📘 단원 1 · 이차방정식
01
5점
핵심 개념
이차방정식 ax²+bx+c=0 을 인수분해하면 (x-p)(x-q)=0 형태가 되어, 해는 x=p 또는 x=q 이다.
특히 x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b) 패턴을 먼저 찾는다.
특히 x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b) 패턴을 먼저 찾는다.
예제
x²−5x+6=0의 해를 구하여라.
풀이: (x−2)(x−3)=0 → x=2 또는 x=3
이차방정식 x² − 7x + 10 = 0의 두 근의 곱은?
해설
1 x² − 7x + 10 = 0을 인수분해: (x−2)(x−5) = 0
2 따라서 x = 2 또는 x = 5
3 두 근의 곱 = 2 × 5 = 10
✅ 정답: ③ 10 (두 근의 곱 = c/a = 10/1 = 10 으로도 확인 가능)
02
5점
핵심 개념
근의 공식: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
판별식 D = b²−4ac: D>0이면 서로 다른 두 근, D=0이면 중근, D<0이면 실근 없음
판별식 D = b²−4ac: D>0이면 서로 다른 두 근, D=0이면 중근, D<0이면 실근 없음
예제
2x²−3x−2=0을 근의 공식으로 풀어라.
풀이: x = (3±√(9+16))/4 = (3±5)/4 → x=2 또는 x=−½
이차방정식 x² − 4x + 1 = 0의 두 근의 합은?
해설
1 근과 계수의 관계: x²+bx+c=0에서 두 근의 합 = −b/a
2 x²−4x+1=0 → 두 근의 합 = −(−4)/1 = 4
3 근의 공식으로도 확인: x = (4±√12)/2 = 2±√3 → 합 = (2+√3)+(2−√3) = 4
✅ 정답: ② 4
03
5점
핵심 개념
이차방정식이 중근을 가질 조건: 판별식 D = b²−4ac = 0
또는 완전제곱식 (x−p)² = 0 형태일 때, x = p가 중근
또는 완전제곱식 (x−p)² = 0 형태일 때, x = p가 중근
예제
x²+kx+9=0이 중근을 가질 때, k의 값은?
풀이: D = k²−36 = 0 → k = ±6
이차방정식 x² + 6x + k = 0이 중근을 가질 때, 상수 k의 값은?
해설
1 중근 조건: D = b²−4ac = 0
2 D = 6²−4(1)(k) = 36−4k = 0
3 4k = 36 → k = 9
4 검증: x²+6x+9 = (x+3)² = 0 → x = −3 (중근) ✓
✅ 정답: ④ 9
04
5점
핵심 개념
완전제곱식으로 변형: x²+bx = (x + b/2)² − (b/2)²
이 방법(제곱 완성법)은 근의 공식을 유도하는 원리이기도 하다.
이 방법(제곱 완성법)은 근의 공식을 유도하는 원리이기도 하다.
예제
(x−3)² = 5 를 풀어라.
풀이: x−3 = ±√5 → x = 3±√5
이차방정식 (x + 2)² = 7의 해를 구하면?
해설
1 (x+2)² = 7
2 x+2 = ±√7
3 x = −2 ± √7
✅ 정답: ② x = −2 ± √7 (부호 실수 최다오답!)
05
5점
핵심 개념
연속하는 두 자연수: n, n+1 로 놓고 조건식을 세운다.
방정식의 해가 자연수인지 검증하는 단계가 필수!
방정식의 해가 자연수인지 검증하는 단계가 필수!
예제
연속하는 두 자연수의 합이 11일 때, 두 수를 구하여라.
풀이: n + (n+1) = 11 → n = 5, 따라서 5와 6
어떤 자연수의 제곱에서 그 수의 3배를 빼면 28이 된다. 이 자연수는?
해설
1 자연수를 x로 놓으면: x²−3x = 28
2 x²−3x−28 = 0
3 (x−7)(x+4) = 0 → x = 7 또는 x = −4
4 x는 자연수이므로 x = 7
✅ 정답: ③ 7
📗 단원 2 · 이차함수와 그 그래프
06
5점
핵심 개념
이차함수 표준형: y = a(x−p)² + q
꼭짓점: (p, q) / 축의 방정식: x = p
a>0이면 아래로 볼록, a<0이면 위로 볼록
꼭짓점: (p, q) / 축의 방정식: x = p
a>0이면 아래로 볼록, a<0이면 위로 볼록
예제
y = 2(x−1)²+3의 꼭짓점을 구하여라.
