단원 01
📌 문자와 식
문자를 사용한 식 표현, 대입, 일차식의 계산 — 기말고사 단골 출제 영역
01
📖 핵심 개념
문자를 사용한 식에서 곱셈 기호(×)는 생략하고, 숫자는 문자 앞에 쓴다.
나눗셈은 분수 형태로 바꾼다: \(a \div 3 = \dfrac{a}{3}\)
나눗셈은 분수 형태로 바꾼다: \(a \div 3 = \dfrac{a}{3}\)
💡 예제
\(x \times (-4) = -4x\), \(x \div 5 = \dfrac{x}{5}\), \(a \times a = a^2\)
다음 식을 기호를 생략하여 나타낸 것으로 옳지 않은 것은?
📝 해설
나눗셈은 분수로 바꿔야 합니다.\(a \div b = \dfrac{a}{b}\) 인데, ③은 \(ab\)라고 표기했으므로 틀렸습니다.
①②④⑤는 모두 올바른 표기입니다.
02
📖 핵심 개념
대입: 식의 문자 자리에 수를 넣어 식의 값을 구하는 것.
음수를 대입할 때는 반드시 괄호를 사용: \(x = -2\)이면 \(3x = 3 \times (-2)\)
음수를 대입할 때는 반드시 괄호를 사용: \(x = -2\)이면 \(3x = 3 \times (-2)\)
💡 예제
\(x = -3\)일 때 \(2x + 1\)의 값
→ \(2 \times (-3) + 1 = -6 + 1 = -5\)
→ \(2 \times (-3) + 1 = -6 + 1 = -5\)
\(a = -2, \ b = 3\) 일 때, \(2a^2 - b\) 의 값은?
📝 해설
\(a = -2, \ b = 3\) 대입:\(2a^2 - b = 2 \times (-2)^2 - 3 = 2 \times 4 - 3 = 8 - 3 = \mathbf{5}\)
⚠️ 흔한 실수: \((-2)^2 = 4\)이지 \(-4\)가 아닙니다!
03
📖 핵심 개념
동류항: 문자와 차수가 같은 항. 동류항끼리만 덧셈·뺄셈 가능.
\(3x + 5x = 8x\), \(3x + 5y\) → 동류항 아님 (계산 불가)
\(3x + 5x = 8x\), \(3x + 5y\) → 동류항 아님 (계산 불가)
💡 예제
\(4x - 2 + x + 5 = (4x+x) + (-2+5) = 5x + 3\)
다음을 계산하면? \(3(2x - 1) - 2(x + 4)\)
📝 해설
\(3(2x-1) - 2(x+4)\)\(= 6x - 3 - 2x - 8\)
\(= (6x-2x) + (-3-8)\)
\(= \mathbf{4x - 11}\)
⚠️ \(-2 \times 4 = -8\) (부호 실수 주의!)
04
📖 핵심 개념
일차식: 차수가 1인 다항식. \(ax + b\) 형태 (단, \(a \neq 0\))
상수항만 있거나 \(x^2\)이 있으면 일차식이 아님.
상수항만 있거나 \(x^2\)이 있으면 일차식이 아님.
다음 중 \(x\)에 대한 일차식인 것은?
📝 해설
① \(3x^2\)은 이차식② \(5\)는 상수
③ \(2x - 7\) → 일차식 ✓
④ \(\frac{1}{x} = x^{-1}\)은 분수식(일차식 아님)
⑤ \(0 \times x = 0\)이므로 상수 \(1\)
05
📖 핵심 개념
어떤 수 구하기: 어떤 수를 □ 또는 \(x\)로 놓고 식을 세운 뒤, 이항하여 풀기.
💡 예제
어떤 수의 3배에서 2를 빼면 10이다 → \(3x - 2 = 10\) → \(x = 4\)
어떤 수에 4를 더한 후 3을 곱하였더니 27이 되었다. 어떤 수는?
