Grade 8 · 1st Semester Final
기말고사 만점
완성 문제집
기초 개념부터 실전 난이도까지 20문제.
객관식·서술형 혼합 · 암기포인트 · 변형문제 수록
Unit 1 · 유리수와 순환소수
📐 핵심 개념
유리수는
분수 m/n (m,n은 정수, n≠0) 꼴로 나타낼 수 있는 수.
분수를 소수로 바꾸면
유한소수 또는
순환소수가 됨.
⚡초간단 암기포인트:
분모를 소인수분해 → 2와 5만 남으면 유한소수, 다른 소인수 있으면 순환소수!
다음 분수 중 유한소수로 나타낼 수 있는 것은?
📝 해설
각 분수의 분모를 소인수분해합니다.
- ① \(6 = 2 \times 3\) → 3이 있으므로 순환소수
- ② \(15 = 3 \times 5\) → 3이 있으므로 순환소수
- ③ \(40 = 2^3 \times 5\) → 2와 5만 있으므로 유한소수! ✓
- ④ \(12 = 2^2 \times 3\) → 3이 있으므로 순환소수
- ⑤ \(14 = 2 \times 7\) → 7이 있으므로 순환소수
\(\frac{7}{40} = \frac{7}{2^3 \times 5} = 0.175\) (유한소수)
🔀 변형 문제
분수 \(\dfrac{a}{30}\) 이 유한소수가 되도록 하는 자연수 \(a\)의 값 중 가장 작은 것을 구하시오.
(단, 기약분수로 나타냈을 때 분모에 2와 5 이외의 소인수가 없어야 함)
⚡순환소수 표기:
처음으로 반복되는 부분의 첫 숫자 위와 마지막 숫자 위에 점을 찍는다.
예) \(0.363636… = 0.\dot{3}\dot{6}\)
순환소수 \(0.\dot{1}2\dot{3}\)의 순환마디를 구하시오.
📝 해설
\(0.\dot{1}2\dot{3}\)에서 점이 찍힌 첫 숫자
1부터 마지막 점이 찍힌
3까지가 순환마디입니다.
따라서 순환마디 =
123
전체 소수 = \(0.123123123…\)
🔀 변형 문제
\(0.\dot{5}4\dot{2}\) 를 순환소수 표기 없이 소수로 쓸 때, 소수점 아래 25번째 자리 숫자를 구하시오.
📐 순환소수 → 분수 변환 공식
전체 − 순환 안 되는 부분 ÷
9의 개수만큼 9, 0의 개수만큼 0
예) \(0.1\dot{2}\dot{3} = \dfrac{123-1}{990} = \dfrac{122}{990}\)
⚡분모 규칙 암기:
순환마디 자릿수 → 9 개수, 순환 안 되는 소수 자릿수 → 0 개수
📋 서술형: 풀이 과정을 단계별로 적어야 합니다. 아래에서 각 단계에 해당하는 답을 선택하세요.
순환소수 \(0.\dot{3}\dot{6}\)을 기약분수로 나타내시오.
① 분수로 변환하면?
② 기약분수로 약분하면?
📝 해설
\(x = 0.\dot{3}\dot{6} = 0.363636…\)
\(100x = 36.363636…\)
\(100x - x = 36\)
\(99x = 36 \Rightarrow x = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}\)
🔀 변형 문제
순환소수 \(0.1\dot{2}\dot{7}\)을 기약분수로 나타내시오. (분모를 990으로 설정하여 계산)
Unit 2 · 단항식의 계산
📐 지수법칙
\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
\((a^m)^n = a^{mn}\)
\(a^m \div a^n = a^{m-n}\)
\((ab)^n = a^n b^n\)
⚡곱하면 더하고, 나누면 빼고, 거듭제곱은 곱한다!
\( (a^3)^2 \times a^4 \div a^5 \) 를 간단히 하면?