풀이: 꼭짓점 (1, 3), 축의 방정식 x=1
이차함수 y = −3(x + 2)² + 5의 꼭짓점의 좌표는?
해설
1 y = a(x−p)²+q에서 꼭짓점은 (p, q)
2 y = −3(x+2)²+5 = −3(x−(−2))²+5
3 p = −2, q = 5 → 꼭짓점 (−2, 5)
✅ 정답: ② (−2, 5) ※ +2를 그대로 쓰면 오답!
07
5점
핵심 개념
일반형 y = ax²+bx+c를 표준형으로:
y = a(x + b/2a)² − b²/4a + c
완전제곱식 완성 시 a를 먼저 묶는 것이 핵심!
y = a(x + b/2a)² − b²/4a + c
완전제곱식 완성 시 a를 먼저 묶는 것이 핵심!
예제
y = x²−4x+7을 표준형으로 변환하여라.
풀이: y = (x²−4x+4)+3 = (x−2)²+3 → 꼭짓점 (2,3)
이차함수 y = x² − 6x + 11의 꼭짓점의 y좌표는?
해설
1 y = x²−6x+11
2 = (x²−6x+9) − 9 + 11 (완전제곱식 완성)
3 = (x−3)² + 2
4 꼭짓점 (3, 2) → y좌표 = 2
✅ 정답: ④ 2
08
5점
핵심 개념
y = a(x−p)²+q 에서
a>0: 최솟값 = q (x=p일 때), 최댓값 없음
a<0: 최댓값 = q (x=p일 때), 최솟값 없음
a>0: 최솟값 = q (x=p일 때), 최댓값 없음
a<0: 최댓값 = q (x=p일 때), 최솟값 없음
예제
y = −2(x+1)²+4의 최댓값은?
풀이: a=−2<0이므로 최댓값 = 4 (x=−1일 때)
이차함수 y = 2(x − 3)² − 1의 최솟값은?
해설
1 a=2>0 이므로 아래로 볼록 → 최솟값 존재
2 꼭짓점 (3, −1)에서 최솟값 = −1
✅ 정답: ① −1
09
5점
핵심 개념
y=ax²의 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 이동:
y = a(x−p)² + q
※ x축 방향 이동은 부호가 반대로!
y = a(x−p)² + q
※ x축 방향 이동은 부호가 반대로!
예제
y=3x²를 x축으로 2만큼, y축으로 −1만큼 이동한 함수는?
풀이: y = 3(x−2)²−1
y = x²의 그래프를 x축 방향으로 −3만큼, y축 방향으로 4만큼 평행이동한 포물선의 식은?
해설
1 x축 방향 −3 이동: x 대신 x−(−3) = x+3 대입
2 y축 방향 +4 이동: y값에 4를 더함
3 y = (x+3)²+4
✅ 정답: ③ y = (x+3)²+4 ※ x방향 이동은 부호 반대!
10
5점
핵심 개념
이차함수 y=ax²+bx+c의 x절편: y=0으로 놓고 이차방정식 풀기
x절편의 개수 = 판별식 D의 부호로 결정
x절편의 개수 = 판별식 D의 부호로 결정
예제
y = x²−5x+4의 x절편을 구하여라.
풀이: x²−5x+4=0 → (x−1)(x−4)=0 → x=1, x=4
이차함수 y = x² − 2x − 8의 두 x절편의 합은?
해설
1 y=0: x²−2x−8=0
2 (x−4)(x+2)=0 → x=4 또는 x=−2
3 두 x절편의 합 = 4+(−2) = 2
4 빠른 풀이: 근과 계수의 관계로 합 = −(−2)/1 = 2
✅ 정답: ⑤ 2
📊 단원 3 · 통계 (산점도와 상관관계)
11
5점
핵심 개념
평균 = (모든 자료의 합) ÷ (자료의 개수)
편차 = (각 자료값) − (평균) → 편차의 합은 항상 0
편차 = (각 자료값) − (평균) → 편차의 합은 항상 0
예제
자료 2, 4, 6, 8, 10의 평균을 구하여라.
