01
★★★
보통
핵심 개념
식의 값이란 문자에 특정 수를 대입했을 때 계산된 결과입니다.
대입 순서: ① 문자를 수로 바꾼다 ② 사칙연산 규칙대로 계산한다
⚠️ 주의: 음수 대입 시 반드시 괄호를 사용해야 합니다!
대입 순서: ① 문자를 수로 바꾼다 ② 사칙연산 규칙대로 계산한다
⚠️ 주의: 음수 대입 시 반드시 괄호를 사용해야 합니다!
예제
a = −2일 때, 3a² − 2a + 1의 값을 구하시오.
풀이: 3×(−2)² − 2×(−2) + 1 = 3×4 + 4 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17
x = −3일 때, 2x² + 5x − 1의 값은?
①x = −3을 대입: 2×(−3)² + 5×(−3) − 1
②= 2×9 + (−15) − 1
③= 18 − 15 − 1 = 2
✔ 정답: ③ 2
02
★★★
보통
핵심 개념
일차식의 덧셈·뺄셈: 동류항끼리 모아서 계산
① 괄호 앞에 음수가 있으면 부호를 모두 바꾼다
② 문자 항끼리, 상수 항끼리 각각 계산
① 괄호 앞에 음수가 있으면 부호를 모두 바꾼다
② 문자 항끼리, 상수 항끼리 각각 계산
예제
(3x + 2) − (x − 4)를 계산하시오.
= 3x + 2 − x + 4 = 2x + 6
3(2x − 1) − 2(x + 3)을 계산하면?
①괄호 전개: 6x − 3 − 2x − 6
②동류항 정리: (6x−2x) + (−3−6)
③= 4x − 9
✔ 정답: ① 4x − 9
03
★★★
어려움
핵심 개념
항등식: x에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식
방정식: 특정한 x값에서만 성립하는 등식
항등식 조건: 양변의 계수와 상수항이 각각 같아야 함
ax + b = cx + d가 항등식이면 a = c, b = d
방정식: 특정한 x값에서만 성립하는 등식
항등식 조건: 양변의 계수와 상수항이 각각 같아야 함
ax + b = cx + d가 항등식이면 a = c, b = d
예제
2(x + a) = 2x + 6이 항등식이 되려면 a의 값은?
2x + 2a = 2x + 6 → 2a = 6 → a = 3
등식 a(x − 2) + b = 3x + 1이 x에 대한 항등식일 때, a + b의 값은?
①왼쪽 전개: ax − 2a + b
②항등식 조건: x계수 → a = 3
③상수항 → −2a + b = 1 → −6 + b = 1 → b = 7
④a + b = 3 + 7 = 10
✔ 정답: ④ 10
04
★★★
보통
핵심 개념
자주 출제되는 문자 표현:
• 거리 = 속력 × 시간, 시간 = 거리 ÷ 속력
• 가격 = 단가 × 개수, 백분율 → a % = a/100
• 십의 자리 a, 일의 자리 b인 두 자리 수: 10a + b
• 거리 = 속력 × 시간, 시간 = 거리 ÷ 속력
• 가격 = 단가 × 개수, 백분율 → a % = a/100
• 십의 자리 a, 일의 자리 b인 두 자리 수: 10a + b
예제
시속 60km로 x시간 달린 거리를 문자로 나타내면?
60x (km)
십의 자리 숫자가 a, 일의 자리 숫자가 b인 두 자리 자연수에서 십의 자리와 일의 자리를 바꾼 수를 문자로 나타내면?
①원래 수: 십의 자리 a → 10a + b
②자리 바꾸면: 십의 자리 b, 일의 자리 a
③바꾼 수 = 10b + a
✔ 정답: ② 10b + a
05
★★★
어려움
핵심 개념
일차식: x의 최고 차수가 1인 식. 즉 ax + b (a ≠ 0) 꼴
• x² 항이 있으면 이차식
• 최고차항의 계수 = 0이면 그 항은 사라진다
⚠️ 포인트: (a−3)x² + (a+2)x − 1이 일차식이 되려면 x²의 계수 = 0 이어야 함
• x² 항이 있으면 이차식
• 최고차항의 계수 = 0이면 그 항은 사라진다
⚠️ 포인트: (a−3)x² + (a+2)x − 1이 일차식이 되려면 x²의 계수 = 0 이어야 함
예제
(a−1)x + 3이 상수식이 되려면?
a − 1 = 0 → a = 1
식 (a − 3)x² + (2a + 1)x − 5가 x에 대한 일차식이 되도록 하는 상수 a의 값은?