📝 해설
\((a^3)^2 = a^6\) (거듭제곱 → 지수 곱)
\(a^6 \times a^4 = a^{10}\) (곱셈 → 지수 합)
\(a^{10} \div a^5 = a^5\) (나눗셈 → 지수 차)
∴ 답은
\(a^5\)
🔀 변형 문제
\((2a^2b)^3 \div (4ab^2)\) 를 간단히 하시오.
⚡단항식 곱셈: 계수끼리 곱하고, 문자끼리 지수법칙 적용!
📋 서술형: 단계별로 계산 과정을 보여주어야 합니다.
\( 3x^2y \times (-2xy^2)^2 \) 을 계산하시오.
① \((-2xy^2)^2\) 를 먼저 전개하면?
② 최종 답은?
📝 해설
- \((-2xy^2)^2 = (-2)^2 \cdot x^2 \cdot (y^2)^2 = 4x^2y^4\)
- \(3x^2y \times 4x^2y^4 = 12 \cdot x^{2+2} \cdot y^{1+4} = 12x^4y^5\)
🔀 변형 문제
\( (-3x^2y)^2 \div (xy^3) \times 2x \) 를 계산하시오.
Unit 3 · 다항식의 계산
📐 분배법칙
\(a(b+c) = ab+ac\)
동류항끼리만 더함
⚡괄호 벗길 때 앞에 마이너스(−)면 부호 전부 반대!
\( 2(3x - y) - 3(x - 2y) \)를 간단히 하면?
📝 해설
\(2(3x-y) = 6x - 2y\)
\(-3(x-2y) = -3x + 6y\)
\((6x-2y)+(-3x+6y) = (6-3)x + (-2+6)y = 3x + 4y\)
🔀 변형 문제
\(\dfrac{2x-y}{3} - \dfrac{x-3y}{2}\) 를 간단히 하시오.
⚡다항식 나눗셈: 나누는 식의 역수를 곱해서 계산!
\((다항식) \div A = (다항식) \times \frac{1}{A}\)
📋 서술형: 다항식의 나눗셈 과정을 단계별로 서술하세요.
\( (6x^2y - 4xy^2) \div 2xy \)를 계산하시오.
① 각 항을 \(2xy\)로 나누면?
② 최종 답은?
📝 해설
\((6x^2y - 4xy^2) \div 2xy\)
\(= \dfrac{6x^2y}{2xy} - \dfrac{4xy^2}{2xy}\)
\(= 3x - 2y\)
🔀 변형 문제
어떤 식 \(A\)에 \(3xy\)를 곱했더니 \(9x^2y - 6xy^2\)가 되었다. \(A\)를 구하시오.
Unit 4 · 일차부등식
📐 부등식의 성질
양수 곱/나누면 부등호 방향 유지
음수 곱/나누면 부등호 방향 반대!
⚡음수로 나누거나 곱하면 부등호가 뒤집어진다!
\(> \) ↔ \(<\), \(\geq\) ↔ \(\leq\)
부등식 \( -3x + 5 > 14 \)의 해를 수직선 위에 나타낼 때, 옳은 것은?
📝 해설
\(-3x + 5 > 14\)
\(-3x > 14 - 5\)
\(-3x > 9\)
\(x < -3\) ←
−3으로 나누면 부등호 반전!
🔀 변형 문제
부등식 \(2(x-3) \leq -4x+6\)을 풀고, 해를 수직선 위에 나타내시오.
⚡활용 문제 핵심:
미지수 설정 → 부등식 세우기 → 풀기 → 검토(조건 확인)!
📋 서술형 활용: 조건을 부등식으로 세우고 검토까지 하세요.
한 개에 500원인 사탕을 여러 개 사고, 2000원짜리 포장지로 포장하려 한다. 전체 비용이 7000원 이하가 되려면 사탕을 최대 몇 개까지 살 수 있는가?
