① 지수함수 · 로그함수
지수함수
지수 핵심 법칙 & 치환 전략
지수 방정식의 핵심은 치환이다. a^x = t (t > 0)로 놓으면 이차방정식으로 변환된다.
a^m × a^n = a^(m+n)
(a^m)^n = a^(mn)
a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
a^(-n) = 1/a^n
🔑 암기 포인트
① 밑이 같으면 지수끼리 계산
② 2^(x+1) = 2·2^x, 2^(1-x) = 2/2^x 분리 적용
③ 치환 후 t > 0 조건 반드시 확인!
① 밑이 같으면 지수끼리 계산
② 2^(x+1) = 2·2^x, 2^(1-x) = 2/2^x 분리 적용
③ 치환 후 t > 0 조건 반드시 확인!
예제
2^(x+1) + 2^(1-x) = 5 를 풀어라.
풀이: t = 2^x 로 치환 → 2t + 2/t = 5 → 2t² - 5t + 2 = 0
→ (2t-1)(t-2) = 0 → t = 1/2 or t = 2
→ x = -1 or x = 1, 합 = 0
→ (2t-1)(t-2) = 0 → t = 1/2 or t = 2
→ x = -1 or x = 1, 합 = 0
로그함수
로그 법칙 & 밑변환 공식
로그에서 가장 중요한 기술: 같은 밑으로 통일시키는 것.
log_a(MN) = log_a M + log_a N
log_a(M/N) = log_a M - log_a N
log_a(M^n) = n·log_a M
log_b a = log_c a / log_c b ← 밑변환
🔑 암기: log₄(x) = log₂(x)/2 (밑변환으로 log₂로 통일)
자주 실수: log의 진수 조건 (진수 > 0) 잊지 말 것!
자주 실수: log의 진수 조건 (진수 > 0) 잊지 말 것!
예제
log₂(x) + log₄(x) = 6 의 해는?
log₂(x) + log₂(x)/2 = 6 → 3/2·log₂(x) = 6
→ log₂(x) = 4 → x = 16
→ log₂(x) = 4 → x = 16
② 삼각함수
삼각함수
핵심 공식 총정리
sin²x + cos²x = 1
sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x)
cos(2x) = cos²x - sin²x = 1 - 2sin²x
tan(x) = sin(x)/cos(x)
🔑 배각공식은 적분과 연계 필수!
sin(2x)는 sin·cos 곱 형태에서 바로 변환
범위 조건: 0 ≤ x ≤ 2π에서 해의 개수 꼭 확인
sin(2x)는 sin·cos 곱 형태에서 바로 변환
범위 조건: 0 ≤ x ≤ 2π에서 해의 개수 꼭 확인
예제
0 < x < π/2 에서 sin(x) = 3/5 일 때 sin(2x)는?
cos(x) = 4/5 (피타고라스 정리)
sin(2x) = 2×(3/5)×(4/5) = 24/25
sin(2x) = 2×(3/5)×(4/5) = 24/25
③ 수열 (등차·등비·점화식)
수열
등차·등비수열 & 점화식 핵심
등차: a_n = a_1 + (n-1)d, S_n = n/2·(2a₁+(n-1)d)
등비: a_n = a_1·r^(n-1), S_n = a₁(r^n-1)/(r-1)
점화식 a_(n+1)=r·a_n+k → b_n=a_n+k/(r-1)로 등비
🔑 점화식 풀기: a_(n+1) = 2a_n + 1 형태
→ a_(n+1)+1 = 2(a_n+1) → b_n = a_n+1 로 놓으면 등비수열!
일반항: b_n = b_1·2^(n-1) → a_n = 2^n - 1
→ a_(n+1)+1 = 2(a_n+1) → b_n = a_n+1 로 놓으면 등비수열!
일반항: b_n = b_1·2^(n-1) → a_n = 2^n - 1
예제
a₁=1, d=2인 등차수열의 S₁₀은?
S₁₀ = 10/2×(2×1+9×2) = 5×20 = 100
④ 미적분 (극한·미분·적분)
미적분
미분·적분 핵심 공식
(x^n)' = n·x^(n-1)
(f·g)' = f'g + fg' ← 곱의 미분
접선: y-f(a) = f'(a)(x-a)
∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C
넓이 = ∫_a^b |f(x)-g(x)| dx
🔑 극대·극소 판별: f'(x)=0 → 증감표 작성
f'(a)=0이고 f''(a)<0 → 극대, f''(a)>0 → 극소
넓이 계산시 부호(±) 반드시 확인!
f'(a)=0이고 f''(a)<0 → 극대, f''(a)>0 → 극소
넓이 계산시 부호(±) 반드시 확인!
