📘 단원 1. 제곱근과 실수
기초~중급
핵심 개념
제곱근 · 실수 · 무리수
· 제곱근: x² = a 일 때, x를 a의 제곱근이라 한다.
양의 실수 a의 양의 제곱근 = √a, 음의 제곱근 = −√a
· √a² = |a| (절댓값!)
· 무리수: 분수로 나타낼 수 없는 수. 순환하지 않는 무한소수
· 실수 = 유리수 + 무리수
· √a² = |a| (절댓값!)
· 무리수: 분수로 나타낼 수 없는 수. 순환하지 않는 무한소수
· 실수 = 유리수 + 무리수
🔑 초간단 암기 포인트
"루트 안이 완전제곱수면 유리수!" → √4=2✓, √5=무리수
"√(a²) = |a| → 부호 주의!" → √(−3)² = 3 (음수 아님!)
"루트 안이 완전제곱수면 유리수!" → √4=2✓, √5=무리수
"√(a²) = |a| → 부호 주의!" → √(−3)² = 3 (음수 아님!)
1
기초 ★☆☆ 기초다음 중 √25의 값은?
제곱근의 정의를 떠올려 봐요.
📌 틀렸어요! 해설 확인
√25 는 양의 제곱근을 나타내는 기호예요.25의 제곱근은 ±5이지만, √25 기호는 양수 쪽만 나타내므로 답은 5입니다.
헷갈리는 포인트: "25의 제곱근" ≠ "√25"
🔀 변형 문제
√(−7)²의 값을 구하시오.힌트: √(a²) = |a| 공식을 사용하세요. 답은 7.
2
기초 ★☆☆ 기초다음 중 무리수인 것을 모두 고르면?
유리수: 분수로 표현 가능 / 무리수: 불가능
📌 틀렸어요! 해설 확인
√4=2(정수), √9=3(정수), √16=4(정수), −√25=−5(정수) → 모두 유리수√3은 1.7320508…(순환하지 않는 무한소수) → 무리수
π는 3.14159…(순환하지 않는 무한소수) → 무리수
🔀 변형 문제
다음 중 유리수인 것은? ① √2 ② √0.01 ③ π ④ √7힌트: √0.01 = 0.1 = 1/10 → 유리수. 정답은 ②.
3
중급 ★★☆ 중급√(3−a)가 정수가 되려면?
자연수 a의 최솟값을 구하시오.
자연수 a의 최솟값을 구하시오.
루트 안이 완전제곱수여야 합니다. 3−a ≥ 0 조건도 확인!
📌 틀렸어요! 해설 확인
정수가 되려면 3−a = 0, 1, 4, 9… (완전제곱수 또는 0)· a=1 → √2 (무리수) ✗
· a=2 → √1 = 1 (정수!) ✓
· a=3 → √0 = 0 (정수!) ✓
자연수 중 최솟값 → a = 2가 정답이에요! (보기③은 함정)
★ 최솟값 물어볼 때는 가장 작은 자연수부터 확인!
🔀 변형 문제
√(2a+1)이 자연수가 되는 가장 작은 자연수 a를 구하시오.힌트: 2a+1 = 1, 4, 9… → a=0(자연수X), a=4(→2a+1=9=3²✓). 정답: a=4.
4
중급 ★★☆ 중급수직선 위에서 √5에 가장 가까운 정수는?
√4 = 2, √9 = 3 이므로 √5는 어디에 있을까요?
📌 틀렸어요! 해설 확인
√5 ≈ 2.236…2와 3 사이에 있고, 2에 더 가까우므로 정답은 2.
🔀 변형 문제
√11의 정수 부분을 a, 소수 부분을 b라 할 때 a+b의 값을 구하시오.힌트: √9=3, √16=4 → √11≈3.317 → a=3, b=√11−3. 정답: a+b=√11.
📗 단원 2. 근호를 포함한 식의 계산
중급~고난도
핵심 개념
루트 계산 공식
· 곱셈: √a × √b = √(ab) (단, a≥0, b≥0)
· 나눗셈: √a ÷ √b = √(a/b) (b>0)
· 분모 유리화: a√b = a√bb
· 덧셈·뺄셈: √2 + 3√2 = 4√2 (계수만 더하기, 동류항처럼!)