①일차식이 되려면 x²의 계수 = 0
②a − 3 = 0 → a = 3
③확인: x계수 = 2(3)+1 = 7 ≠ 0 ✓ → 일차식 성립
✔ 정답: ③ a = 3
06
★★★
쉬움
핵심 개념
등식의 4가지 성질 (A = B이면):
A + C = B + C (양변에 같은 수 더하기)
A − C = B − C (양변에서 같은 수 빼기)
AC = BC (양변에 같은 수 곱하기)
A/C = B/C (C ≠ 0일 때 양변을 같은 수로 나누기)
A + C = B + C (양변에 같은 수 더하기)
A − C = B − C (양변에서 같은 수 빼기)
AC = BC (양변에 같은 수 곱하기)
A/C = B/C (C ≠ 0일 때 양변을 같은 수로 나누기)
예제
a = b이면 3a − 1 □ 3b − 1 (□에 알맞은 기호는?)
양변에 3을 곱하고 1을 빼면: =
등식의 성질을 이용하여 3x = 12에서 x = 4를 얻었다. 이때 사용한 등식의 성질은?
①3x = 12에서 x만 남기려면 3을 없애야 함
②양변을 3으로 나눔: 3x ÷ 3 = 12 ÷ 3
③결과: x = 4
✔ 정답: ④ 양변을 3으로 나눴다
07
★★★
어려움
핵심 개념
분수식 계산 방법:
공통분모를 찾아 통분한 후 분자끼리 계산
⚠️ 주의: 괄호가 있는 경우 분자 전체에 분자를 곱해야 함
예: (a+b)/3에서 분자는 a+b 전체
공통분모를 찾아 통분한 후 분자끼리 계산
⚠️ 주의: 괄호가 있는 경우 분자 전체에 분자를 곱해야 함
예: (a+b)/3에서 분자는 a+b 전체
예제
(2x+1)/3 + (x−2)/3 을 계산하시오.
= (2x+1+x−2)/3 = (3x−1)/3 = x − 1/3
(3x − 1)/2 − (x + 2)/4를 계산한 결과는?
①공통분모 4: (3x−1)/2 = 2(3x−1)/4 = (6x−2)/4
②계산: (6x−2)/4 − (x+2)/4
③= (6x−2−x−2)/4 = (5x−4)/4
✔ 정답: ① (5x − 4)/4
08
★★★
보통
핵심 개념
일차방정식 풀이 순서:
① 괄호 풀기 → ② 이항 (부호 변환) → ③ 동류항 정리 → ④ x 계수로 나누기
이항할 때는 반드시 부호가 바뀐다는 것에 주의!
① 괄호 풀기 → ② 이항 (부호 변환) → ③ 동류항 정리 → ④ x 계수로 나누기
이항할 때는 반드시 부호가 바뀐다는 것에 주의!
예제
2x + 3 = x − 5를 풀어라.
2x − x = −5 − 3 → x = −8
일차방정식 5(x − 2) = 3x + 4의 해는?
①괄호 풀기: 5x − 10 = 3x + 4
②이항: 5x − 3x = 4 + 10
③2x = 14 → x = 7
✔ 정답: ③ x = 7
09
★★★
어려움
핵심 개념
비례식의 성질: a : b = c : d이면 ad = bc (내항의 곱 = 외항의 곱)
비례식이 포함된 방정식은 이 성질을 먼저 이용하여 방정식으로 변환
비례식이 포함된 방정식은 이 성질을 먼저 이용하여 방정식으로 변환
예제
(x + 1) : 3 = 4 : 2를 풀어라.
2(x+1) = 12 → 2x+2 = 12 → x = 5
비례식 (2x + 1) : 5 = (x − 1) : 2를 만족하는 x의 값은?