📝 해설
어떤 수를 \(x\)로 놓으면:\(3(x+4) = 27\)
\(x + 4 = 9\)
\(x = \mathbf{5}\)
단원 02
📌 일차방정식
이항, 등식의 성질, 방정식의 풀이, 활용 — 가장 많은 오답이 나오는 단원
06
📖 핵심 개념
방정식: 미지수의 값에 따라 참·거짓이 결정되는 등식.
항등식: 어떤 수를 대입해도 항상 참인 등식 (방정식과 다름!)
일차방정식: 이항 후 \(ax = b\) 꼴로 정리되는 방정식 (단, \(a \neq 0\))
항등식: 어떤 수를 대입해도 항상 참인 등식 (방정식과 다름!)
일차방정식: 이항 후 \(ax = b\) 꼴로 정리되는 방정식 (단, \(a \neq 0\))
다음 중 \(x\)에 대한 일차방정식인 것은?
📝 해설
① 이항 후 \(0 = 2\): 불능(해가 없음)② \(x^2\)이 있어 이차방정식
③ 항등식 (항상 참)
④ \(2x = 8, \ x = 4\) → 일차방정식 ✓
⑤ 항등식
07
📖 핵심 개념
이항: 등호를 기준으로 항을 반대편으로 이동. 부호가 바뀜!
\(3x + 2 = 8\) → \(3x = 8 - 2\) (2를 이항하면 \(-2\))
\(3x + 2 = 8\) → \(3x = 8 - 2\) (2를 이항하면 \(-2\))
💡 예제
\(5x - 3 = 2x + 9\)
→ \(5x - 2x = 9 + 3\) → \(3x = 12\) → \(x = 4\)
→ \(5x - 2x = 9 + 3\) → \(3x = 12\) → \(x = 4\)
방정식 \(4x - 7 = x + 5\) 를 풀면?
📝 해설
\(4x - 7 = x + 5\)\(4x - x = 5 + 7\)
\(3x = 12\)
\(x = \mathbf{4}\)
08
📖 핵심 개념
계수에 분수가 있을 때: 양변에 분모의 최소공배수(LCM)를 곱해 분수를 없앤 후 풀기.
💡 예제
\(\dfrac{x}{2} + 1 = 3\) → 양변 ×2: \(x + 2 = 6\) → \(x = 4\)
방정식 \(\dfrac{x-1}{3} = \dfrac{x+1}{2}\) 의 해는?
📝 해설
양변에 6을 곱하면:\(2(x-1) = 3(x+1)\)
\(2x - 2 = 3x + 3\)
\(2x - 3x = 3 + 2\)
\(-x = 5\)
\(x = \mathbf{-5}\)
09
📖 핵심 개념
방정식의 활용 — 연속하는 정수
연속하는 세 정수: \(n-1, \ n, \ n+1\) 또는 \(n, \ n+1, \ n+2\)로 놓기.
연속하는 세 정수: \(n-1, \ n, \ n+1\) 또는 \(n, \ n+1, \ n+2\)로 놓기.
연속하는 세 홀수의 합이 57일 때, 가장 큰 홀수는?
📝 해설
가운데 홀수를 \(n\)으로 놓으면 세 홀수는 \(n-2, \ n, \ n+2\):\((n-2) + n + (n+2) = 57\)
\(3n = 57\)
\(n = 19\)
가장 큰 홀수 = \(19 + 2 = \mathbf{21}\)... 아! 잠깐 — 가장 큰 홀수는 \(n+2 = 21\)
→ ③ 21이 정답이 맞지만 선지를 다시 보면:
\(n-2=17, n=19, n+2=21\) → 가장 큰 수 = 21 ③
⚠️ 이 문제의 정답은 ③ 21입니다.
10
📖 핵심 개념
거리·속력·시간 활용: (거리) = (속력) × (시간)
같은 거리를 다른 속력으로 갈 때 → 거리를 같다고 놓고 방정식 세우기
같은 거리를 다른 속력으로 갈 때 → 거리를 같다고 놓고 방정식 세우기
💡 예제
시속 4km로 \(x\)시간 걸으면 거리 = \(4x\) km
집에서 학교까지 시속 3 km로 걸어가면 20분이 걸린다. 같은 거리를 자전거로 가면 시속 12 km일 때 몇 분이 걸리는가?
