중3-1 수학 기말고사 실전 모의고사

Ⅰ

실수와 제곱근

핵심 개념

어떤 수 \(x\)를 제곱하여 \(a\)가 될 때, \(x\)를 \(a\)의 제곱근이라 한다.
양수 \(a\)의 제곱근은 \(+\sqrt{a}\)와 \(-\sqrt{a}\) 두 개이고, \(0\)의 제곱근은 \(0\)뿐이다.

\(\sqrt{a^2} = a \;\;(a \ge 0)\)
\(\sqrt{a^2} = -a \;\;(a < 0)\)
\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab} \;\;(a>0,\;b>0)\)
\(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}} \;\;(a>0,\;b>0)\)

암기 포인트

√a² = |a| 무리수 ≠ 분수 실수 = 유리수 + 무리수

예제

\(\sqrt{(-3)^2}\)의 값은?

풀이: \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3\) ∴ 정답: 3

Ⅱ

근호를 포함한 식의 계산

핵심 개념

분모의 유리화: 분모에 무리수가 있으면 분모·분자에 같은 수를 곱해 유리수로 만든다.

\(\dfrac{b}{\sqrt{a}} = \dfrac{b\sqrt{a}}{a}\)
\(m\sqrt{a} \pm n\sqrt{a} = (m \pm n)\sqrt{a}\)
\((\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a - b\)

암기 포인트

근호 안을 최소로 같은 근호끼리만 덧뺄셈

예제

\(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\)을 유리화하면?

풀이: \(\dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\) ∴ 정답: \(2\sqrt{3}\)

Ⅲ

다항식의 인수분해

핵심 공식

\(ma + mb = m(a+b)\)
\(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\)
\(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\)
\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
\(x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)\)
\(acx^2 + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d)\)

암기 포인트

합의 제곱 차의 제곱 합차공식 교차곱법

예제

\(x^2 - 5x + 6\)을 인수분해하면?

풀이: \(-2\)와 \(-3\)의 합은 \(-5\), 곱은 \(6\)
∴ \((x-2)(x-3)\)

Ⅳ

이차방정식

핵심 개념

\(ax^2 + bx + c = 0\) \((a \neq 0)\) 꼴의 방정식. 풀이 방법: ① 인수분해 ② 제곱근 ③ 근의 공식

근의 공식: \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
판별식: \(D = b^2 - 4ac\)
\(D > 0\): 서로 다른 두 근
\(D = 0\): 중근 (두 근이 같음)
\(D < 0\): 근 없음

근과 계수의 관계

두 근을 \(\alpha, \beta\)라 하면
\(\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}\), \;\; \alpha\beta = \dfrac{c}{a}\)

예제

\(x^2 - 5x + 6 = 0\)의 해는?

인수분해: \((x-2)(x-3)=0\) ∴ \(x=2\) 또는 \(x=3\)

Ⅴ

이차함수와 그 그래프

핵심 개념

기본형: \(y = ax^2\) (꼭짓점: 원점)
표준형: \(y = a(x-p)^2 + q\) (꼭짓점: \((p,q)\))
일반형: \(y = ax^2 + bx + c\) → 표준형으로 변환
축의 방정식: \(x = -\dfrac{b}{2a}\)

암기 포인트

a>0 이면 아래로 볼록 a<0 이면 위로 볼록 |a| 클수록 좁음

예제

\(y = 2(x-1)^2 + 3\)의 꼭짓점과 축은?

꼭짓점: \((1, 3)\), 축: \(x=1\), 아래로 볼록

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정답 및 해설