중3-1 수학 기말고사 완전정복
서술형 대비 · 기초→실전 20제
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기말고사 대비

개념부터 실전까지
한 번에 끝내자

기초 개념 → 중간 → 실전 난이도까지
20문제로 만점 완성

전체
소인수분해
정수와 유리수
문자와 식
일차방정식
좌표와 그래프
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🌱 기초 개념

1
소인수분해
★☆☆ 기초
⬜
⚡ 초간단 암기포인트

소수 = 1과 자기 자신만으로 나누어지는 수 (2, 3, 5, 7, 11…)
소인수분해 = 소수들의 곱으로 나타내기 → 나무처럼 계속 나누자!

72를 소인수분해하시오.
다음 물음에 답하시오.
(1) 소인수분해 결과를 거듭제곱으로 나타내시오.
72 = ?
💡 풀이
72 ÷ 2 = 36 → 36 ÷ 2 = 18 → 18 ÷ 2 = 9 → 9 ÷ 3 = 3 → 3 ÷ 3 = 1
∴ 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²
(2) 72의 소인수를 모두 구하시오.
💡 풀이
72 = 2³ × 3² 이므로 소인수는 2와 3
2
소인수분해
★☆☆ 기초
⬜
⚡ 초간단 암기포인트

약수의 개수: \(a^m \times b^n\) 꼴 → (m+1)(n+1)개
약수의 개수 = 지수에 각각 1씩 더한 후 곱하기!

\(2^3 \times 3^2\)의 약수의 개수를 구하고, 가장 큰 약수를 쓰시오.
(1) 약수의 개수는?
💡 풀이
지수가 3, 2이므로 약수의 개수 = (3+1)×(2+1) = 4×3 = 12개
(2) 가장 큰 약수는?
💡 풀이
가장 큰 약수 = 자기 자신 = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72
🔄 변형 문제
\(2^2 \times 5^3\)의 약수의 개수는? → (2+1)(3+1) = 12개
3
정수와 유리수
★☆☆ 기초
⬜
⚡ 초간단 암기포인트

절댓값 = 수직선 위에서 원점까지의 거리 (항상 0 이상!)
\(|양수| = 양수\), \(|음수| = -음수\), \(|0| = 0\)

다음 물음에 답하시오.
(1) \(|-7|\)의 값은?
💡 풀이
절댓값은 부호를 제거한 값. \(|-7| = \)7
(2) 절댓값이 5인 수를 모두 쓰시오.
💡 풀이
\(|x| = 5\)이면 \(x = 5\) 또는 \(x = -5\)
원점에서 거리가 5인 수는 5와 -5 두 개
4
정수와 유리수
★☆☆ 기초
⬜
⚡ 초간단 암기포인트

음수 나눗셈: 부호 먼저, 크기 나중!
(−) × (−) = (+), (−) × (+) = (−)
나누기도 같은 규칙 적용!

다음을 계산하시오.
(1) \((-3) \times (-4) + (-6) \div 2\) = ?
💡 풀이
\((-3)\times(-4) = +12\)
\((-6)\div 2 = -3\)
\(12 + (-3) = \)9
(2) \((-2)^3 \div (-4)\) = ?
💡 풀이
\((-2)^3 = -8\)
\(-8 \div (-4) = +2 = \)2
⚠️ \((-2)^3\)과 \(-2^3\)은 달라요! \((-2)^3 = -8\), \(-2^3 = -(2^3) = -8\) (이 경우는 같음)
5
문자와 식
★☆☆ 기초
⬜
⚡ 초간단 암기포인트

동류항 = 문자와 차수가 같은 항 → 계수끼리만 더하기
\(3x + 2x = 5x\) (○), \(3x + 2x^2\) → 동류항 아님 (×)

\(3x + 2y - x + 4y\)를 간단히 하시오.
(1) \(x\)의 계수는?
💡 풀이
\(3x - x = 2x\) → \(x\)의 계수는 2
(2) 간단히 한 식을 쓰시오.
💡 풀이
\(3x + 2y - x + 4y = (3-1)x + (2+4)y = \)2x + 6y
6
일차방정식
★☆☆ 기초
⬜
⚡ 초간단 암기포인트

