중3 수학
서술형
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📚 중학교 3학년 1학기 기말고사
서술형
만점
을 위한
단계별 완전 정복
기초 개념부터 실전 난이도까지, 20문제로 흐름을 완전히 잡는다. 각 문제에는
초간단 암기포인트
가 함께 제공된다.
전체
다항식의 곱셈
인수분해
이차방정식
통계
📌 핵심 공식 암기카드
이것만 외우면 절반은 끝!
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a−b)² = a² − 2ab + b²
(a+b)(a−b) = a² − b²
(x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab
ax² + bx + c = 0 → x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
인수분해: 공통인수 먼저 → 공식 적용
🧠
서술형 채점 포인트:
① 식 세우기 ② 풀이 과정 ③ 단위·검토 — 이 3단계를 반드시 쓸 것!
LEVEL 1 · 기초개념
쉬움
1
다항식의 곱셈
기초
4점
합의 제곱 공식
🧠
암기포인트:
(a+b)² = a² +
2ab
+ b² — 가운데
2ab
를 빠뜨리는 게 1등 실수!
다음을 전개하시오.
(x + 3)²
를 전개하면?
①
a², 2ab, b² 각각 무엇인가?
a = x, b = 3 일 때,
2ab
의 값은?
A
6x
B
3x
C
2x
D
9x
②
최종 전개식
(x + 3)²를 전개한 결과를 입력하시오. (예: x²+6x+9)
확인
2
다항식의 곱셈
기초
4점
차의 제곱 공식
🧠
암기포인트:
(a−b)² = a² − 2ab + b² — 부호!
가운데만 마이너스
, 마지막 b²는 플러스!
(2x − 5)²
를 전개하시오.
①
−2ab 계산
a = 2x, b = 5 일 때,
−2ab
는?
A
−20x
B
−10x
C
20x
D
−5x
②
완성된 전개식
(2x − 5)²의 전개 결과를 입력하시오.
확인
3
다항식의 곱셈
기초
4점
합·차의 곱 공식
🧠
암기포인트:
(a+b)(a−b) = a² − b² — 결과에
ab항이 사라진다!
제곱 빼기 제곱만 남음
(3x + 4)(3x − 4)
를 전개하시오.
①
공식 확인
이 문제에서 a, b에 해당하는 것은?
A
a = 3x, b = 4
B
a = 3, b = 4
C
a = x, b = 4
D
a = 3x, b = 16
②
전개 결과
(3x + 4)(3x − 4) = ?
확인
4
인수분해
기초
4점
공통인수 인수분해
🧠
암기포인트:
인수분해 첫 번째 단계 =
공통인수 찾기
. 항마다 공통으로 들어있는 수·문자를 밖으로 꺼낸다!
6x²y − 9xy²
를 인수분해하시오.
①
공통인수는?
6x²y와 9xy²의 최대 공통인수는?
A
3xy
B
6xy
C
3x
D
xy²
②
완전한 인수분해
6x²y − 9xy² 를 완전히 인수분해하면?
확인
5
인수분해
기초
5점
x² + (a+b)x + ab 인수분해
🧠
암기포인트:
x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b) —
합이 계수, 곱이 상수
인 두 수를 찾아라!
x² + 7x + 12
를 인수분해하시오.
①
두 수 찾기
합이 7, 곱이 12인 두 정수는?
A
3과 4
B
2와 6
C
1과 12
D
−3과 −4
②
인수분해 결과
x² + 7x + 12 = ?
확인
6
이차방정식
기초
5점
인수분해로 이차방정식 풀기
🧠
암기포인트:
(x+a)(x+b)=0 → x=−a 또는 x=−b — 괄호 안
부호를 뒤집어서
해!
x² − 5x + 6 = 0
을 풀어라.
①
좌변 인수분해
x² − 5x + 6 을 인수분해하면?
A
(x−2)(x−3)
B
(x+2)(x+3)
C
(x−1)(x−6)
D
(x−2)(x+3)
②
두 해 구하기
방정식의 두 해를 입력하시오. (형식: x=2 또는 x=3)
확인
LEVEL 2 · 중간 난이도
보통
7
다항식의 곱셈
중간
6점
곱셈 공식의 활용 (수의 계산)
🧠
암기포인트:
102² = (100+2)² 처럼
가까운 100의 배수로 변환
하면 계산이 쉬워진다!
곱셈 공식을 이용하여
99 × 101
을 계산하시오. (풀이 과정 포함)
①
어떤 공식을 쓰는가?
99 × 101을 변환하면?
A
(100−1)(100+1)
B
(99+1)²
C
100² − 1² + 99
D
(101−1)²
②
최종 계산값
99 × 101 = ?