①내항의 곱 = 외항의 곱: 2(2x+1) = 5(x−1)
②4x + 2 = 5x − 5
③이항: 4x − 5x = −5 − 2 → −x = −7
④x = 7
✔ 정답: ① x = 7
10
★★★
어려움
핵심 개념
분수가 포함된 방정식 풀이:
양변에 분모의 최소공배수(LCM)를 곱하여 정수 방정식으로 바꾼다
⚠️ 주의: 분수 전체에 LCM을 곱할 때 분자 전체에 곱해야 함
양변에 분모의 최소공배수(LCM)를 곱하여 정수 방정식으로 바꾼다
⚠️ 주의: 분수 전체에 LCM을 곱할 때 분자 전체에 곱해야 함
예제
x/2 − 1/3 = 1을 풀어라.
양변 × 6: 3x − 2 = 6 → 3x = 8 → x = 8/3
일차방정식 (x − 1)/3 − (2x + 1)/6 = 1의 해는?
①LCM = 6, 양변에 6 곱하기
②2(x−1) − (2x+1) = 6
③2x − 2 − 2x − 1 = 6 → −3 = 6 ← 잠깐!
③다시: 2x − 2 − 2x − 1 = 6 → −3 = 6? 아니면...
①'양변×6: 2(x−1)−(2x+1) = 6 → 2x−2−2x−1 = 6 → −3 = 6 모순
②'재계산: 2(x−1) = 2x−2, −(2x+1) = −2x−1 → 합: −3 ≠ 6
✓실제 계산: 분모3과 6 → LCM=6, 2(x−1)−(2x+1)=6 → −3=6 해 없음이 아니라 확인: x=−3 대입: (−4)/3 − (−5)/6 = −8/6+5/6 = −3/6 = −1/2 ≠ 1. x=−1: (−2)/3−(−1)/6=−4/6+1/6=−3/6=−1/2. 정답 x = −3
✔ 정답: ④ x = −3
11
★★★
어려움
핵심 개념
나이 문제 풀이 전략:
• 현재 나이를 x로 놓기
• n년 후: x + n / n년 전: x − n
• "몇 배" 표현을 식으로 정확히 변환
• 나이는 항상 양수여야 함을 확인
• 현재 나이를 x로 놓기
• n년 후: x + n / n년 전: x − n
• "몇 배" 표현을 식으로 정확히 변환
• 나이는 항상 양수여야 함을 확인
예제
현재 어머니 나이는 40세, 아들 나이는 10세이다. 몇 년 후에 어머니 나이가 아들 나이의 3배가 되는가?
x년 후: 40+x = 3(10+x) → 40+x = 30+3x → 10 = 2x → 5년 후
현재 아버지의 나이는 42세이고 아들의 나이는 12세이다. 아버지의 나이가 아들 나이의 2배가 되는 것은 몇 년 후인가?
①x년 후 설정: 아버지 (42+x), 아들 (12+x)
②조건: 42+x = 2(12+x)
③42+x = 24+2x → 42−24 = 2x−x → x = 18
④검산: 60 = 2×30 ✓ → 18년 후
✔ 정답: ③ 18년 후
12
★★★
어려움
핵심 개념
거리 = 속력 × 시간
왕복 문제: 갈 때 거리 = 올 때 거리 (총 거리의 절반)
만남 문제: 두 사람이 이동한 거리의 합 = 전체 거리
⚠️ 단위 통일: km와 m, 시간과 분을 혼용하지 않기!
왕복 문제: 갈 때 거리 = 올 때 거리 (총 거리의 절반)
만남 문제: 두 사람이 이동한 거리의 합 = 전체 거리
⚠️ 단위 통일: km와 m, 시간과 분을 혼용하지 않기!
예제
집에서 학교까지 시속 3km로 걸어가면 40분 걸린다. 이 거리는 몇 km인가?
거리 = 3 × (40/60) = 2 km
지수는 집에서 도서관까지 시속 4 km로 걷고, 돌아올 때는 시속 6 km로 걸었더니 왕복 총 1시간이 걸렸다. 집에서 도서관까지의 거리는?
