고2 수학Ⅱ 기말고사 실전 기출 20선

📌 학습 순서: 각 단원의 핵심 개념과 암기 공식을 먼저 숙지한 후, 문제풀기 탭에서 실전 연습하세요.

함수의 극한

핵심 개념

$\lim_{x \to a} f(x) = L$이면 $x$가 $a$에 가까워질 때 $f(x)$가 $L$에 가까워짐
좌극한: $\lim_{x \to a^-} f(x)$, 우극한: $\lim_{x \to a^+} f(x)$
극한값 존재 ↔ 좌극한 = 우극한

⭐ 반드시 암기

★$\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}$ (단, 분모 $\neq 0$)

★$\lim_{x\to\infty}\dfrac{ax^n+\cdots}{bx^n+\cdots} = \dfrac{a}{b}$ (최고차항 비교)

★$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$

📝 예제

$\lim_{x \to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ 를 구하여라.

풀이: $\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ → $\lim_{x\to 2}(x+2)=\mathbf{4}$

함수의 연속

핵심 개념

$f(x)$가 $x=a$에서 연속 ↔ ① $f(a)$ 정의, ② 극한값 존재, ③ $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$
최대·최소 정리: 닫힌 구간에서 연속 → 최댓값·최솟값 존재
사잇값 정리: $f(a)\cdot f(b)<0$ → $f(c)=0$인 $c$가 $(a,b)$에 존재

⭐ 반드시 암기

★연속의 3조건을 순서대로 확인!

★불연속점 유형: 점 불연속, 도약 불연속, 무한 불연속

미분계수와 도함수

핵심 개념

미분계수: $f'(a) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
도함수: $f'(x) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
미분가능 → 연속 (역은 성립하지 않음)

⭐ 반드시 암기 — 미분 공식

★$(x^n)' = nx^{n-1}$

★$(fg)' = f'g + fg'$ (곱의 미분)

★$\{f(g(x))\}' = f'(g(x))\cdot g'(x)$ (합성함수 미분)

★$(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$

★$(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$

📝 예제

$f(x) = x^3$의 $x=2$에서 미분계수를 구하여라.

$f'(x)=3x^2$ → $f'(2)=3\times 4=\mathbf{12}$

도함수의 활용

핵심 개념

접선의 방정식: $y = f'(a)(x-a) + f(a)$
증가/감소: $f'(x)>0$이면 증가, $f'(x)<0$이면 감소
극값: $f'(a)=0$이고 부호가 바뀌면 극대 또는 극소
변곡점: $f''(a)=0$이고 $f''$ 부호가 바뀌는 점

⭐ 반드시 암기

★극대·극소 판정: $f'(x)=0$의 좌우에서 $f'$의 부호 변화 확인

★닫힌 구간 최댓값/최솟값: 극값 + 양 끝값 비교

★속도 $v=s'(t)$, 가속도 $a=v'(t)=s''(t)$

📝 예제

$f(x)=x^3-3x^2+4$의 극대값을 구하여라.

$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0$ → $x=0$ (극대), $x=2$ (극소)
극대값: $f(0)=\mathbf{4}$

핵심 개념

⭐ 반드시 암기

📝 예제

핵심 개념

⭐ 반드시 암기

핵심 개념

⭐ 반드시 암기 — 미분 공식

📝 예제

핵심 개념

⭐ 반드시 암기

📝 예제

정답 및 해설