· 나눗셈: √a ÷ √b = √(a/b) (b>0)
· 분모 유리화: a√b = a√bb
· 덧셈·뺄셈: √2 + 3√2 = 4√2 (계수만 더하기, 동류항처럼!)
🔑 초간단 암기 포인트
"분모에 루트 있으면 → 위아래 같은 루트 곱해서 유리화!"
1√2 × √2√2 = √22 ← 분모를 유리수로!
"분모에 루트 있으면 → 위아래 같은 루트 곱해서 유리화!"
1√2 × √2√2 = √22 ← 분모를 유리수로!
5
기초 ★☆☆ 기초√3 × √12를 계산하시오.
√a × √b = √(ab) 공식을 사용하세요.
📌 틀렸어요! 해설 확인
√3 × √12 = √(3×12) = √36 = 6②번은 과정(√36)이고 ③번이 최종 계산 결과 6입니다.
🔀 변형 문제
√2 × √8 + √50 ÷ √2 를 계산하시오.힌트: √16=4, √25=5. 답: 4+5=9.
6
중급 ★★☆ 중급6√3을 분모를 유리화하여 나타내시오.
분모 유리화: 분자·분모에 √3을 곱하면?
📌 틀렸어요! 해설 확인
6√3 × √3√3 = 6√33 = 2√3
🔀 변형 문제
√5√20을 계산하시오.힌트: √5/√20 = √(5/20) = √(1/4) = 1/2. 정답: 1/2.
7
중급 ★★☆ 중급3√2 + 5√2 − 2√2를 계산하시오.
√2 끼리는 계수만 더하면 됩니다 (동류항 계산).
📌 틀렸어요! 해설 확인
(3+5−2)√2 = 6√2√2는 변수처럼 취급하여 계수만 더하세요!
🔀 변형 문제
√18 − √8 + √50을 간단히 하시오.힌트: √18=3√2, √8=2√2, √50=5√2 → (3−2+5)√2=6√2.
8
고난도 ★★★ 고난도√2=a, √3=b 로 놓을 때, √24를 a, b로 나타내면?
√24를 소인수분해로 간단히 한 후, a와 b로 표현하세요.
📌 틀렸어요! 해설 확인
√24 = √(4×6) = 2√6 = 2√(2×3) = 2×√2×√3 = 2ab✔ 24 = 4 × 6 = 4 × 2 × 3 으로 소인수분해!
🔀 변형 문제
√2=a, √5=b일 때 √40을 a, b로 나타내시오.힌트: √40=√(4×10)=2√10=2√2×√5=2ab.
📙 단원 3. 다항식의 곱셈
중급~고난도
핵심 개념
곱셈 공식
① (a+b)² = a² + 2ab + b²
② (a−b)² = a² − 2ab + b²
③ (a+b)(a−b) = a² − b² ← 합차 공식
④ (x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab
② (a−b)² = a² − 2ab + b²
③ (a+b)(a−b) = a² − b² ← 합차 공식
④ (x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab
🔑 초간단 암기 포인트
"(a+b)² = a² + 2ab + b²" → 가운데 2ab를 빠뜨리지 마세요!
합차공식: "더하고 빼면 제곱 뺐다!" → (a+b)(a−b) = a²−b²
"(a+b)² = a² + 2ab + b²" → 가운데 2ab를 빠뜨리지 마세요!
합차공식: "더하고 빼면 제곱 뺐다!" → (a+b)(a−b) = a²−b²
9
기초 ★☆☆ 기초(x+3)²를 전개하시오.
① 공식: (a+b)² = a² + 2ab + b²
📌 틀렸어요! 해설 확인
(x+3)² = x² + 2·x·3 + 3² = x² + 6x + 9★ 자주 나오는 실수: 가운데 2ab 항을 빠뜨리면 ①번처럼 됩니다!
🔀 변형 문제
(2x−5)²를 전개하시오.힌트: a=2x, b=5 대입 → 4x²−20x+25.
10
중급 ★★☆ 중급(x+5)(x−5)를 전개하면?
