고1-1 기말 수학 실전기출

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다항식의 연산

곱셈공식
(a+b)² = a²+2ab+b²
(a−b)² = a²−2ab+b²
(a+b)(a−b) = a²−b²
(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
(a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³
a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²)

⭐ (a+b)³ 계수: 1, 3, 3, 1 (파스칼 삼각형)
⭐ 다항식 나눗셈: 피제식 = 제식×몫 + 나머지

예제

(2x−y)³의 x²y 계수는?
3항: 3·(2x)²·(−y) = 3·4x²·(−y) = −12x²y

→ 계수 = −12

2

나머지정리 & 인수정리

나머지정리: f(x)를 (x−a)로 나눈 나머지 = f(a)

인수정리: f(a)=0 ⟺ f(x)는 (x−a)를 인수로 가짐

f(x)를 (x−a)(x−b)로 나눈 나머지 = px+q (1차 이하)
→ f(a)=pa+q, f(b)=pb+q 연립

⭐ (ax−b)로 나눈 나머지 = f(b/a)
⭐ 나머지가 1차식일 때 두 점 대입 연립!

예제

f(x)를 (x−2)로 나누면 나머지 5, (x+1)로 나누면 나머지 −1
나머지 ax+b: 2a+b=5, −a+b=−1
→ a=2, b=1 → a+b=3

→ a+b = 3

3

인수분해 고급

x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)
a²−b² = (a+b)(a−b)
a²±2ab+b² = (a±b)²
치환: t=x²으로 놓고 이차식 처리
a³+b³+c³−3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)

⭐ x⁴+x²+1 = (x²+x+1)(x²−x+1) 빈출!
⭐ 차수 낮추기: 한 문자에 대해 내림차순 정리 후 인수분해

예제

x⁴−13x²+36 인수분해
t=x²: t²−13t+36=(t−4)(t−9)=(x²−4)(x²−9)

= (x+2)(x−2)(x+3)(x−3)

4

복소수 & 이차방정식

i=√(−1), i²=−1, i³=−i, i⁴=1 (주기 4)

판별식 D = b²−4ac
D>0: 두 실근 / D=0: 중근 / D<0: 두 허근

근과 계수의 관계 (ax²+bx+c=0의 두 근 α,β)
α+β = −b/a, αβ = c/a

α²+β² = (α+β)²−2αβ
α³+β³ = (α+β)³−3αβ(α+β)
α⁴−β⁴ = (α²+β²)(α+β)(α−β)

⭐ i의 지수: 4로 나눈 나머지로 계산
⭐ (α−β)² = (α+β)²−4αβ

5

이차부등식 & 절댓값

a>0, D>0, 두 근 α<β 일 때:
ax²+bx+c > 0 → x<α 또는 x>β
ax²+bx+c < 0 → α<x<β

항상 성립 조건 (a>0):
ax²+bx+c>0 (모든실수) ↔ D<0
ax²+bx+c≥0 (모든실수) ↔ D≤0

|x|<a (a>0) → −a<x<a
|x|>a (a>0) → x<−a 또는 x>a

⭐ D/4 = (b/2)² − ac (b가 짝수일 때 편리)
⭐ D=0이면 이차부등식 ≥0의 해: 모든 실수

6

집합 & 명제

n(A∪B) = n(A)+n(B)−n(A∩B)
n(Aᶜ∩Bᶜ) = n((A∪B)ᶜ) = n(U)−n(A∪B)
A−B = A∩Bᶜ

드모르간: (A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜ, (A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ

명제 p→q의 대우: ~q→~p (원명제와 동치)
역: q→p / 이: ~p→~q (동치 아님!)

⭐ 원명제 참 ↔ 대우 참 (반드시!)
⭐ 역·이는 원명제와 진리값 달라도 됨