📝 해설
거리 = \(3 \times \dfrac{20}{60} = 3 \times \dfrac{1}{3} = 1\) km자전거 시간 = \(\dfrac{1}{12}\)시간 = \(\dfrac{1}{12} \times 60 = \mathbf{5}\)분
단원 03
📌 좌표평면과 그래프
순서쌍, 사분면, 비례·반비례 그래프 — 부호 실수가 많은 단원
11
📖 핵심 개념
사분면 부호:
1사분면: \((+, +)\) | 2사분면: \((-, +)\)
3사분면: \((-, -)\) | 4사분면: \((+, -)\)
1사분면: \((+, +)\) | 2사분면: \((-, +)\)
3사분면: \((-, -)\) | 4사분면: \((+, -)\)
점 \((-3, \ 5)\)가 속하는 사분면은?
📝 해설
\((-3, 5)\)에서 \(x < 0, \ y > 0\)→ 제2사분면
12
📖 핵심 개념
축 위의 점:
\(x\)축 위: \(y = 0\) → \((a, 0)\) 형태
\(y\)축 위: \(x = 0\) → \((0, b)\) 형태
※ 축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않음!
\(x\)축 위: \(y = 0\) → \((a, 0)\) 형태
\(y\)축 위: \(x = 0\) → \((0, b)\) 형태
※ 축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않음!
다음 점 중 \(x\)축 위에 있는 점은?
📝 해설
\(x\)축 위 → \(y = 0\)① \((0,3)\): \(y\)축 위
③ \((-4, 0)\): \(y = 0\) → \(x\)축 위 ✓
13
📖 핵심 개념
대칭점:
\(x\)축 대칭: \((a, b) \to (a, -b)\) ← \(y\) 부호만 바꿈
\(y\)축 대칭: \((a, b) \to (-a, b)\) ← \(x\) 부호만 바꿈
원점 대칭: \((a, b) \to (-a, -b)\) ← 둘 다 바꿈
\(x\)축 대칭: \((a, b) \to (a, -b)\) ← \(y\) 부호만 바꿈
\(y\)축 대칭: \((a, b) \to (-a, b)\) ← \(x\) 부호만 바꿈
원점 대칭: \((a, b) \to (-a, -b)\) ← 둘 다 바꿈
점 \(A(3, -2)\)를 \(y\)축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는?
📝 해설
\(y\)축 대칭 → \(x\) 부호만 바꿈:\(A(3, -2) \to (-3, -2)\)
⚠️ 흔한 실수: \(y\)좌표도 바꾸면 안 됩니다!
14
📖 핵심 개념
정비례: \(y = ax\) (원점을 지나는 직선)
\(a > 0\): 오른쪽 위 방향 | \(a < 0\): 오른쪽 아래 방향
주의: 원점을 반드시 지나야 정비례!
\(a > 0\): 오른쪽 위 방향 | \(a < 0\): 오른쪽 아래 방향
주의: 원점을 반드시 지나야 정비례!
\(y\)가 \(x\)에 정비례하고, \(x = 3\)일 때 \(y = -6\)이다. \(x = -2\)일 때 \(y\)의 값은?
📝 해설
\(y = ax\)에 \(x = 3, y = -6\) 대입:\(-6 = 3a \Rightarrow a = -2\)
따라서 \(y = -2x\)
\(x = -2\): \(y = -2 \times (-2) = \mathbf{4}\)
15
📖 핵심 개념
반비례: \(y = \dfrac{a}{x}\) (쌍곡선)
\(a > 0\): 1, 3사분면에 그래프 | \(a < 0\): 2, 4사분면에 그래프
\(a > 0\): 1, 3사분면에 그래프 | \(a < 0\): 2, 4사분면에 그래프
\(y\)가 \(x\)에 반비례하고 \(x = -4\)일 때 \(y = 3\)이다. \(x = 6\)일 때 \(y\)의 값은?
