고1 공통수학1
기말 핵심 기출 20선

\((2x+y)^3\)을 이항정리 또는 공식으로 전개합니다.

\((a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)에서 \(a=2x, b=y\)로 놓으면

\(x^2y\) 항: \(3a^2b = 3 \cdot (2x)^2 \cdot y = 3 \times 4x^2y = \mathbf{12}x^2y\)

∴ 계수 = 12

\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) 공식을 역방향으로 읽으면

\(a=x, b=2\)일 때: \((x+2)(x^2-2x+4) = x^3+2^3 = x^3+8\)

∴ \(x^3+8\)

\(x^4+x^2+1\)에서 \(x^2=t\)로 치환하면 \(t^2+t+1\)인데, 이 방법으로는 인수분해 안 됩니다.

대신 중간항 보완법을 사용합니다:

\(x^4+x^2+1 = x^4+2x^2+1 - x^2 = (x^2+1)^2-x^2\)

\(= (x^2+1+x)(x^2+1-x) = \mathbf{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}\)

나머지정리에 의해 \(f(x)=x^3-2x^2+3x-4\)에 \(x=1\)을 대입합니다.

\(f(1) = 1-2+3-4 = \mathbf{-2}\)

∴ 나머지 = −2

나누어떨어지므로 인수정리에 의해 \(f(1)=0, f(-2)=0\)

\(f(1)=1+a+b=0 \Rightarrow a+b=-1 \quad \cdots (1)\)

\(f(-2)=-8-2a+b=0 \Rightarrow -2a+b=8 \quad \cdots (2)\)

(1)−(2): \(3a=-9 \Rightarrow a=-3\), \(b=2\)

\(f(2)=8+(-3)(2)+2=8-6+2=\mathbf{4}\)

\(x=2+\sqrt{3}\)이면 \(x-2=\sqrt{3}\)

양변을 제곱: \((x-2)^2=3 \Rightarrow x^2-4x+4=3\)

\(\therefore x^2-4x+1 = (x^2-4x+4)-3 = 3-3 = \mathbf{0}\)

두 허근을 가지려면 판별식 \(D < 0\)

\(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 36 - 4k < 0\)

\(4k > 36 \Rightarrow \mathbf{k > 9}\)

근과 계수의 관계: \(\alpha+\beta=5\), \(\alpha\beta=3\)

\(\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 25 - 6 = \mathbf{19}\)

\(x+y=5\), \(xy=4\)이면 \(x, y\)는 이차방정식 \(t^2-5t+4=0\)의 두 근

\((t-1)(t-4)=0 \Rightarrow t=1\) 또는 \(t=4\)

∴ \((x,y)=(1,4)\) 또는 \((4,1)\)

우변을 인수분해: \(x^2-3x-4=(x-4)(x+1)\)

\((x-4)(x+1)>0\)이므로 두 근 \(-1, 4\)의 바깥쪽

∴ \(x < -1\) 또는 \(x > 4\)

\(|2x-3| < 5 \Rightarrow -5 < 2x-3 < 5\)

각 변에 3을 더하면: \(-2 < 2x < 8\)

각 변을 2로 나누면: \(\mathbf{-1 < x < 4}\)

서로 다른 두 점에서 만나려면 판별식 \(D > 0\)

\(D = (-2k)^2 - 4k = 4k^2-4k = 4k(k-1) > 0\)

\(k < 0\) 또는 \(k > 1\)

양의 정수 \(k\)의 최솟값: \(k=1\)은 제외(D=0), \(\mathbf{k=2}\)

점과 직선 사이의 거리 공식: \(d = \dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(d = \dfrac{|3 \cdot 3+4 \cdot 4-25|}{\sqrt{9+16}} = \dfrac{|9+16-25|}{\sqrt{25}} = \dfrac{|0|}{5} = \mathbf{0}\)

∴ 점 \(A(3,4)\)는 직선 위에 있으므로 거리 = 0

표준형: \((x-2)^2+(y+1)^2=9\)

전개: \(x^2-4x+4+y^2+2y+1=9\)

\(\mathbf{x^2+y^2-4x+2y-4=0}\)

두 점에서 만나려면: 중심 \((0,0)\)에서 직선 \(x-y+k=0\)까지의 거리 \(d < 5\)

\(d = \dfrac{|k|}{\sqrt{2}} < 5 \Rightarrow |k| < 5\sqrt{2} \approx 7.07\)

따라서 \(-7.07 < k < 7.07\)

정수 \(k\): \(-7, -6, -5, \cdots, 6, 7\) → 총 14개

두 원의 방정식을 빼면 공통현(교점을 지나는 직선)의 방정식이 됩니다.

원1: \(x^2+y^2-2x-4y+1=0\)

원2: \(x^2+y^2-4x-2y+1=0\)

원1 − 원2: \(-2x-4y+4x+2y=0 \Rightarrow 2x-2y=0\)

∴ \(\mathbf{y=x}\)

\(x\)를 \(x-1\)로, \(y\)를 \(y+2\)로 바꿉니다.

\(y+2=(x-1)^2+2(x-1)-1\)

\(y+2=x^2-2x+1+2x-2-1=x^2-2\)

∴ \(\mathbf{y=x^2-4}\)

\(x\)축 대칭: \(y\)를 \(-y\)로 교체

\(-y=x^2-3x+2 \Rightarrow \mathbf{y=-x^2+3x-2}\)

접선 조건: 원의 중심 \((0,0)\)에서 직선까지의 거리 \(= r\)

직선 \(2x-y+1=0\)으로 변환

\(d = \dfrac{|2 \cdot 0-0+1|}{\sqrt{4+1}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = r\)

∴ \(\mathbf{r^2 = \dfrac{1}{5}}\)

꼭짓점: \((k, \; -k^2+k+2)\)

제1사분면 조건: \(x\)좌표 \(> 0\) AND \(y\)좌표 \(> 0\)

① \(k > 0\)

② \(-k^2+k+2 > 0 \Rightarrow k^2-k-2 < 0 \Rightarrow (k-2)(k+1) < 0 \Rightarrow -1 < k < 2\)

교집합: \(\mathbf{0 < k < 2}\)