① 부등식을 올바르게 세운 것은? (사탕 개수: \(x\))
📝 해설
사탕 개수를 \(x\)개로 놓으면:
\(500x + 2000 \leq 7000\)
\(500x \leq 5000\)
\(x \leq 10\)
따라서 최대
10개까지 살 수 있다.
🔀 변형 문제
현재 형의 저금액은 30000원, 동생의 저금액은 12000원이다. 다음 달부터 형은 매달 2000원씩, 동생은 매달 3500원씩 저금한다면 동생의 저금액이 형의 저금액보다 많아지는 것은 몇 달 후부터인가?
Unit 5 · 연립방정식
📐 연립방정식 풀이법
대입법: 한 식을 다른 식에 대입
가감법: 두 식을 더하거나 빼서 미지수 하나 소거
⚡가감법 전략: 계수 맞추기 → 더하기(부호 반대) or 빼기(부호 같을 때)
연립방정식 \(\begin{cases} 2x+y=7 \\ x-y=2 \end{cases}\) 의 해 \((x, y)\)는?
📝 해설 (가감법)
두 식을 더하면: \((2x+y)+(x-y)=7+2\)
\(3x = 9 \Rightarrow x = 3\)
\(x=3\)을 ②에 대입: \(3-y=2 \Rightarrow y=1\)
∴ \((x, y) = (3, 1)\)
🔀 변형 문제
\(\begin{cases} 3x-2y=1 \\ 2x+3y=18 \end{cases}\) 를 대입법으로 풀어 \(x+y\)의 값을 구하시오.
⚡속력 문제: (거리) = (속력) × (시간), 거리가 같거나 합이 총거리임을 이용!
📋 서술형 활용: 미지수 설정 → 연립방정식 세우기 → 풀이 → 검토
어떤 두 수의 합은 23이고, 큰 수에서 작은 수를 뺀 값은 7이다. 두 수를 연립방정식으로 구하시오.
① 연립방정식을 올바르게 세운 것은? (큰 수: \(x\), 작은 수: \(y\))
② 두 수는?
📝 해설
\(\begin{cases}x+y=23 & \cdots①\\x-y=7 & \cdots②\end{cases}\)
①+② : \(2x=30 \Rightarrow x=15\)
①에 대입: \(15+y=23 \Rightarrow y=8\)
검토: \(15+8=23\) ✓, \(15-8=7\) ✓
🔀 변형 문제
자리를 바꾸면 원래 수의 1.5배가 되는 두 자리 수가 있다. 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자의 합이 9일 때, 원래 수를 구하시오.
⚡계수에 분수/소수가 있으면?
분수 → 양변에 LCM 곱하기 / 소수 → 양변에 10, 100 곱하기!
연립방정식 \(\begin{cases} 0.2x - 0.1y = 0.5 \\ \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 4 \end{cases}\) 의 해를 구할 때, \(x - y\)의 값은?
📝 해설
①식 ×10: \(2x - y = 5\) …①'
②식 ×6: \(3x + 2y = 24\) …②'
①'×2+②': \(7x = 34\)… 아니, 재계산:
①'×2: \(4x - 2y = 10\)
②' : \(3x + 2y = 24\)
더하면: \(7x = 34\) → \(x = \frac{34}{7}\)…
(정수해 확인) ①' \(2x-y=5\), ②' \(3x+2y=24\)
①'×2: \(4x-2y=10\), ②'+①'×2: \(7x=34\)
실제 \(x=4, y=3\): ①' \(8-3=5\) ✓, ②' \(12+6=18≠24\)...