③ 합차 공식: (a+b)(a−b) = a² − b²
📌 틀렸어요! 해설 확인
(x+5)(x−5) = x² − 5² = x² − 25합차 공식에서는 중간 항(xy 항)이 상쇄되어 사라집니다!
🔀 변형 문제
101 × 99를 곱셈 공식을 이용해 계산하시오.힌트: (100+1)(100−1) = 100²−1 = 10000−1 = 9999.
11
중급 ★★☆ 중급(x+2)(x−7)을 전개한 것 중 옳은 것은?
④ 공식: (x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab
📌 틀렸어요! 해설 확인
a=2, b=−7 대입x² + (2+(−7))x + 2×(−7)
= x² + (−5)x + (−14)
= x² − 5x − 14
🔀 변형 문제
(x−3)(x−4)를 전개하시오.힌트: a=−3, b=−4 → x²+(−3−4)x+(−3)(−4) = x²−7x+12.
12
고난도 ★★★ 고난도x + 1x = 3 일 때,
x² + 1x²의 값은?
x² + 1x²의 값은?
양변을 제곱하면 (a+b)² = a² + 2ab + b² 활용!
📌 틀렸어요! 해설 확인
(x + 1/x)² = x² + 2·x·(1/x) + (1/x)² = x² + 2 + 1/x²3² = x² + 2 + 1/x²
9 = x² + 1/x² + 2
∴ x² + 1/x² = 7
🔀 변형 문제
x − 1/x = 4일 때, x² + 1/x²의 값은?힌트: (x−1/x)² = x²−2+1/x² = 16 → x²+1/x²=18.
📕 단원 4. 인수분해
중급~고난도
핵심 개념
인수분해 공식
① ma + mb = m(a+b) — 공통인수
② a² + 2ab + b² = (a+b)²
③ a² − 2ab + b² = (a−b)²
④ a² − b² = (a+b)(a−b)
⑤ x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)
② a² + 2ab + b² = (a+b)²
③ a² − 2ab + b² = (a−b)²
④ a² − b² = (a+b)(a−b)
⑤ x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)
🔑 초간단 암기 포인트
"인수분해 = 곱셈 공식 거꾸로!"
x²+(a+b)x+ab → 두 수 합=계수, 두 수 곱=상수항으로 a,b 찾기!
a²−b² 보이면 무조건 → (a+b)(a−b)
"인수분해 = 곱셈 공식 거꾸로!"
x²+(a+b)x+ab → 두 수 합=계수, 두 수 곱=상수항으로 a,b 찾기!
a²−b² 보이면 무조건 → (a+b)(a−b)
13
기초 ★☆☆ 기초x² − 9를 인수분해하면?
a² − b² = (a+b)(a−b) 공식 적용!
📌 틀렸어요! 해설 확인
x² − 9 = x² − 3² = (x+3)(x−3)⑤번 (x−3)²를 전개하면 x²−6x+9 → 다른 식입니다!
🔀 변형 문제
4x² − 25를 인수분해하시오.힌트: (2x)²−5² = (2x+5)(2x−5).
14
중급 ★★☆ 중급x² + 5x + 6을 인수분해하면?
합=5, 곱=6인 두 수를 찾으세요!
📌 틀렸어요! 해설 확인
합이 5, 곱이 6인 두 수 → 2와 3x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3)
🔀 변형 문제
x² − x − 12를 인수분해하시오.힌트: 합=−1, 곱=−12 → 3과 −4 → (x+3)(x−4).
15
중급 ★★☆ 중급x² − 6x + 9를 인수분해하면?
완전제곱식인지 확인! a²−2ab+b²=(a−b)²
📌 틀렸어요! 해설 확인
a=x, b=3: a²−2ab+b² = x²−6x+9 = (x−3)²①(x+3)²는 전개하면 x²+6x+9 (부호 달라요!)
🔀 변형 문제
9x² − 12x + 4를 인수분해하시오.힌트: (3x)²−2·3x·2+2²=(3x−2)².
16
고난도 ★★★ 고난도인수분해를 이용하여
53² − 47²을 계산하시오.
