수능 수학 킬러문항 20선

UNIT 01 지수·로그 함수

📌 반드시 암기

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$
$\log_a MN = \log_a M + \log_a N$
$\log_a M^k = k\log_a M$
$\log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a}$ (밑 변환 공식)
$a^{\log_a N} = N$ (지수·로그 역함수 관계)

$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ (연쇄 법칙)

📝 기출 예제

$\log_2 3 = a$일 때, $\log_4 27$을 $a$로 나타내어라.

풀이: $\log_4 27 = \dfrac{\log_2 27}{\log_2 4} = \dfrac{3\log_2 3}{2} = \dfrac{3a}{2}$ ★ 답: $\dfrac{3a}{2}$

UNIT 02 삼각함수

📌 반드시 암기

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$, $1+\tan^2\theta = \sec^2\theta$
$\sin(A \pm B) = \sin A\cos B \pm \cos A\sin B$
$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$
$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$

📝 기출 예제

$\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$일 때, $\sin\theta\cos\theta$의 값은?

풀이: 양변 제곱 → $1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{3}{4}$ → $\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{1}{8}$ ★ 답: $-\dfrac{1}{8}$

UNIT 03 수열과 점화식

📌 반드시 암기

등차: $a_n = a_1 + (n-1)d$, $S_n = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$
등비: $a_n = a_1 r^{n-1}$, $S_n = \dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1}$
$\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\sum_{k=1}^n k^3 = \left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$

📝 기출 예제

$a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 1$일 때, $a_5$를 구하여라.

$b_n = a_n + 1$로 놓으면 $b_{n+1} = 2b_n$ (등비) → $b_n = 2^{n-1} \cdot 2 = 2^n$ → $a_n = 2^n - 1$ → $a_5 = 31$

UNIT 04 미분법

📌 반드시 암기

$(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$
$(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$
합성함수: $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
역함수: $(f^{-1})'(a) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(a))}$

📝 기출 예제

$f(x) = e^{\sin x}$일 때, $f'(0)$을 구하여라.

$f'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x$ → $f'(0) = e^0 \cdot 1 = 1$ ★ 답: $1$

UNIT 05 적분법

📌 반드시 암기

$\int e^x dx = e^x + C$, $\int \dfrac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
$\int \sin x\, dx = -\cos x + C$
부분적분: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$
넓이: $\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$

📝 기출 예제

$\int_0^1 xe^x\,dx$를 구하여라.

부분적분: $u=x$, $dv=e^x dx$ → $[xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e-1) = 1$ ★ 답: $1$

UNIT 06 확률과 통계

📌 반드시 암기

순열: $_nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$, 조합: $_nC_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
이항분포: $E(X)=np$, $V(X)=npq$
정규분포 표준화: $Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$
$P(a \le X \le b) = P\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma} \le Z \le \dfrac{b-\mu}{\sigma}\right)$

📝 기출 예제

$X \sim N(50, 4^2)$일 때, $P(46 \le X \le 58)$을 구하여라.

$P(-1 \le Z \le 2) = P(0 \le Z \le 2) + P(0 \le Z \le 1) = 0.4772 + 0.3413 = 0.8185$

UNIT 07 공간벡터

📌 반드시 암기

내적: $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
수직 조건: $\vec{a}\perp\vec{b}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$
구의 방정식: $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$
평면의 방정식: $ax+by+cz+d=0$ (법선벡터 $(a,b,c)$)

📝 기출 예제

$\vec{a}=(1,2,-1)$, $\vec{b}=(2,-1,k)$가 수직이 되도록 $k$를 구하여라.

$\vec{a}\cdot\vec{b} = 2-2-k=0$ → $k=0$ ★ 답: $0$

수능 수학 킬러문항 20선

📌 반드시 암기

📝 기출 예제

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📝 기출 예제

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📝 기출 예제

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📝 기출 예제

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📝 기출 예제

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📝 기출 예제

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📝 기출 예제

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