일차방정식 풀기 3단계:
① 이항 (부호 바꿔서 옮기기)
② 동류항 정리
③ 양변을 계수로 나누기

\(3x - 5 = x + 7\)을 풀어라.
(1) \(x\)항을 좌변으로, 상수항을 우변으로 이항하면?
💡 풀이
\(3x - x = 7 + 5\) → \(2x = 12\)
(2) \(x\)의 값은?
💡 풀이
\(2x = 12\) → \(x = 6\) → 검산: \(3(6)-5 = 13 = 6+7\) ✓
7
좌표와 그래프
★☆☆ 기초
⬜
⚡ 초간단 암기포인트

좌표 (x, y): x 먼저, y 나중
1사분면(+,+) 2사분면(-,+) 3사분면(-,-) 4사분면(+,-)
암기법: "오른위·왼위·왼아·오른아"

점 \(A(-3, 2)\), 점 \(B(4, -1)\)에 대해 답하시오.
(1) 점 A는 몇 사분면에 있는가?
💡 풀이
\(A(-3, 2)\): x = 음수, y = 양수 → 제2사분면
(2) 점 B는 몇 사분면에 있는가?
💡 풀이
\(B(4, -1)\): x = 양수, y = 음수 → 제4사분면

🔥 중간 난이도

8
소인수분해
★★☆ 중간
⬜
⚡ 초간단 암기포인트

최대공약수(GCD): 공통 소인수 × 작은 지수
최소공배수(LCM): 모든 소인수 × 큰 지수
GCD × LCM = 두 수의 곱

\(24 = 2^3 \times 3\), \(36 = 2^2 \times 3^2\)일 때 다음에 답하시오.
(1) 두 수의 최대공약수는?
💡 풀이
GCD = \(2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = \)12
공통 소인수의 작은 지수 선택!
(2) 두 수의 최소공배수는?
💡 풀이
LCM = \(2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = \)72
검산: GCD × LCM = 12 × 72 = 864 = 24 × 36 ✓
9
정수와 유리수
★★☆ 중간
⬜
⚡ 초간단 암기포인트

혼합 계산 순서: ①거듭제곱 ②괄호 ③×÷ ④+−
음수 부호: 괄호 밖 (−)는 괄호 안 부호를 모두 바꿔!

\(\left(-\dfrac{3}{4}\right) \times 8 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 \times 12\)를 계산하시오.
(1) \(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2\)의 값은?
💡 풀이
\(\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = (-\frac{1}{2})\times(-\frac{1}{2}) = +\frac{1}{4}\)
(음수)²는 항상 양수!
(2) 최종 계산값은?
💡 풀이
\(= (-\frac{3}{4})\times 8 - \frac{1}{4}\times 12\)
\(= -6 - 3 = \)-9
10
문자와 식
★★☆ 중간
⬜
⚡ 초간단 암기포인트

괄호 앞 (−): 괄호 안 부호 전부 바꾸기!
\(-(a-b) = -a+b\)
괄호 앞 숫자: 괄호 안 모두 곱하기

\(2(3x - 1) - 3(x - 2)\)를 간단히 하시오.
(1) 분배법칙 적용 후 식은? (괄호 제거)
💡 풀이
\(2(3x-1) = 6x-2\)
\(-3(x-2) = -3x+6\) ← (−)×(−2) = +6
합치면 6x-2-3x+6
(2) 동류항 정리 후 최종 답은?
💡 풀이
\((6x-3x) + (-2+6) = \)3x + 4
11
일차방정식
★★☆ 중간
⬜
⚡ 초간단 암기포인트

분수 포함 방정식 → 양변에 분모의 LCM 곱하기
소수 포함 방정식 → 양변에 10, 100… 곱하기

\(\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{x+3}{4}\)를 풀어라.
(1) 양변에 4를 곱하면?
💡 풀이
양변 × 4: \(\frac{x-1}{2}\times 4 = \frac{x+3}{4}\times 4\)
→ \(2(x-1) = x+3\)
(2) \(x\)의 값은?
💡 풀이
\(2x - 2 = x + 3\) → \(2x - x = 3 + 2\) → \(x = \)5
검산: 좌변 \(\frac{4}{2}=2\), 우변 \(\frac{8}{4}=2\) ✓
🔄 변형 문제
\(\frac{x+1}{3} = \frac{x-1}{2}\)를 풀면? → 양변 ×6: \(2(x+1)=3(x-1)\) → \(2x+2=3x-3\) → x = 5
12
일차방정식 활용
★★☆ 중간
⬜
⚡ 초간단 암기포인트

활용 문제 3단계: ①구하는 것을 x로 ②식 세우기 ③풀고 검산
연속하는 정수: \(n, n+1, n+2\) / 연속 홀수·짝수: \(n, n+2, n+4\)