풀이: (2+4+6+8+10)÷5 = 30÷5 = 6
5개의 자료 3, 7, 5, 9, x의 평균이 6일 때, x의 값은?
해설
1 평균 = (3+7+5+9+x)/5 = 6
2 3+7+5+9+x = 30
3 24+x = 30 → x = 6
✅ 정답: ② 6
12
5점
핵심 개념
분산 = (편차)²의 평균 = Σ(xᵢ−x̄)² / n
표준편차 = √분산
표준편차가 클수록 자료가 평균에서 멀리 퍼져있다.
표준편차 = √분산
표준편차가 클수록 자료가 평균에서 멀리 퍼져있다.
예제
자료 2, 4, 6의 분산을 구하여라. (평균=4)
풀이: 편차: −2, 0, 2 → 분산 = (4+0+4)/3 = 8/3
자료 1, 3, 5, 7, 9의 분산은? (평균=5)
해설
1 평균 = (1+3+5+7+9)/5 = 5
2 편차: 1−5=−4, 3−5=−2, 5−5=0, 7−5=2, 9−5=4
3 편차²: 16, 4, 0, 4, 16
4 분산 = (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 8
✅ 정답: ④ 8 (표준편차 = √8 = 2√2)
13
5점
핵심 개념
양의 상관관계: x가 커질수록 y도 커지는 경향 → 점들이 오른쪽 위 방향
음의 상관관계: x가 커질수록 y는 작아지는 경향 → 점들이 오른쪽 아래 방향
상관관계 없음: 일정한 경향 없음
음의 상관관계: x가 커질수록 y는 작아지는 경향 → 점들이 오른쪽 아래 방향
상관관계 없음: 일정한 경향 없음
예제
키와 몸무게의 관계를 산점도로 나타내면 어떤 상관관계인가?
풀이: 키가 클수록 대체로 몸무게도 무거움 → 양의 상관관계
다음 중 음의 상관관계가 있는 예로 가장 적절한 것은?
해설
1 음의 상관관계: 한 변수가 증가할 때 다른 변수가 감소
2 ①: 기온↑ → 아이스크림 판매량↓ → 음의 상관관계 ✓
3 ②③④⑤: 모두 양의 상관관계
✅ 정답: ① (기온↑ 아이스크림↓ — 음의 상관관계)
14
5점
핵심 개념
표준편차가 0이면 모든 자료값이 평균과 같다 (변동 없음)
표준편차가 작을수록 자료가 평균 가까이 모여있다
두 집단 비교 시: 평균 같고 표준편차 다르면 성취도 분포 비교
표준편차가 작을수록 자료가 평균 가까이 모여있다
두 집단 비교 시: 평균 같고 표준편차 다르면 성취도 분포 비교
예제
A반 표준편차=2, B반 표준편차=5. 어느 반이 더 고르게 분포되어 있나?
풀이: 표준편차가 작은 A반이 더 고르게 분포
다음 설명 중 옳지 않은 것은?
해설
1 ① 맞음 / ② 맞음 / ④ 맞음 (분산=표준편차²) / ⑤ 맞음
2 ③: 분산 = (표준편차)² → 표준편차가 1보다 크면 분산 > 표준편차!
3 예: 표준편차=3이면 분산=9 → 분산>표준편차 → ③은 틀림
✅ 정답: ③ (분산이 항상 표준편차보다 작다는 것은 거짓)
15
5점
핵심 개념
근과 계수의 관계 (x²+bx+c=0의 두 근 α, β):
α+β = −b (두 근의 합)
α·β = c (두 근의 곱)
α+β = −b (두 근의 합)
α·β = c (두 근의 곱)
예제
x²−5x+k=0의 두 근의 합이 5, 곱이 k이다. k를 구하여라.
풀이: 두 근의 합 = 5 (이미 만족), 곱 = k (조건에 따라 결정)
이차방정식 x² − 5x + k = 0의 두 근의 비가 1:4일 때, k의 값은?