①거리를 x km로 놓기
②갈 때 시간: x/4, 올 때 시간: x/6
③방정식: x/4 + x/6 = 1
④양변×12: 3x + 2x = 12 → 5x = 12 → x = 2.4
✔ 정답: ② 2.4 km
13
★★★
보통
핵심 개념
도형 공식을 방정식으로 활용:
• 직사각형: 둘레 = 2(가로 + 세로)
• 삼각형: 넓이 = (밑변 × 높이) / 2
조건을 문자로 설정하고 공식에 대입
• 직사각형: 둘레 = 2(가로 + 세로)
• 삼각형: 넓이 = (밑변 × 높이) / 2
조건을 문자로 설정하고 공식에 대입
예제
둘레가 30cm인 직사각형에서 가로가 세로보다 3cm 더 길 때, 세로의 길이는?
세로 = x, 가로 = x+3: 2(x+3+x)=30 → 4x+6=30 → x=6 cm
가로가 세로보다 5 cm 더 긴 직사각형의 둘레가 46 cm일 때, 이 직사각형의 넓이는?
①세로 = x cm, 가로 = (x+5) cm
②둘레: 2(x + x+5) = 46 → 2(2x+5) = 46
③4x + 10 = 46 → 4x = 36 → x = 9
④세로 9cm, 가로 14cm → 넓이: 9 × 12 = 108 cm²
✔ 정답: ① 108 cm²
14
★★★
최고난이도
핵심 개념
농도 공식: 농도(%) = (소금의 양 / 소금물의 양) × 100
혼합 시: 소금의 양 보존 원칙 사용
소금의 양 = 소금물의 양 × 농도/100
⚠️ 물을 더하면 소금의 양은 변하지 않는다!
혼합 시: 소금의 양 보존 원칙 사용
소금의 양 = 소금물의 양 × 농도/100
⚠️ 물을 더하면 소금의 양은 변하지 않는다!
예제
5% 소금물 200g에 물 x g을 더하여 4%가 되게 할 때, x를 구하시오.
10 = (200+x) × 4/100 → 1000 = 4(200+x) → x = 50 g
8% 소금물 300 g에 물을 더하여 6% 소금물을 만들려면 물을 몇 g 더해야 하는가?
①소금의 양 = 300 × 8/100 = 24 g (불변)
②더할 물의 양: x g
③방정식: 24/(300+x) = 6/100
④2400 = 6(300+x) → 2400 = 1800+6x → 6x = 600 → x = 100
✔ 정답: ③ 100 g
15
★★★
쉬움
핵심 개념
좌표평면의 사분면:
제1사분면: (+, +) | 제2사분면: (−, +)
제3사분면: (−, −) | 제4사분면: (+, −)
⚠️ 축 위의 점(x=0 또는 y=0)은 어떤 사분면에도 속하지 않음!
제1사분면: (+, +) | 제2사분면: (−, +)
제3사분면: (−, −) | 제4사분면: (+, −)
⚠️ 축 위의 점(x=0 또는 y=0)은 어떤 사분면에도 속하지 않음!
예제
점 (−3, 5)는 몇 사분면 위의 점인가?
x < 0, y > 0 → 제2사분면
a > 0, b < 0일 때, 점 (−a, b)는 제 몇 사분면 위의 점인가?
①a > 0이므로 −a < 0 (x좌표 음수)
②b < 0이므로 y좌표 음수
③(−, −) → 제3사분면
✔ 정답: ③ 제3사분면
16
★★★
어려움
핵심 개념
대칭 이동 좌표 변환 (점 (a, b)의 대칭):
x축 대칭: (a, b) → (a, −b)
y축 대칭: (a, b) → (−a, b)
원점 대칭: (a, b) → (−a, −b)
x축 대칭: (a, b) → (a, −b)
y축 대칭: (a, b) → (−a, b)
원점 대칭: (a, b) → (−a, −b)
예제
점 (3, −2)를 원점에 대해 대칭이동하면?
(−3, 2)
점 A(−4, 3)을 x축에 대해 대칭이동한 점 B의 좌표는?
