UNIT 01 · 등차수열
CONCEPT
일정한 수(공차 d)를 더해서 만들어지는 수열.
첫째항 a₁, 공차 d, n번째 항 aₙ으로 구성된다.
📌 일반항: aₙ = a₁ + (n−1)d
📌 합: Sₙ = n/2 × {2a₁ + (n−1)d} = n/2 × (a₁ + aₙ)
📌 등차중항: b = (a+c)/2 ↔ 2b = a+c
⚠ n은 자연수
⚠ d = aₙ₊₁ − aₙ 일정
⚠ S₁ = a₁
EXAMPLE
Q. a₁=3, d=4일 때 a₁₀=?
A. a₁₀ = 3 + (10−1)×4 = 3 + 36 = 39
UNIT 02 · 등비수열
CONCEPT
일정한 수(공비 r)를 곱해서 만들어지는 수열.
r ≠ 0이며, 인접한 두 항의 비가 일정하다.
📌 일반항: aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹
📌 합: Sₙ = a₁(rⁿ−1)/(r−1) (r≠1)
📌 합: Sₙ = na₁ (r=1)
📌 등비중항: b² = ac (a,b,c > 0)
⚠ r ≠ 0, r ≠ 1 확인
⚠ aₙ₊₁/aₙ = r 일정
EXAMPLE
Q. a₁=2, r=3일 때 a₅=?
A. a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162
UNIT 03 · 시그마(∑) 합
CONCEPT
∑ 기호는 여러 항의 합을 간결하게 표현한다.
반드시 공식을 암기해야 계산이 빠르다.
📌 Σk = n(n+1)/2 (k=1~n)
📌 Σk² = n(n+1)(2n+1)/6 (k=1~n)
📌 Σk³ = {n(n+1)/2}² (k=1~n)
📌 Σc = cn (c는 상수)
📌 Σ(af+bg) = aΣf + bΣg (선형성)
⚠ 범위 확인 필수
⚠ Σ1 = n
⚠ 선형성 활용
EXAMPLE
Q. Σk (k=1~10)=?
A. 10×11/2 = 55
UNIT 04 · 지수와 로그
CONCEPT
지수: aˣ 형태. 로그: logₐb = x ↔ aˣ = b
두 개념은 서로 역연산 관계이다.
📌 지수 법칙: aᵐ×aⁿ=aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ, aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ
📌 a⁰=1, a⁻ⁿ=1/aⁿ, a^(1/n)=ⁿ√a
📌 로그 성질: logₐMN=logₐM+logₐN
📌 logₐ(M/N)=logₐM−logₐN
📌 logₐMⁿ=n·logₐM
📌 logₐb = logₓb / logₓa (밑변환)
⚠ a>0, a≠1
⚠ logₐa=1, logₐ1=0
⚠ 진수 > 0
EXAMPLE
Q. log₂8 = ? / log₂4 + log₂8 = ?
A. log₂8 = log₂2³ = 3 / log₂32 = 5
UNIT 05 · 수학적 귀납법
CONCEPT
자연수 n에 관한 명제를 증명하는 방법.
도미노 원리와 같다: 첫 도미노 쓰러짐 → 연쇄 쓰러짐.
📌 STEP 1 (기저): n=1일 때 성립함을 보인다.
📌 STEP 2 (귀납): n=k일 때 성립 가정 → n=k+1 성립 증명
📌 ∴ 모든 자연수 n에 대해 성립
⚠ n=1 확인 필수
⚠ k→k+1 변환 핵심
⚠ 가정 명시
EXAMPLE
Q. Σk=n(n+1)/2를 귀납법으로 증명 시, n=k+1 단계에서 좌변에 더하는 항은?
A. Sₖ + (k+1) → k+1을 좌변에 추가하여 우변과 같음 보임