📝 해설
\(y = \dfrac{a}{x}\)에 \(x=-4, y=3\) 대입:\(3 = \dfrac{a}{-4} \Rightarrow a = -12\)
\(y = \dfrac{-12}{x}\)에 \(x = 6\) 대입:
\(y = \dfrac{-12}{6} = \mathbf{-2}\)
심화
📌 심화·혼합 문제 (최다 오답 유형)
단원 경계를 넘나드는 고난도 유형 — 기말고사 변별력 문제
16
📖 핵심 개념
가격·비율 활용: 총 비용 = 개수 × 단가. 할인·할증은 퍼센트를 분수로.
어떤 물건을 원가의 20%를 올려 정가를 정했다가, 정가의 10%를 할인하여 팔았더니 600원의 이익이 생겼다. 원가는 얼마인가?
📝 해설
원가 = \(x\)원정가 = \(1.2x\)원
판매가 = \(1.2x \times 0.9 = 1.08x\)원
이익: \(1.08x - x = 0.08x = 600\)
\(x = \dfrac{600}{0.08} = \mathbf{7500}\)원
→ 정답은 ⑤ 7,500원
17
📖 핵심 개념
정비례·반비례 판단:
\(xy = k\) (일정) → 반비례 | \(\dfrac{y}{x} = k\) (일정) → 정비례
\(xy = k\) (일정) → 반비례 | \(\dfrac{y}{x} = k\) (일정) → 정비례
다음 표를 보고 \(y\)가 \(x\)에 반비례하는 것은?
📝 해설
② \(xy\): \(1\times12=12, \ 2\times6=12, \ 4\times3=12\)→ \(xy = 12\) (일정) → 반비례 ✓
① \(y/x = 2\) (정비례), ③④⑤ 비례·반비례 아님
18
📖 핵심 개념
그래프에서 식 구하기: 그래프가 지나는 두 점의 좌표를 \(y = ax\) 또는 \(y = \frac{a}{x}\)에 대입.
정비례 그래프 \(y = ax\)가 점 \((2, -6)\)을 지날 때, 이 그래프가 지나는 점은?
📝 해설
\(y = ax\)에 \((2, -6)\) 대입: \(-6 = 2a \Rightarrow a = -3\)\(y = -3x\)
각 선지 확인:
④ \((-1, 3)\): \(y = -3 \times (-1) = 3\) ✓ → 정답
19
📖 핵심 개념
점 \((a, b)\)의 위치로 사분면 결정. 조건 문제에서는
"\(a < 0\)이면 \(-a > 0\)" 등 부호 변환에 주의!
"\(a < 0\)이면 \(-a > 0\)" 등 부호 변환에 주의!
점 \(P(a, b)\)가 제2사분면에 있을 때, 점 \(Q(-b, a)\)가 속하는 사분면은?
📝 해설
2사분면: \(a < 0, \ b > 0\)점 \(Q(-b, a)\)의 좌표:
\(-b\): \(b > 0\)이므로 \(-b < 0\)
\(a\): \(a < 0\)
→ \((-b, a) = (-, -)\) → 제3사분면
20
📖 핵심 개념
방정식 활용 — 나이 문제:
현재 나이를 \(x\)로 놓고, 과거나 미래 나이는 \(x - n\) 또는 \(x + n\)으로 표현.
현재 나이를 \(x\)로 놓고, 과거나 미래 나이는 \(x - n\) 또는 \(x + n\)으로 표현.
💡 예제
현재 아버지 나이가 아들 나이의 4배. 8년 후 아버지 나이 = 아들 나이의 2배.
현재 아들 = \(x\): \(4x + 8 = 2(x+8)\)
현재 아들 = \(x\): \(4x + 8 = 2(x+8)\)
현재 어머니의 나이는 딸의 나이의 3배이다. 12년 후에는 어머니의 나이가 딸의 나이의 2배가 된다고 할 때, 현재 딸의 나이는?
📝 해설
현재 딸의 나이 = \(x\)살현재 어머니 = \(3x\)살
12년 후: \(3x + 12 = 2(x + 12)\)
\(3x + 12 = 2x + 24\)
\(x = \mathbf{12}\)살