기초개념부터 실전 난이도까지, 단계별로 쌓아가는 수학 자신감
기약분수의 분모를 소인수분해하여 2와 5만 있으면 유한소수입니다.
① 7/20 → 분모 20 = 2²×5 → 유한소수 ✓
② 5/12 → 분모 12 = 2²×3 → 3이 있으므로 순환소수
③ 9/15 = 3/5 → 분모 5 → 유한소수 ✓ (약분 먼저!)
④ 11/44 = 1/4 → 분모 4 = 2² → 유한소수 ✓
⑤ 3/14 → 분모 14 = 2×7 → 7이 있으므로 순환소수
②와 ⑤가 순환소수이므로 총 2개입니다.
a/42를 유한소수로 나타낼 수 있을 때, 가장 작은 자연수 a의 값은? (단, a는 42와 공약수가 1인 경우 제외)
x = 0.424242...에서 순환마디 길이가 2이므로 양변에 10² = 100을 곱합니다.
100x = 42.4242...
100x − x = 42.4242... − 0.4242... = 42
99x = 42 → x = 42/99 = 14/33
순환소수 1.2̄3̄ = 1.23333...을 분수로 나타내시오. (소수점 아래 첫째 자리는 순환하지 않음에 주의!)
a3 × a5 = a3+5 = a8
a8 ÷ a2 = a8−2 = a6
(2a²b)³ = 2³ × (a²)³ × b³ = 8a⁶b³
⚠️ 실수 주의: 계수 2도 반드시 3제곱!
(−3x2y)2 × 2xy3을 계산하시오. (부호 실수 주의!)
12 ÷ (−3) = −4 (양수 ÷ 음수 = 음수)
12a⁴b³ ÷ (−3a²b) = (12÷(−3)) × a⁴⁻² × b³⁻¹ = −4a²b²
A × 2ab = 6a3b2일 때, 단항식 A를 구하시오.
3×2x = 6x, 3×(−y) = −3y → 6x − 3y
6x−3y − 2x+6y−2 = (6−2)x + (−3+6)y − 2 = 4x + 3y − 2
⚠️ −2(x−3y+1) = −2x+6y−2 부호 주의!
4x − {3y − 2(x + y)}를 간단히 하시오. (중괄호 안 소괄호 먼저!)
3x − x > 7 + 5 → 2x > 12
2x > 12 → x > 6
수직선: 6에 빈 원(○), 오른쪽 방향 화살표
○: 경계 미포함(초과) / ●: 경계 포함(이상, 이하)
−2x + 3 ≥ x − 6을 풀고, 해를 수직선에 나타내시오. (음수 나눗셈 주의!)
연필 x자루, 지우개 (10−x)개
300x + 500(10−x) ≤ 3800
300x + 5000 − 500x ≤ 3800
−200x ≤ −1200
x ≥ 6 (음수로 나누므로 부등호 반전!)
∴ 연필 최솟값: 6자루
어떤 수의 3배에서 4를 뺀 값이 그 수의 2배보다 크다. 이를 만족하는 가장 작은 자연수를 구하시오.
(2x+y) + (x−y) = 7+2
3x = 9 → x = 3
x = 3을 ①에 대입: 2(3)+y = 7 → y = 1
해: (x,y) = (3, 1)
검산: ②에 대입 → 3−1=2 ✓
{ 3x − 2y = 1
{ x + 3y = 11 을 가감법으로 풀어라. (계수를 맞추기 위해 몇 배를 해야 하는가?)
x의 계수: 2와 3의 최소공배수 = 6
①×3: 6x+9y=36
②×2: 6x−4y=10
빼면: 13y=26 → y=2
y=2를 ①에 대입: 2x+6=12 → x=3
해: (3, 2)
검산 ②: 3(3)−2(2)=9−4=5 ✓
{ 0.2x + 0.3y = 1.3
{ x/2 − y/3 = 1/6 을 풀어라. (계수가 소수·분수 → 먼저 정수화!)