해설
1 두 근의 비가 1:4 이므로 두 근을 t, 4t로 놓음
2 두 근의 합: t+4t = 5t = 5 → t = 1
3 두 근: 1, 4
4 k = 두 근의 곱 = 1×4 = 4
✅ 정답: ⑤ 4
16
5점
핵심 개념
이차함수 y=ax²+bx+c에서
그래프가 x축에 접할 때: 판별식 D=0 (중근, x절편 1개)
그래프가 x축과 만나지 않을 때: D<0 (실근 없음)
그래프가 x축에 접할 때: 판별식 D=0 (중근, x절편 1개)
그래프가 x축과 만나지 않을 때: D<0 (실근 없음)
예제
y=x²+4x+k의 그래프가 x축에 접하려면?
풀이: D = 16−4k = 0 → k = 4
이차함수 y = x² − 4x + k의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 k의 범위는?
해설
1 서로 다른 두 점에서 만남 ⟺ D > 0
2 D = (−4)²−4(1)(k) = 16−4k > 0
3 −4k > −16 → k < 4
✅ 정답: ② k < 4
17
5점
핵심 개념
이차함수 y=ax²+bx+c의 대칭축: x = −b/2a
포물선은 대칭축에 대해 좌우 대칭이므로, 대칭인 두 점의 x좌표 평균 = 대칭축
포물선은 대칭축에 대해 좌우 대칭이므로, 대칭인 두 점의 x좌표 평균 = 대칭축
예제
y = 2x²−8x+3의 축의 방정식은?
풀이: x = −(−8)/(2×2) = 8/4 = 2 → x=2
이차함수 y = x² − 6x + 5의 축의 방정식은?
해설
1 축의 방정식: x = −b/2a = −(−6)/(2×1) = 6/2 = 3
2 또는 표준형으로: y = (x−3)²−4 → x=3
✅ 정답: ③ x = 3
18
5점
핵심 개념
중앙값: 자료를 크기 순으로 나열했을 때 가운데 값
(짝수 개: 가운데 두 값의 평균)
최빈값: 가장 자주 나오는 값 (여러 개일 수 있음)
(짝수 개: 가운데 두 값의 평균)
최빈값: 가장 자주 나오는 값 (여러 개일 수 있음)
예제
자료: 3, 5, 5, 7, 9의 중앙값과 최빈값은?
풀이: 중앙값=5 (3번째), 최빈값=5 (2번 등장)
자료 2, 4, 4, 6, 8, 10의 중앙값은?
해설
1 자료를 크기 순으로: 2, 4, 4, 6, 8, 10 (이미 정렬됨)
2 짝수 개(6개)이므로 3번째와 4번째의 평균
3 (4+6)/2 = 5
✅ 정답: ④ 5 (짝수 개일 때 중앙값 계산법 확인!)
19
5점
핵심 개념
실생활 최대·최소 문제는 이차함수로 모델링하여 꼭짓점의 y값을 구한다.
넓이, 거리, 이익 문제 → 변수 설정 → 이차식 완성 → 꼭짓점 확인
넓이, 거리, 이익 문제 → 변수 설정 → 이차식 완성 → 꼭짓점 확인
예제
가로+세로=10인 직사각형의 최대 넓이는?
풀이: 가로=x, 세로=10−x → S=x(10−x)=−x²+10x → 꼭짓점 (5,25) → 최대 25
공을 위로 던졌을 때, t초 후의 높이가 h = −5t² + 20t + 1(m)이다. 공이 최고 높이에 도달하는 시간(초)은?
해설
1 h = −5t²+20t+1, a=−5<0 → 위로 볼록 → 최댓값 존재
2 표준형으로: h = −5(t²−4t)+1 = −5(t−2)²+21
3 꼭짓점 (2, 21) → t=2초일 때 최고 높이 21m
✅ 정답: ① 2초 (최고 높이는 21m)
20
5점
핵심 개념
상관관계의 강도: 점들이 직선에 가깝게 모일수록 강한 상관관계
점들이 퍼져 있을수록 약한 상관관계 또는 상관관계 없음
점들이 퍼져 있을수록 약한 상관관계 또는 상관관계 없음
예제
산점도에서 점들이 오른쪽 아래로 모여있다면?
풀이: 강한 음의 상관관계
산점도에서 두 변수 사이의 상관관계가 없다고 볼 수 있는 경우는?
해설
1 ①: 강한 양의 상관관계
2 ③⑤: 음의 상관관계
3 ④: 약한 양의 상관관계
4 ②: 일정한 경향이 없음 → 상관관계 없음
✅ 정답: ② 불규칙하게 흩어져 있는 경우 = 상관관계 없음