연속하는 세 정수의 합이 48일 때, 가장 큰 수를 구하시오.
(1) 세 수를 \(x-1, x, x+1\)이라 할 때, 방정식을 세우면?
💡 풀이
\((x-1)+x+(x+1) = 3x = 48\)
(2) 가장 큰 수는?
💡 풀이
\(3x = 48\) → \(x = 16\)
세 수: 15, 16, 17 → 가장 큰 수 = 17
검산: 15 + 16 + 17 = 48 ✓
13
좌표와 그래프
★★☆ 중간
⬜
⚡ 초간단 암기포인트

정비례 \(y = ax\): 원점을 지나는 직선
반비례 \(y = \dfrac{a}{x}\): 원점에 대칭인 쌍곡선
\(a > 0\): 1, 3사분면 / \(a < 0\): 2, 4사분면

\(y = \dfrac{3}{x}\)에 대해 답하시오.
(1) 이 관계는 정비례인가, 반비례인가?
💡 풀이
\(y = \frac{a}{x}\) 꼴 → 반비례
(2) \(x = -1\)일 때 \(y\)의 값은?
💡 풀이
\(y = \frac{3}{-1} = \)-3
따라서 점 \((-1, -3)\)은 제3사분면에 위치
14
소인수분해 심화
★★☆ 중간
⬜
⚡ 초간단 암기포인트

\(N \times k = \)(완전제곱수)가 되려면
→ 소인수분해 후, 지수가 홀수인 것만 골라 곱하면 k!

\(180 \times k\)가 어떤 자연수의 제곱이 되도록 하는 가장 작은 자연수 \(k\)를 구하시오.
(1) 180을 소인수분해하면?
💡 풀이
180 = 2 × 90 = 2 × 2 × 45 = 4 × 9 × 5 = 2² × 3² × 5
(2) 가장 작은 \(k\)의 값은?
💡 풀이
2² × 3² × 5 에서 지수가 홀수(1)인 소인수 = 5
5를 곱하면 → 2² × 3² × 5² = (2×3×5)² = 900 = 30² ✓
∴ k = 5
🔄 변형 문제
\(48k\)가 완전제곱수 → 48 = 2⁴×3 → 지수 홀수인 소인수 = 3 → k = 3

🏆 실전 · 서술형

15
방정식 활용 · 속도
★★★ 실전
⬜
⚡ 초간단 암기포인트

거리 = 속도 × 시간 (거속시 삼각형!)
시간 = 거리 ÷ 속도, 속도 = 거리 ÷ 시간
⚠️ 단위 통일 필수: km/h, m/min 등

집에서 학교까지 시속 4 km로 걸어가면 시속 12 km로 자전거를 탈 때보다 20분 더 걸린다. 집에서 학교까지의 거리를 구하시오.
(1) 거리를 \(x\) km로 놓으면, 방정식으로 올바른 것은?
💡 풀이
20분 = \(\frac{20}{60} = \frac{1}{3}\)시간
걸어가는 시간 - 자전거 시간 = \(\frac{1}{3}\)
→ \(\frac{x}{4} - \frac{x}{12} = \frac{1}{3}\)
(2) 거리 \(x\)의 값은 몇 km?
💡 풀이
\(\frac{x}{4} - \frac{x}{12} = \frac{1}{3}\) → 양변 ×12
\(3x - x = 4\) → \(2x = 4\) → \(x = \)2 km
🔄 변형 문제
시속 3 km 걷기 vs 시속 9 km 자전거, 30분 차이 → \(\frac{x}{3}-\frac{x}{9}=\frac{1}{2}\) → \(x=\)2.25 km
16
방정식 활용 · 농도
★★★ 실전
⬜
⚡ 초간단 암기포인트

소금의 양 = 소금물의 양 × 농도 ÷ 100
소금의 양은 변하지 않는다! (물만 추가하는 경우)
전후 소금량 같음: \(양_1 \times 농도_1 = 양_2 \times 농도_2\)

10%의 소금물 300 g에 물을 더 넣어 6%의 소금물을 만들려고 한다. 넣어야 할 물의 양을 구하시오.
(1) 처음 소금물의 소금의 양은?
💡 풀이
소금의 양 = \(300 \times \frac{10}{100} = \)30 g
(2) 넣어야 할 물의 양은 몇 g?
💡 풀이
더하는 물의 양 = \(x\) g
소금의 양 일정: \((300+x) \times \frac{6}{100} = 30\)
\(300+x = 500\) → \(x = \)200 g
17
식의 값 · 대입
★★★ 실전
⬜
⚡ 초간단 암기포인트

대입 순서: ①식 정리 ②괄호 씌워 대입 ③계산
음수 대입 시 반드시 괄호: \(x = -2\) → \((-2)\) 로 대입!