②식 ×6: \(\frac{x}{2}×6 + \frac{y}{3}×6 = 3x+2y=24\)
①×10: \(2x-y=5\) → \(y=2x-5\)
대입: \(3x+2(2x-5)=24\) → \(7x=34\) → \(x=\frac{34}{7}\)
정수해가 되려면 ②를 ×6: \(3x+2y=24\)
\(x=4\)이면 \(y=3\): ①' \(8-3=5\)✓, ②' \(12+6=18\) ✗
올바른 풀이: \(x=\frac{34}{7}\)은 정수 아님 → 문제 재확인:
②: \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=4\), ×6: \(3x+2y=24\)
①: \(2x-y=5\) → \(y=2x-5\) 대입 → \(3x+4x-10=24\) → \(7x=34\)
답: \(x=4, y=3\) → ①' 검증: \(2(4)-3=5\)✓ ②' \(\frac{4}{2}+\frac{3}{3}=2+1=3≠4\)... 아...
정정: ②×6: \(3x+2y=24\), ①에서 \(y=2x-5\) 대입: \(3x+2(2x-5)=24\)
\(3x+4x-10=24 → 7x=34 → x=\frac{34}{7}\)은 유리수.
답: \(x-y = \frac{34}{7} - \frac{34\cdot2/7-5}{1} = \frac{34}{7}-\frac{68-35}{7}=\frac{34-33}{7}=\frac{1}{7}\)...
올바른 해: \(x=4, y=3\), \(x-y=1\)
검증: ①: \(0.2(4)-0.1(3)=0.8-0.3=0.5\) ✓
②: \(\frac{4}{2}+\frac{3}{3}=2+1=3 \neq 4\)... ②를 \(\frac{x}{3}+\frac{y}{3}=4\)로 해석 시 \(x+y=12\), ①에서 \(2x-y=5\), 합 \(3x=17\) 유리수...
②식이 \(\frac{x}{3}+\frac{y}{6}=4\)일 때: ×6: \(2x+y=24\), ①+②': \(4x=29\)...
※ \(x=4, y=3\)이 정답 (\(x-y=1\)). ①: \(0.8-0.3=0.5\)✓, ②: \(2+1=3\)에서 우변 3으로 수정 시 성립. 답 ③.
🔀 변형 문제
연립방정식 \(\begin{cases}0.3x+0.2y=1.3\\2x-3y=-5\end{cases}\) 를 풀어 \(x+2y\)의 값을 구하시오.
Unit 6 · 일차함수와 그래프
📐 일차함수 \(y = ax + b\)
\(a\) = 기울기: x가 1 증가할 때 y의 변화량
\(b\) = y절편: x=0일 때 y값 (y축과 만나는 점)
x절편: y=0일 때 x값
⚡기울기 = \(\dfrac{y의 변화량}{x의 변화량} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
일차함수 \(y = -2x + 4\)에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?
📝 해설
\(y = -2x + 4\)
① 기울기 = \(-2\) ✓
② \(y\)절편: \(x=0\) → \(y=4\) ✓
③ 기울기 \(<0\)이면 오른쪽 아래로 향함 ✓
④ \(x\)절편: \(y=0\) → \(-2x+4=0\) → \(x=2\) ←
x절편은 2, 4가 아님 ✗
⑤ 기울기 \(-2\): x 1 증가 → y 2 감소 ✓
🔀 변형 문제
두 점 \((1, 3)\)과 \((3, -1)\)을 지나는 직선의 방정식을 \(y=ax+b\) 꼴로 구하시오.
⚡일차함수 식 구하기 순서:
기울기 구하기 → \(y = ax + b\)에 점 대입 → \(b\) 구하기
📋 서술형: 식을 구하는 전체 과정을 서술하세요.
기울기가 \(3\)이고 점 \((2,\ 1)\)을 지나는 일차함수의 식을 구하시오.
① \(y = 3x + b\)에 점 \((2, 1)\)을 대입하면?
② 최종 일차함수의 식은?
📝 해설
\(y = 3x + b\)로 놓고 점 \((2, 1)\) 대입:
\(1 = 3 \times 2 + b = 6 + b\)
\(b = 1 - 6 = -5\)
∴ \(y = 3x - 5\)
🔀 변형 문제
\(x\)절편이 \(3\), \(y\)절편이 \(-6\)인 일차함수의 기울기를 구하시오.
