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중학교 1학년 1학기 기말고사

수학 핵심 기출 20문제

소인수분해 · 최대공약수 · 최소공배수 · 정수와 유리수 · 일차방정식

📝 20문항 · 객관식 5지선다
⏱ 권장 40분
⭐ 난이도 중상

핵심 개념 정리

1
소수·합성수 & 소인수분해
▼
소수 (Prime)
1과 자기 자신만을 약수로 갖는 1보다 큰 자연수
2, 3, 5, 7, 11, 13, …
합성수 (Composite)
약수가 3개 이상인 1보다 큰 자연수
4, 6, 8, 9, 10, 12, …
🔑 소인수분해 방법
어떤 수를 소수들의 곱으로 나타내는 것
360 = 2³ × 3² × 5
① 가장 작은 소수부터 나눔 ② 몫이 1이 될 때까지 반복
📌 예제
72를 소인수분해하면?
72 = 2 × 36 = 2 × 2 × 18 = 2² × 18 = 2² × 2 × 9 = 2³ × 9 = 2³ × 3²
정답: 2³ × 3²
⚠1은 소수도 합성수도 아니다!
⚠2는 유일한 짝수 소수
⚠약수의 개수: a^m × b^n이면 (m+1)(n+1)개
2
최대공약수 & 최소공배수
▼
🔑 핵심 공식
최대공약수 (GCD): 공통 소인수 × 각 지수의 최솟값
최소공배수 (LCM): 모든 소인수 × 각 지수의 최댓값

