 4)를 지나는 이차함수의 식을 구하시오.
① 표준형 y=a(x−p)²+q 로 놓기 ② 꼭짓점 대입 ③ 지나는 점 대입하여 a 결정
이차함수의 식은? (a 값은?)
🔀 변형 문제
꼭짓점 (2, 3)이고 점 (4, 11)을 지나는 이차함수는?
11=a(4-2)²+3 → 8=4a → a=2 → y=2(x-2)²+3
4
통계 · 확률
핵심 개념 05
도수분포와 대푯값
평균 = (각 계급의 중앙값 × 도수)의 합 / 전체 도수
상대도수 = 각 계급 도수 / 전체 도수
계급의 중앙값 = (계급의 하한 + 상한) ÷ 2
상대도수의 합은 항상 1! 백분율로 나타내면 합 = 100%
Q 16
중간
도수분포표평균
다음 도수분포표에서 평균을 구하시오.
| 점수(점) | 도수(명) | 중앙값 |
|---|---|---|
| 40이상~60미만 | 2 | 50 |
| 60이상~80미만 | 6 | 70 |
| 80이상~100이하 | 2 | 90 |
| 합계 | 10 |
평균(점)은?
🔀 변형 문제
위 표에서 60점 이상인 학생의 상대도수는?
(6+2)/10 = 0.8
Q 17
기초
확률기본
주사위를 한 번 던질 때, 3의 배수가 나올 확률은?
확률은?
🔀 변형 문제
주사위를 두 번 던져 눈의 합이 7이 될 확률은?
합이 7: (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) → 6/36 = 1/6
Q 18
고난도
인수분해 활용수의 계산서술형
인수분해를 이용하여 다음을 계산하시오.
2026² − 2024²
곱셈 공식 a²−b²=(a+b)(a−b)를 이용하세요.
계산 결과는?
🔀 변형 문제
53² − 47² 를 인수분해로 계산하면?
(53+47)(53−47) = 100×6 = 600
Q 19
고난도
융합 문제이차함수 x절편서술형
이차함수 y = x² − 6x + 8의 x절편을 모두 구하시오.
x절편: y=0으로 놓고 이차방정식 풀기
x절편의 합은?
🔀 변형 문제
y = x² − 5x + 4 의 x절편은?
(x−1)(x−4)=0 → x=1, x=4
Q 20
최고난도
이차함수 활용최댓값/최솟값서술형
어떤 물체를 위로 던졌을 때, t초 후의 높이(m)가 다음과 같다.
h = −5t² + 20t + 5
① 최고 높이는 몇 m인지 구하시오.
② 최고 높이에 도달하는 시각 t를 구하시오.
② 최고 높이에 도달하는 시각 t를 구하시오.
풀이: 표준형 변환 후 꼭짓점의 y좌표가 최댓값
최고 높이(m)는?
🔀 변형 문제
h = −t² + 6t + 2 에서 최고 높이와 그 때의 t는?
= −(t−3)²+11 → t=3초, 최고 11m