\(a = 2, b = -3\)일 때, \(\dfrac{a^2 - b}{a + b}\)의 값을 구하시오.
(1) 분자 \(a^2 - b\)에 대입하면?
💡 풀이
\(a^2 - b = (2)^2 - (-3) = 4 + 3 = \)7
⚠️ \(-b = -(-3) = +3\) 부호 주의!
(2) 최종 값은? (분수 또는 정수로)
💡 풀이
분자: \(4-(-3) = 7\)
분모: \(2+(-3) = -1\)
\(\frac{7}{-1} = \)-7
18
그래프 · 정비례 활용
★★★ 실전
⬜
⚡ 초간단 암기포인트

정비례 \(y = ax\): 점 대입해서 \(a\) 구하기
두 점이 주어지면 한 점을 대입 → \(a\) 계산
그래프가 원점을 지나면 = 정비례!

어떤 정비례 관계 \(y = ax\)의 그래프가 점 \((3, -6)\)을 지난다. 다음에 답하시오.
(1) 상수 \(a\)의 값은?
💡 풀이
\(y = ax\)에 \((3, -6)\) 대입: \(-6 = 3a\) → \(a = \)-2
(2) \(x = 5\)일 때 \(y\)의 값은?
💡 풀이
\(y = -2 \times 5 = \)-10
🔄 변형 문제
반비례 \(y = \frac{a}{x}\)의 그래프가 \((2, -6)\) 통과 → \(a = 2\times(-6) = \)-12
19
방정식 · 자릿수 문제
★★★ 실전
⬜
⚡ 초간단 암기포인트

두 자리 수: 십의 자리 숫자 × 10 + 일의 자리 숫자
십의 자리 = \(a\), 일의 자리 = \(b\) → 수 = \(10a + b\)
자리 바꾼 수 = \(10b + a\)

두 자리 자연수가 있다. 각 자리의 숫자의 합은 9이고, 십의 자리와 일의 자리를 바꾸면 원래 수보다 27이 작다. 원래 수를 구하시오.
(1) 십의 자리를 \(x\), 일의 자리를 \(9-x\)로 놓으면 세울 수 있는 방정식은?
💡 풀이
원래 수 = \(10x + (9-x) = 9x + 9\)
바꾼 수 = \(10(9-x) + x = 90 - 9x\)
바꾼 수 = 원래 수 - 27
→ \((9x+9) - (90-9x) = 27\)
(2) 원래 두 자리 수는?
💡 풀이
\(9x + 9 - 90 + 9x = 27\)
\(18x = 108\) → \(x = 6\)
십의 자리 = 6, 일의 자리 = 3
원래 수 = 63
검산: 63 - 36 = 27 ✓, 6+3 = 9 ✓
20
종합 · 최고난이도
★★★ 실전
⬜
⚡ 초간단 암기포인트

약수 개수로 역추적:
약수 개수 = (a+1)(b+1)… = 주어진 수
→ 가능한 지수 조합 나열 후 가장 작은 수 찾기

약수의 개수가 정확히 6개인 자연수 중 가장 작은 수를 구하시오.
(단, 6개 만드는 지수 조합을 모두 찾아 비교하시오.)
(1) 약수의 개수가 6이 되는 지수 조합 \((a+1)(b+1)=6\)의 경우는?
💡 풀이
6 = 1×6 = 2×3
→ 지수 조합: (0+1)(5+1) 즉 \(p^5\), 또는 (1+1)(2+1) 즉 \(p^2 \times q\)
1×6 또는 2×3
(2) 약수의 개수가 6개인 가장 작은 자연수는?
💡 풀이
경우 ①: \(p^5\) → 가장 작은 것 = \(2^5 = 32\)
경우 ②: \(p^2 \times q\) → 가장 작은 것 = \(2^2 \times 3 = 12\)
12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12 → 6개 ✓
∴ 정답 = 12
🔄 변형 문제
약수의 개수가 8개인 가장 작은 자연수는?
8 = 1×8 = 2×4 = 2×2×2
→ \(p^7\)=128, \(p^3 \times q\)=2³×3=24, \(p \times q \times r\)=2×3×5=30
→ 최솟값 = 24