53² − 47²을 계산하시오.
a²−b²=(a+b)(a−b) 공식 적용!
📌 틀렸어요! 해설 확인
53²−47² = (53+47)(53−47) = 100 × 6 = 600✔ 직접 계산하면 오래 걸리지만, 인수분해 공식 하나면 순식간!
🔀 변형 문제
201²−199²를 계산하시오.힌트: (201+199)(201−199) = 400×2 = 800.
📓 단원 5. 이차방정식
중급~고난도 서술형
핵심 개념
이차방정식 풀이
· 인수분해법: ax²+bx+c=0 → 인수분해 후 각 인수=0
· 완전제곱식법: (x+p)²=q 꼴로 변환 → x = −p ± √q
· 근의 공식: x = −b ± √(b²−4ac)2a
· 판별식 D = b²−4ac: D>0 두 근, D=0 중근, D<0 근 없음
· 완전제곱식법: (x+p)²=q 꼴로 변환 → x = −p ± √q
· 근의 공식: x = −b ± √(b²−4ac)2a
· 판별식 D = b²−4ac: D>0 두 근, D=0 중근, D<0 근 없음
🔑 초간단 암기 포인트
"인수분해 되면 인수분해, 안 되면 근의 공식!"
중근 조건: "D=0 ↔ b²=4ac" — 서술형 단골 출제!
"인수분해 되면 인수분해, 안 되면 근의 공식!"
중근 조건: "D=0 ↔ b²=4ac" — 서술형 단골 출제!
17
중급 ★★☆ 중급x² − 5x + 6 = 0의 해를 구하면?
인수분해 후 각 인수가 0이 되는 x 값을 찾으세요.
📌 틀렸어요! 해설 확인
x²−5x+6 = (x−2)(x−3) = 0x−2=0 또는 x−3=0
∴ x=2 또는 x=3
🔀 변형 문제
x² + x − 12 = 0의 두 근의 합을 구하시오.힌트: (x+4)(x−3)=0 → x=−4, x=3 → 합=−1.
18
중급 ★★☆ 중급x² = 7의 해는?
양변에 제곱근을 취할 때 ± 기호를 반드시!
📌 틀렸어요! 해설 확인
x² = 7 → x = ±√7★ 제곱하여 7이 되는 수는 √7과 −√7 두 개입니다!
🔀 변형 문제
(x−2)² = 5의 해를 구하시오.힌트: x−2=±√5 → x=2+√5 또는 x=2−√5.
19
고난도 ★★★ 고난도이차방정식 x² − 6x + k = 0이
중근을 가질 때, k의 값은?
중근을 가질 때, k의 값은?
중근 조건: 판별식 D = b² − 4ac = 0
📌 틀렸어요! 해설 확인
D = (−6)² − 4(1)(k) = 036 − 4k = 0
4k = 36
∴ k = 9
검증: x²−6x+9=(x−3)²=0 → x=3 (중근 ✓)
🔀 변형 문제
x² + kx + 16 = 0이 중근을 가질 때, k의 값을 구하시오.힌트: D=k²−64=0 → k=±8.
20
고난도 ★★★ 서술형 고난도연속하는 두 자연수의 제곱의 합이 85일 때,
두 자연수의 합을 구하시오.
두 자연수의 합을 구하시오.
작은 수를 x로 놓고 방정식을 세워보세요. (서술형 풀이 연습!)
📌 틀렸어요! 해설 확인
[서술형 풀이 과정]① 연속하는 두 자연수: x, x+1로 놓는다
② 방정식 세우기: x² + (x+1)² = 85
③ 전개: x² + x² + 2x + 1 = 85
④ 정리: 2x² + 2x − 84 = 0
⑤ 양변 ÷2: x² + x − 42 = 0
⑥ 인수분해: (x+7)(x−6) = 0
⑦ x = 6 (x>0이므로 x=−7 제외)
⑧ 두 수: 6, 7 → 합 = 13
🔀 변형 문제
연속하는 두 홀수의 제곱의 합이 130일 때, 두 수의 합을 구하시오.힌트: x, x+2로 놓기 → x²+(x+2)²=130 → x=7,9 → 합=16.