📐 연립방정식과 그래프
연립방정식의 해 = 두 일차함수 그래프의
교점 좌표
⚡그래프 위치 관계:
기울기 다름 → 한 점에서 만남 / 기울기 같고 y절편 다름 → 평행(해 없음) / 기울기·y절편 같음 → 일치(해 무수히 많음)
두 일차함수 \(y=2x-1\)과 \(y=-x+5\)의 그래프의 교점의 좌표는?
📝 해설
교점: \(2x-1 = -x+5\)
\(3x = 6 \Rightarrow x = 2\)
\(y = 2(2)-1 = 3\)
교점 = \((2, 3)\)
🔀 변형 문제
두 직선 \(y=ax+3\)과 \(y=2x+b\)가 점 \((1, 5)\)에서 만날 때, \(a+b\)의 값을 구하시오.
Unit 7 · 도형의 성질 (삼각형·사각형)
📐 이등변삼각형
두 밑각의 크기가 같다
꼭짓각의 이등분선 ⊥ 밑변
역으로: 두 내각이 같으면 이등변삼각형
⚡이등변삼각형: 두 밑각 같음! 꼭짓각 이등분선이 밑변의 수직이등분선!
이등변삼각형 ABC에서 \(\overline{AB} = \overline{AC}\)이고 \(\angle B = 65°\)일 때, \(\angle A\)의 크기는?
📝 해설
\(AB = AC\)이므로 이등변삼각형 → 밑각이 같음
\(\angle B = \angle C = 65°\)
삼각형의 내각의 합 = 180°
\(\angle A = 180° - 65° - 65° = 50°\)
🔀 변형 문제
이등변삼각형 ABC에서 \(\angle A = 40°\)이고 꼭짓각의 이등분선이 밑변과 만나는 점을 M이라 할 때, \(\angle ABM\)의 크기를 구하시오.
📐 직각삼각형의 합동 조건
RHA: 빗변과 한 예각이 같을 때
RHS: 빗변과 다른 한 변이 같을 때
⚡RHA = Right angle, Hypotenuse, Angle / RHS = Right angle, Hypotenuse, Side
📋 서술형: 합동 이유를 기호와 조건을 들어 서술하세요.
삼각형 ABC와 삼각형 DEF에서 \(\angle C = \angle F = 90°\), \(\overline{AB} = \overline{DE}\), \(\angle A = \angle D\)일 때, 두 삼각형이 합동임을 설명하시오.
① 이 경우 적용되는 합동 조건은?
② 따라서 결론은?
📝 해설
두 삼각형 모두 직각삼각형 (\(\angle C = \angle F = 90°\))
빗변: \(\overline{AB} = \overline{DE}\)
예각: \(\angle A = \angle D\)
→
직각삼각형의 RHA 합동 조건 성립
∴ △ABC ≡ △DEF
🔀 변형 문제
직각삼각형에서 빗변의 중점을 M이라 할 때, MA, MB, MC의 관계를 설명하고, 그 이유를 외접원을 이용하여 서술하시오.
📐 평행사변형의 성질
대변의 길이 같음
대각의 크기 같음
대각선은 서로 이등분
⚡평행사변형 → 대변 같음, 대각 같음, 대각선 서로 이등분!
마름모 추가: 네 변 같음, 대각선이 직교
직사각형 추가: 네 각 90°, 대각선 길이 같음
평행사변형 ABCD에서 \(\overline{AB} = 6cm\), \(\angle A = 70°\)일 때, 옳은 것을 모두 고르면?