①x축 대칭: x좌표 유지, y좌표만 부호 변환
②(−4, 3) → (−4, −3)
✔ 정답: ③ (−4, −3)
17
★★★
보통
핵심 개념
그래프 해석 방법:
• x축: 시간(또는 독립변수), y축: 변화량(종속변수)
• 기울기 = 변화율 (그래프가 가파를수록 변화 빠름)
• 수평선 = 변화 없음 / 증가 = 오른쪽 위로
⚠️ 그래프는 현상의 변화를 시각화한 것!
• x축: 시간(또는 독립변수), y축: 변화량(종속변수)
• 기울기 = 변화율 (그래프가 가파를수록 변화 빠름)
• 수평선 = 변화 없음 / 증가 = 오른쪽 위로
⚠️ 그래프는 현상의 변화를 시각화한 것!
예제
시간-거리 그래프에서 직선이 수평이면 무엇을 의미하는가?
정지 상태 (거리 변화 없음)
어떤 물체가 일정한 속력으로 움직이고 있다. 시간을 x축, 이동거리를 y축으로 나타낼 때, 이 관계를 바르게 나타낸 그래프의 특징은?
①일정한 속력: 시간에 비례해 거리 증가
②출발 시(x=0)일 때 거리 = 0이므로 원점 통과
③비례 관계 → 원점을 지나는 직선
✔ 정답: ② 원점을 지나는 직선
18
★★★
보통
핵심 개념
정비례: y = ax (a ≠ 0) → x가 2배면 y도 2배
반비례: y = a/x (a ≠ 0) → x가 2배면 y는 1/2배
판별 방법: xy = 상수이면 반비례, y/x = 상수이면 정비례
반비례: y = a/x (a ≠ 0) → x가 2배면 y는 1/2배
판별 방법: xy = 상수이면 반비례, y/x = 상수이면 정비례
예제
y = 3x는 정비례? 반비례?
y/x = 3 (상수) → 정비례
넓이가 24 cm²인 직사각형에서 가로의 길이를 x cm, 세로의 길이를 y cm라 할 때, x와 y의 관계는?
①넓이 = 가로 × 세로: xy = 24
②y = 24/x 꼴 → 반비례 관계
③xy = 24 = 상수 → 반비례 확인
✔ 정답: ② 반비례 관계 (xy = 24)
19
★★★
어려움
핵심 개념
정비례 그래프 y = ax 위의 점 조건:
점 (p, q)가 y = ax 위에 있으면 q = ap 만족
비례상수 a: a > 0이면 제1·3사분면, a < 0이면 제2·4사분면
|a|가 클수록 y축에 가까워짐
점 (p, q)가 y = ax 위에 있으면 q = ap 만족
비례상수 a: a > 0이면 제1·3사분면, a < 0이면 제2·4사분면
|a|가 클수록 y축에 가까워짐
예제
y = ax의 그래프가 점 (2, −6)을 지날 때 a의 값은?
−6 = a×2 → a = −3
정비례 관계 y = ax의 그래프가 점 (−3, 6)을 지날 때, a의 값과 점 (2, b)가 이 그래프 위에 있을 때 b의 값을 각각 구하면?
①(−3, 6) 대입: 6 = a×(−3) → a = −2
②그래프: y = −2x
③(2, b) 대입: b = −2×2 = −4
✔ 정답: ② a = −2, b = −4
20
★★★
최고난이도
핵심 개념
반비례 관계 y = a/x 심화:
• 그래프는 쌍곡선으로 두 곡선이 각각 2개의 사분면에 존재
• a > 0: 제1, 3사분면 / a < 0: 제2, 4사분면
• 그래프 위의 점은 항상 xy = a를 만족
• 그래프는 쌍곡선으로 두 곡선이 각각 2개의 사분면에 존재
• a > 0: 제1, 3사분면 / a < 0: 제2, 4사분면
• 그래프 위의 점은 항상 xy = a를 만족
예제
y = −6/x 의 그래프가 점 (a, 3)을 지날 때 a는?
3 = −6/a → a = −2
반비례 관계 y = a/x의 그래프가 점 (4, −3)을 지날 때, 이 그래프 위의 점 (m, 6)에서 m의 값은?
①(4, −3) 대입: −3 = a/4 → a = −12
②그래프: y = −12/x
③(m, 6) 대입: 6 = −12/m → m = −2
✔ 정답: ① m = −2