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2024 기말고사 대비
수학 I
기말고사
고등학교 1학년 1학기
문항 수
20
시간
50분
배점
100점
난이도
★★☆

핵심 개념 정리

단원별 핵심 공식과 예제를 확인하세요

01

다항식의 연산

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핵심 공식
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² - 2ab + b²
(a+b)(a-b) = a² - b²
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
암기 포인트
✦ (a+b)² 전개 시 중간항 2ab를 절대 빠뜨리지 말 것
✦ (a+b)³의 계수는 파스칼의 삼각형: 1, 3, 3, 1
✦ 항등식: 모든 x값에 대해 성립 → 계수 비교법 사용
예제
Q. (2x+3y)²를 전개하면?
= (2x)² + 2·(2x)·(3y) + (3y)²
= 4x² + 12xy + 9y²
→ 정답: 4x² + 12xy + 9y²
02

나머지정리 · 인수정리

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핵심 공식
나머지정리: f(x)를 (x-a)로 나눈 나머지 = f(a)
인수정리: f(a)=0 ⟺ (x-a)가 f(x)의 인수
암기 포인트
✦ (x-a)로 나누면 x=a 대입
✦ (x+a)로 나누면 x=-a 대입
✦ 인수 조건: 나머지 = 0
예제
Q. f(x)=x³-2x²+3x-1을 (x-2)로 나눈 나머지는?
f(2) = 8 - 8 + 6 - 1 = 5
→ 나머지: 5
03

인수분해

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핵심 공식
a²-b² = (a+b)(a-b)
a²+2ab+b² = (a+b)²
a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)
a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
a³+3a²b+3ab²+b³ = (a+b)³
암기 포인트
✦ 세제곱 차: a³-b³=(a-b)(a²++ab+b²) 중간 부호 +
✦ 세제곱 합: a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) 중간 부호 -
✦ 공통인수 먼저! → 그 다음 곱셈 공식
예제
Q. x³-8을 인수분해하면?
x³-2³ = (x-2)(x²+2x+4)
→ (x-2)(x²+2x+4)
04

방정식 (이차·고차)

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핵심 공식
판별식 D = b² - 4ac
D > 0: 서로 다른 두 실근
D = 0: 중근(같은 두 실근)
D < 0: 허근(실근 없음)

근과 계수의 관계 (ax²+bx+c=0, 두 근 α,β)
α+β = -b/a, αβ = c/a
암기 포인트
✦ α²+β² = (α+β)² - 2αβ
✦ (α-β)² = (α+β)² - 4αβ
✦ 이차방정식 근의 공식: x = (-b ± √D) / 2a
예제
Q. x²-5x+6=0의 두 근의 합과 곱은?
α+β = 5 (=-(-5)/1), αβ = 6 (=6/1)
→ 합: 5, 곱: 6
05

부등식

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핵심 공식
절댓값 부등식
|x| < a ↔ -a < x < a
|x| > a ↔ x < -a 또는 x > a

이차부등식 (a>0, ax²+bx+c=0의 두 근 α<β)
ax²+bx+c > 0 ↔ x < α 또는 x > β
ax²+bx+c < 0 ↔ α < x < β
암기 포인트
✦ 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 바뀜
✦ 이차부등식: 포물선이 x축을 기준으로 위/아래 판단
✦ 연립부등식: 각각 풀고 교집합 구하기
예제
Q. |2x-3|<5를 풀면?
-5 < 2x-3 < 5
-2 < 2x < 8
-1 < x < 4
→ -1 < x < 4
06

집합과 명제

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핵심 공식
집합 공식
n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
드모르간: (A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ
(A∩B)ᶜ = Aᶜ∪Bᶜ

명제 p→q
역: q→p / 이: ~p→~q
대우: ~q→~p (대우는 원명제와 진릿값 동일)
암기 포인트
✦ 명제와 대우: 항상 진릿값이 같다
✦ 역·이: 원명제와 진릿값이 다를 수 있다
✦ 필요충분조건: p↔q (동치)
예제
Q. A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6}일 때 n(A∩B)는?
A∩B = {2,4} → n(A∩B) = 2
→ 2
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