확인
8
인수분해
중간
6점
완전제곱식 인수분해
🧠
암기포인트:
a² ± 2ab + b² = (a ± b)² — 첫항·끝항이 완전제곱수이고, 가운데가
2×√첫항×√끝항
인지 확인!
x² − 10x + 25
를 인수분해하시오.
①
완전제곱식 확인
√25 = 5, 2×x×5 = 10x 로 조건이 맞는가?
A
맞다 → (x−5)²
B
아니다 → (x−5)(x+5)
C
(x+5)²
D
(x−25)(x−1)
②
결과 입력
x² − 10x + 25 = ?
확인
9
이차방정식
중간
6점
제곱근을 이용한 이차방정식
🧠
암기포인트:
(x+a)² = b 형태 → x+a = ±√b → x = −a ± √b —
±(플마) 두 개!
하나만 쓰면 감점!
(x − 2)² = 9
를 풀어라.
①
제곱근 취하기
(x−2)² = 9 에서 양변에 제곱근을 취하면?
A
x − 2 = ±3
B
x − 2 = 3
C
x² = 9 + 4
D
x = ±3
②
두 해
두 해를 입력하시오. (형식: x=5 또는 x=-1)
확인
10
이차방정식
중간
6점
근의 공식 적용
🧠
암기포인트:
x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a —
판별식 D = b²−4ac
. D>0이면 두 해, D=0이면 중근!
2x² − 3x − 2 = 0
을 근의 공식으로 풀어라.
①
a, b, c 확인
2x² − 3x − 2 = 0 에서 a, b, c 는?
A
a=2, b=−3, c=−2
B
a=2, b=3, c=2
C
a=1, b=−3, c=−2
D
a=2, b=−3, c=2
②
판별식 D 계산
D = b² − 4ac 를 계산하면?
A
25
B
17
C
−7
D
1
③
두 해 입력
근의 공식으로 구한 두 해는? (형식: x=2 또는 x=-1/2)
확인
11
인수분해
중간
6점
변형
차의 제곱 공식 역 — 인수분해
🧠
암기포인트:
a² − b² = (a+b)(a−b) — 인수분해할 때
두 항 모두 완전제곱수
이고, 마이너스 연결이면 이 공식!
16x² − 49
를 인수분해하시오.
①
a, b 확인
√(16x²) = ?, √49 = ?
A
4x, 7
B
8x, 7
C
4x, 49
D
16x, 7
②
인수분해 결과
16x² − 49 = ?
확인
12
통계
중간
6점
평균과 분산 계산
🧠
암기포인트:
분산 = (각 편차)²의 평균 →
편차 = 변량 − 평균
, 표준편차 = √분산. 순서를 지켜!
자료:
2, 4, 6, 8, 10
① 평균을 구하고, ② 분산을 구하시오.
①
평균
(2+4+6+8+10) ÷ 5 = ?
확인
②
분산
각 편차의 제곱: (2−6)²+(4−6)²+(6−6)²+(8−6)²+(10−6)² 의 평균은?
A
8
B
40
C
10
D
4
13
이차방정식
중간
7점
완전제곱식으로 변환 — 중근 조건
🧠
암기포인트:
중근 조건 =
D = 0
→ b² − 4ac = 0 → k 값 결정. 또는 (x+a)² 꼴이 될 조건으로 접근!
x² + kx + 9 = 0
이 중근을 가질 때, 양수 k 의 값을 구하시오.
①
중근 조건 설정
중근 조건인 D = 0 을 이용하면? (a=1, b=k, c=9)
A
k² − 36 = 0
B
k − 36 = 0
C
k² − 9 = 0
D
k² + 36 = 0
②
양수 k 의 값
양수 k 의 값을 입력하시오.
확인
LEVEL 3 · 실전 난이도
어려움
14
인수분해 활용
실전
8점
인수분해로 수식 계산 간소화
🧠
암기포인트:
복잡한 수 계산 → 인수분해 공식 역방향 적용 → 공통인수 묶기 → 대입.
먼저 식을 인수분해해서 단순화!
인수분해를 이용하여 다음을 계산하시오.
57² − 43²
①
어떤 공식 적용?
a² − b² = (a+b)(a−b) 에서 a=57, b=43 으로 변환하면?
A
(57+43)(57−43) = 100 × 14
B
(57−43)²
C
57² − 43² + 2×57×43
D
(57+43)²
②
최종 계산 결과
57² − 43² = ?
확인
15
이차방정식 활용
실전
8점
도형에서 이차방정식 세우기
🧠
암기포인트:
문제 속 조건을
방정식으로 번역
. 넓이 문제는 "가로×세로=넓이"로 식 세우기. 음수 해는
버린다!
어떤 직사각형의 가로가 세로보다
3cm 더 길고
, 넓이는
40cm²
이다. 세로의 길이를 구하시오.
①
방정식 세우기
세로 = x 로 놓으면, 가로 = x+3. 방정식으로 표현하면?