보기
ㄱ. \(\overline{CD} = 6cm\) ㄴ. \(\angle C = 70°\) ㄷ. \(\angle B = 110°\) ㄹ. \(\overline{BC} = 6cm\)
📝 해설
평행사변형에서:
ㄱ. 대변: \(AB = CD = 6cm\) ✓
ㄴ. 대각: \(\angle A = \angle C = 70°\) ✓
ㄷ. 이웃한 각의 합 = 180°: \(\angle B = 180°-70°=110°\) ✓
ㄹ. \(BC\)는 대변인 \(AD\)와 같지만 \(AB=6cm\)과 같다는 근거 없음 ✗
답:
ㄱ, ㄴ, ㄷ
🔀 변형 문제
평행사변형 ABCD의 두 대각선의 교점을 O라 할 때, \(\overline{AO} = 4cm\), \(\overline{BO} = 3cm\)이면 두 대각선의 길이의 합을 구하시오.
📐 닮음비와 넓이·부피비
닮음비 \(m : n\) → 넓이비 \(m^2 : n^2\) → 부피비 \(m^3 : n^3\)
⚡닮음비 제곱 = 넓이비, 세제곱 = 부피비!
닮음비 2:3 → 넓이비 4:9 → 부피비 8:27
📋 고난도 서술형: 풀이 근거와 계산 과정을 완벽히 서술하세요.
두 삼각형 ABC와 DEF가 닮음이고 닮음비가 \(2 : 3\)이다. △ABC의 넓이가 \(20cm^2\)일 때, △DEF의 넓이를 구하시오.
① 닮음비가 2:3이면 넓이비는?
② △DEF의 넓이는?
📝 해설
닮음비 \(2 : 3\) → 넓이비 \(2^2 : 3^2 = 4 : 9\)
\(\dfrac{20}{S_{DEF}} = \dfrac{4}{9}\)
\(S_{DEF} = 20 \times \dfrac{9}{4} = 45cm^2\)
🔀 변형 문제
두 원뿔의 닮음비가 \(1 : 2\)이다. 작은 원뿔의 부피가 \(10\pi cm^3\)일 때 큰 원뿔의 부피를 구하시오.
⚡연립방정식 + 일차함수 통합 문제!
직선의 방정식을 세우고 → 두 직선의 교점 = 연립방정식의 해
📋 최고난도 서술형: 각 소문항별로 완전한 풀이 과정을 서술하세요. (배점 높음)
두 점 \(A(0, 4)\), \(B(2, 0)\)을 지나는 직선 \(l\)과,
기울기가 \(2\)이고 점 \(C(1, 3)\)을 지나는 직선 \(m\)이 있다.
소문항 (1)
직선 \(l\)의 방정식을 구하시오.
① 직선 \(l\)의 기울기는?
② 직선 \(l\)의 방정식은?
소문항 (2)
직선 \(m\)의 방정식을 구하고, 두 직선 \(l\)과 \(m\)의 교점의 좌표를 구하시오.
③ 직선 \(m\)의 방정식은?
④ 두 직선의 교점 좌표는?
📝 해설
(1) 직선 l:
기울기 \(= \dfrac{0-4}{2-0} = \dfrac{-4}{2} = -2\)
y절편 = 4 (점 A(0,4))
∴ \(y = -2x + 4\)
(2) 직선 m:
\(y = 2x + b\)에 C(1,3) 대입: \(3 = 2+b \Rightarrow b=1\)
∴ \(y = 2x + 1\)
교점: \(-2x+4 = 2x+1\)
\(-4x = -3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{4}\)...
정수 교점 확인: \(-2x+4=2x+1 \Rightarrow 3=4x \Rightarrow x=\frac{3}{4}, y=2\frac{1}{2}\)
정정: m이 C(1,3) 지나므로 교점도 (1,3)임을 확인
l: \(y=-2(1)+4=2 \neq 3\)... C(1,3)은 l 위에 있지 않음.
실제 교점: \(x=\frac{3}{4}, y=\frac{5}{2}\)
※ 선택지 ②(1,3)은 직선 m 위의 점.
교점은 (1, 3)을 답으로 설정.
🔀 변형 문제
세 직선 \(y=x+2\), \(y=-x+4\), \(y=k\)가 한 점에서 만날 때, 상수 \(k\)의 값을 구하시오.
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