예제
f(x) = x³ - 3x² + 4 의 극대값은?
f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x-2) = 0 → x=0 or x=2
x=0에서 극대: f(0) = 4
x=0에서 극대: f(0) = 4
⑤ 확률 · 통계 · 조합
확률·통계
확률·조합·정규분포 핵심
nCr = n! / (r!(n-r)!)
P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)
독립: P(A∩B) = P(A)·P(B)
정규화: Z = (X-μ)/σ
이항정리: (a+b)^n = Σ nCk·a^(n-k)·b^k
🔑 독립 vs 종속: 독립이면 곱 공식 사용!
정규분포: 표준화 Z 변환 후 표준정규분포표 이용
이항정리: x^k 의 계수 → nCk·a^(n-k)·b^k
정규분포: 표준화 Z 변환 후 표준정규분포표 이용
이항정리: x^k 의 계수 → nCk·a^(n-k)·b^k
예제
nC2 = 15를 만족하는 n은?
n(n-1)/2 = 15 → n(n-1) = 30 → n = 6
실전 킬러문항 20선
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정답/풀이수
1
방정식 2^(x+1) + 2^(1−x) = 5의 모든 실수 해의 합은?
풀이: t = 2^x (t > 0)로 치환
∴ 모든 해의 합 = −1 + 1 = 0 ②
2t + 2/t = 5 → 2t² − 5t + 2 = 0 → (2t−1)(t−2) = 0
t = 1/2이면 x = −1, t = 2이면 x = 1∴ 모든 해의 합 = −1 + 1 = 0 ②
2
방정식 log₂(x) + log₄(x) = 6 의 해는?
풀이: 밑변환 공식으로 log₂로 통일
log₄(x) = log₂(x)/2 이므로 log₂(x) + log₂(x)/2 = 6
3/2 × log₂(x) = 6 → log₂(x) = 4 → x = 2⁴ = 16 ③
3
0 < x < π/2 에서 sin(x) = 3/5 일 때, sin(2x)의 값은?
풀이: sin²x + cos²x = 1 에서
sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x) = 2 × 3/5 × 4/5 = 24/25 ④
cos²x = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25 → cos(x) = 4/5
(0<x<π/2 이므로 cos(x) > 0)sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x) = 2 × 3/5 × 4/5 = 24/25 ④
4
공차가 2이고 a₃ = 5인 등차수열의 첫째항부터 제10항까지의 합 S₁₀은?
풀이: a₃ = a₁ + 2d = a₁ + 4 = 5 → a₁ = 1
S₁₀ = 10/2 × (2×1 + 9×2) = 5 × 20 = 100
∴ S₁₀ = 100 ③
5
첫째항이 2, 공비가 3인 등비수열의 첫째항부터 제5항까지의 합은?
풀이: 등비수열 합 공식 S_n = a₁(r^n−1)/(r−1)
S₅ = 2×(3⁵−1)/(3−1) = 2×(243−1)/2 = 2×121 = 242
∴ S₅ = 242 ④
6
lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2) 의 값은?
풀이: 분자 인수분해 → 약분
(x²−4)/(x−2) = (x+2)(x−2)/(x−2) = x+2
lim(x→2)(x+2) = 2+2 = 4 ④
7
함수 f(x) = x³ − 3x² + 4 에서 극솟값은?
풀이: f'(x) = 3x² − 6x = 3x(x−2) = 0 → x=0 or x=2
f(2) = 8 − 12 + 4 = 0 ①
증감표: x<0 f'>0↑, 0<x<2 f'<0↓, x>2 f'>0↑
x=0에서 극대(f(0)=4), x=2에서 극소f(2) = 8 − 12 + 4 = 0 ①
8
∫₀² (3x² − 2x + 1)dx 의 값은?
풀이: 부정적분 후 대입
∫(3x²−2x+1)dx = x³ − x² + x + C
[x³−x²+x]₀² = (8−4+2)−0 = 6 ③
9
ₙC₂ = 15 를 만족하는 자연수 n의 값은?