A
x(x+3) = 40
B
x + (x+3) = 40
C
x² + 3 = 40
D
2x + 3 = 40
②
방정식 풀기 및 검토
x² + 3x − 40 = 0 을 풀어 세로의 길이(양수값)를 입력하시오. 단위 포함!
확인
16
통계
실전
8점
변형
표준편차와 산포도 해석
🧠
암기포인트:
표준편차가
작을수록 평균에 모여있다
(고른 성적), 클수록 분산되어 있다. 서술형에서 "의미 서술"이 핵심!
A반의 수학 점수의 표준편차는
4점
, B반은
8점
이다. 두 반 모두 평균은 70점이다.
① 어느 반이 더 고르게 잘하는가?
② 표준편차가 큰 반이 의미하는 것을 서술하시오.
①
더 고른 반은?
표준편차가 작은 반이 더 고르다. 정답은?
A
A반 (표준편차 4)
B
B반 (표준편차 8)
C
평균이 같으므로 같다
D
판단할 수 없다
②
B반 표준편차 의미
B반의 표준편차가 큰 이유를 설명하는 말로 가장 적절한 것은?
A
점수가 평균에서 많이 떨어져 있어 고르지 않다
B
전체 점수 합이 낮다
C
최고 점수가 낮다
D
평균이 더 낮다
17
이차방정식 활용
실전
8점
연속하는 정수 문제
🧠
암기포인트:
연속 정수 2개 → x, x+1 / 연속 홀수·짝수 2개 → x, x+2 로 설정. 항상
"검토: 조건 맞는지 대입 확인"
을 서술!
연속하는 두 자연수의
곱이 72
일 때, 두 자연수를 구하시오.
①
방정식 세우기
작은 수를 x로 놓으면 방정식은?
A
x(x+1) = 72
B
x + (x+1) = 72
C
x² = 72
D
x(x+2) = 72
②
두 자연수
두 자연수를 입력하시오. (형식: 8과 9)
확인
18
다항식의 곱셈+인수분해
실전
9점
복합형
치환을 이용한 인수분해
🧠
암기포인트:
복잡한 식 → 반복되는 부분을
A로 치환
→ 인수분해 → 다시 원래 식으로 복원. 치환은 계산을 단순하게!
(x+1)² − 5(x+1) + 6
을 인수분해하시오.
①
치환 설정
A = x+1 로 치환하면 식은?
A
A² − 5A + 6
B
A² − 5A − 6
C
A − 5A + 6
D
A² + 5A + 6
②
A로 인수분해
A² − 5A + 6 을 인수분해하면?
A
(A−2)(A−3)
B
(A+2)(A+3)
C
(A−6)(A+1)
D
(A−1)(A−6)
③
원래 식으로 복원
A = x+1 을 다시 대입한 최종 인수분해 결과는?
확인
19
이차방정식 활용
실전
9점
수의 관계 활용 — 심화
🧠
암기포인트:
"어떤 수의 제곱" → x² / "어떤 수보다 k 큰 수" → x+k. 조건을 등호(=)로 연결해서 방정식 완성!
어떤 양수를 제곱한 값은 그 수보다
12 크다
. 이 양수를 구하시오.
①
방정식 세우기
양수를 x로 놓으면?
A
x² = x + 12
B
x² + x = 12
C
x² = 12x
D
x = x² + 12
②
방정식 풀고 양수 선택
x² − x − 12 = 0 을 풀어 양수 해를 입력하시오.
확인
20
종합 서술형
최고 난이도
10점
★최종보스
이차방정식 — 실생활 종합 서술형
🧠
암기포인트:
서술형 채점 기준 = ①
식 세우기(3점)
+ ②
풀이 과정(4점)
+ ③
답·검토(3점)
. 과정 없으면 감점!
지면으로부터
h = −5t² + 20t
(m) 높이에서 공이 날아간다. (t: 초)
① 공이
다시 지면에 떨어지는 시각
t를 구하시오.
② 공의 높이가
15m
가 되는 순간의 t 값을 모두 구하시오.
①
지면에 떨어지는 시각
h = 0 을 놓으면: −5t² + 20t = 0. 이를 인수분해하면?
A
−5t(t − 4) = 0
B
−5(t² − 4t) = 0 만 인수분해
C
t² − 4t = 0 → t(t−4)=0
D
5t(t − 4) = 0
②
지면 도달 시각 (t>0)
t = 0은 처음 시각, 다시 지면에 떨어지는 시각은? (숫자만)
확인
③
h = 15m 되는 시각
−5t² + 20t = 15 → 정리하면 t² − 4t + 3 = 0. 두 해는?
확인
🎉
--
점
완주 달성!
수고했어요! 틀린 문제는 다시 복습해보세요.
🔄 처음부터 다시 풀기