인원: x + y = 20
금액: 1200x + 600y = 18000
②식 양변 ÷600: 2x+y=30
①식: x+y=20
빼면: x=10, y=10
검산: 1200(10)+600(10)=12000+6000=18000 ✓
두 자리 수에서 십의 자리와 일의 자리의 합이 9이고, 십의 자리와 일의 자리를 바꾸면 처음 수보다 27 크다. 처음 수를 구하시오.
x절편: y=0 대입 → 0=2x−4 → x=2
y절편: x=0 대입 → y=−4 → y절편: −4
y=2x−4: 기울기 2>0 (↗), x절편(2,0), y절편(0,−4)
지나는 사분면: x>2이면 y>0(1사분면), 0<x<2이면 y<0(4사분면), x<0이면 y<0(3사분면)
→ 제1, 3, 4사분면
두 점 (−1, 5)와 (3, −3)을 지나는 일차함수의 식을 구하시오.
1 = −3(2) + b → 1 = −6 + b → b = 7
y = −3x+7에서 y=0: 0=−3x+7 → x = 7/3
x절편: 7/3
x절편이 4, y절편이 −2인 일차함수의 식을 구하고, 기울기를 구하시오.
교점: y값이 같으므로 2x+1 = −x+4
2x+1=−x+4 → 3x=3 → x=1
y=2(1)+1=3 → 교점: (1, 3)
두 직선 y=ax+3과 y=2x−1의 교점이 (2, k)일 때, a와 k의 값을 각각 구하시오.
기울기 = (190−270)/(7−3) = −80/4 = −20 (L/분)
y = −20x + b에 (3, 270) 대입:
270 = −60 + b → b = 330
처음 물의 양: 330L
위 문제에서 물이 완전히 빠지는 것은 몇 분 후인가? (힌트: y=0 대입)
평행: 기울기 같고, y절편 다를 것
일치: 기울기 같고 y절편도 같음 (평행과 구별!)
a+1 = 2 → a = 1
y절편 조건: 3 ≠ b (평행이므로)
두 직선 y=ax+2와 y=3x+b가 일치(같은 직선)할 때, a+b의 값은?
2x − y = 1 → −y = −2x + 1 → y = 2x − 1
{ 2x−y=1 / { x+y=5 더하면: 3x=6 → x=2
y=5−2=3 → 교점: (2, 3)
세 직선 y=x+1, y=−x+5, x=2가 만드는 삼각형의 넓이를 구하시오.
f(1)=5: a(1)+b = 5 → a+b=5
f(3)=1: a(3)+b = 1 → 3a+b=1
②−①: 2a = −4 → a = −2
b = 5−(−2) = 7
f(x) = −2x+7
검산: f(1)=5 ✓, f(3)=1 ✓
f(x)=−2x+7에서 f(k)=−5일 때, k의 값을 구하시오.
x절편: y=0 → 0=−x+6 → x=6
y절편: x=0 → y=6
밑변 = x절편 = 6, 높이 = y절편 = 6
넓이 = ½ × 6 × 6 = 18
y = 2x + 8의 그래프와 두 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (x절편이 음수임에 주의)
x축에 평행 = 수평선 → 기울기 = 0
y축에 평행 = 수직선 → 기울기 = 정의 안됨
(시험 함정: x축 평행 ≠ y축 평행!)
기울기 0: 2a−4=0 → a=2
y절편 3: b−1=3 → b=4
따라서 y = 3 (상수함수)
y = (a²−9)x + 2의 그래프가 일차함수가 되려면 a의 값의 범위는?
기울기 = (1−7)/(1−(−2)) = −6/3 = −2
1 = −2(1) + b → b = 3
따라서 y = −2x + 3
y=−5를 y=−2x+3에 대입: −5=−2x+3 → x=4
교점 (4, −5)를 y=−x+c에 대입: −5=−4+c → c=−1
a+b+c = (−2)+3+(−1) = 0