풀이: ₙC₂ = n(n−1)/2 = 15
n(n−1) = 30 → n=6이면 6×5=30 ✓
∴ n = 6 ③
10
(x + 2)⁵의 전개식에서 x³의 계수는?
풀이: 이항정리 일반항: ₅Cₖ·x^(5-k)·2^k
x³항: 5-k=3 → k=2
₅C₂·2² = 10×4 = 40
∴ x³의 계수 = 40 ④
₅C₂·2² = 10×4 = 40
11
lim(n→∞) (3n² + 2n)/(n² − 1) 의 값은?
풀이: 분자·분모를 최고차항 n²으로 나누기
∴ 극한값 = 3/1 = 3 ③
(3n²+2n)/(n²−1) = (3+2/n)/(1−1/n²)
n→∞이면 2/n→0, 1/n²→0∴ 극한값 = 3/1 = 3 ③
12
함수 f(x) = x² + 2x 위의 점 x=1에서의 접선의 y절편은?
풀이: f(1)=1+2=3, f'(x)=2x+2, f'(1)=4
접선: y−3 = 4(x−1) → y = 4x − 1
y절편(x=0): y = −1 ①
13
두 사건 A, B가 서로 독립이고 P(A) = 1/2, P(B) = 1/3 일 때, P(A∩B)는?
풀이: A, B가 독립이면 P(A∩B) = P(A)·P(B)
P(A∩B) = 1/2 × 1/3 = 1/6
∴ P(A∩B) = 1/6 ②
14
X ~ N(50, 10²) 일 때, P(Z ≤ 2) = 0.9772 로 주어질 경우 P(X > 70)의 값은?
풀이: 표준화: Z = (X−μ)/σ = (70−50)/10 = 2
P(X>70) = P(Z>2) = 1 − P(Z≤2) = 1 − 0.9772
∴ P(X>70) = 0.0228 ②
15
두 벡터 a⃗ = (1, 2, 2), b⃗ = (2, 1, −2)의 내적 a⃗·b⃗의 값은?
풀이: 내적은 대응하는 성분끼리 곱해서 합산
a⃗·b⃗ = 1×2 + 2×1 + 2×(−2) = 2 + 2 − 4 = 0
내적이 0이므로 두 벡터는 서로 수직! ∴ 0 ①
16
곡선 y = x²과 직선 y = x로 둘러싸인 넓이는?
풀이: 교점: x²=x → x=0 or x=1
0≤x≤1 에서 x ≥ x²이므로
0≤x≤1 에서 x ≥ x²이므로
넓이 = ∫₀¹(x−x²)dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6
∴ 넓이 = 1/6 ①
17
방정식 4^x − 3·2^x − 4 = 0 의 실수 해는?
풀이: t = 2^x (t>0)로 치환, 4^x = t²
t² − 3t − 4 = 0 → (t−4)(t+1) = 0
t=4 (t>0이므로 t=−1 기각) → 2^x = 4 = 2² → x=2 ③
18
0 ≤ x < 2π에서 2cos(x) − 1 = 0의 모든 해의 합은?
풀이: cos(x) = 1/2
0≤x<2π 에서 x = π/3 또는 x = 5π/3
모든 해의 합 = π/3 + 5π/3 = 6π/3 = 2π ④
19
수열 {aₙ}이 a₁ = 1, aₙ₊₁ = 2aₙ + 1을 만족할 때, a₅의 값은?
풀이: bₙ = aₙ+1 로 놓으면 bₙ₊₁ = 2bₙ (등비수열)
검산: 1→3→7→15→31 ✓
b₁=2, bₙ=2^n → aₙ=2^n−1
a₅ = 2⁵−1 = 32−1 = 31 ④검산: 1→3→7→15→31 ✓
20
수직선 위에서 움직이는 점 P의 시각 t에서의 속도가
v(t) = 3t² − 6t + 3 이다. 0 ≤ t ≤ 3 에서 점 P가 움직인 거리는?
v(t) = 3t² − 6t + 3 이다. 0 ≤ t ≤ 3 에서 점 P가 움직인 거리는?
풀이: v(t) = 3(t−1)² ≥ 0 (항상 양수!)
거리 = ∫₀³|v(t)|dt = ∫₀³(3t²−6t+3)dt
= [t³−3t²+3t]₀³ = (27−27+9)−0 = 9
∴ 이동 거리 = 9 ③
= [t³−3t²+3t]₀³ = (27−27+9)−0 = 9
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