A = 2² × 3, B = 2 × 3²
GCD = 2¹ × 3¹ = 6, LCM = 2² × 3² = 36
🔑 중요 관계식
두 수 A, B일 때:
A × B = GCD(A,B) × LCM(A,B)
A = GCD × a, B = GCD × b (a, b는 서로소)
📌 예제
24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3²
GCD = 2² × 3 = 12, LCM = 2³ × 3² = 72
검산: 24 × 36 = 864 = 12 × 72 ✓
정답: 최대공약수 12, 최소공배수 72
3
정수와 유리수
▼
수의 분류
정수 ⊂ 유리수 ⊂ 실수
양의 정수(자연수): 1,2,3,…
음의 정수: …,-3,-2,-1
0: 양수도 음수도 아님
절댓값
수직선에서 원점까지의 거리
|+5| = 5, |-5| = 5
|0| = 0
항상 0 이상
🔑 유리수 사칙연산 규칙
덧셈: 같은 부호 → 절댓값의 합 + 공통부호
          다른 부호 → 절댓값의 차 + 큰 절댓값의 부호
뺄셈: 뺄 수의 부호를 바꿔 덧셈
(+3) - (-5) = (+3) + (+5) = +8
곱셈·나눗셈: 부호 결정 후 절댓값 계산
같은 부호 → (+), 다른 부호 → (-)
📌 예제
(-3) × (+4) ÷ (-2)
= (-12) ÷ (-2)
= +6
정답: +6
⚠수직선에서 오른쪽일수록 큰 수 → 음수끼리는 절댓값이 작을수록 큰 수
⚠역수: 곱하면 1이 되는 수. -3/4의 역수는 -4/3
4
문자와 식 & 일차식 계산
▼
🔑 대입과 식의 값
a = -2일 때 3a² - 2a + 1의 값
= 3×(-2)² - 2×(-2) + 1
= 3×4 + 4 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17
🔑 동류항 계산
문자 부분이 같은 항끼리만 계산
3x + 2y - x + 5y = (3-1)x + (2+5)y = 2x + 7y
분배법칙: a(b+c) = ab + ac
⚠괄호 앞 부호가 (-)이면 괄호 안 모든 항의 부호가 바뀜
5
일차방정식
▼
🔑 풀이 단계
① 괄호 제거  ② 분수·소수 → 정수화 (양변에 분모의 LCM 또는 10의 거듭제곱 곱함)
③ 미지수 항 → 좌변, 상수 항 → 우변
④ 양변 동류항 정리  ⑤ ax = b → x = b/a
📌 예제
2(x - 3) = 5x + 3
2x - 6 = 5x + 3
2x - 5x = 3 + 6
-3x = 9
x = -3
정답: x = -3
⚠일차방정식: ax + b = 0 (a ≠ 0) 꼴로 변형 가능한 방정식
⚠검산: 구한 x값을 원래 식에 대입하여 양변이 같은지 확인
📊 문항 진행 현황
문제 01 소수·합성수 중
다음 중 소수인 것을 모두 고른 것은?
ㄱ. 1    ㄴ. 2    ㄷ. 9    ㄹ. 11    ㅁ. 51
문제 02 소인수분해 중
180을 소인수분해한 것으로 옳은 것은?
문제 03 약수의 개수 상
2³ × 3² × 5의 약수의 개수는?
문제 04 최대공약수 중
84와 120의 최대공약수는?
문제 05 최소공배수 중
18과 24의 최소공배수는?
문제 06 GCD·LCM 관계 상
두 자연수 A와 B의 최대공약수가 6이고 최소공배수가 60일 때, A × B의 값은?
문제 07 정수의 분류 중
다음 중 옳은 것은?
문제 08 절댓값과 대소관계 상
절댓값이 4 이하인 정수의 개수는?
문제 09 유리수 덧셈·뺄셈 중
(-5) + (+3) - (-7)를 계산하면?
문제 10 유리수 곱셈·나눗셈 상
(-4) × (+3) ÷ (-6)의 값은?
문제 11 혼합계산 상
(-2)² - 3 × (-4) + (-1)을 계산하면?
문제 12 식의 값 (대입) 중
a = -2, b = 3일 때, 2a² - ab의 값은?
문제 13 일차식 계산 중
3(2x - 1) - 2(x + 4)를 간단히 하면?
문제 14 일차방정식 풀기 중
방정식 3x - 7 = 2x + 5의 해는?
문제 15 일차방정식 (괄호) 상
방정식 2(3x - 4) = 5x + 1의 해는?
문제 16 방정식의 활용 (나이) 상
현재 아버지의 나이는 아들의 나이의 4배이다. 6년 후에 아버지의 나이가 아들 나이의 2배가 된다면, 현재 아들의 나이는?
문제 17 최대공약수 활용 상
가로 72 cm, 세로 48 cm인 직사각형 모양의 종이를 가능한 한 크고 정사각형 모양으로 빈틈없이 자르려고 한다. 자른 정사각형의 한 변의 길이는?
문제 18 최소공배수 활용 상
어떤 자연수 n을 4로 나누면 2가 남고, 6으로 나누면 4가 남는다. n의 최솟값은?
문제 19 분수 방정식 상
방정식 x/2 - 1 = x/3 + 2의 해는?
문제 20 방정식 활용 (거리·속력) 상
수현이는 집에서 학교까지 시속 4 km로 걸어가고, 학교에서 집까지는 시속 6 km로 뛰어 돌아왔다. 왕복하는 데 총 1시간이 걸렸다면, 집에서 학교까지의 거리는?
🏆 최종 점수
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정답 및 해설

01 소수·합성수 정답: ③
ㄱ. 1 / ㄴ. 2 / ㄷ. 9 / ㄹ. 11 / ㅁ. 51
• ㄱ. 1은 소수가 아님 (약수가 1개뿐. 소수는 약수 2개)
• ㄴ. 2는 소수 (약수: 1, 2 → 유일한 짝수 소수)
• ㄷ. 9 = 3 × 3이므로 합성수
• ㄹ. 11은 소수 (약수: 1, 11)
• ㅁ. 51 = 3 × 17이므로 합성수
따라서 소수는 ㄴ(2), ㄹ(11)이다. → 정답 ③
02 소인수분해 정답: ②
180 ÷ 2 = 90 → 90 ÷ 2 = 45 → 45 ÷ 3 = 15 → 15 ÷ 3 = 5 → 5 ÷ 5 = 1
180 = 2² × 3² × 5
① 2 × 3² × 10 → 10은 소수가 아니므로 소인수분해가 아님
⑤ 2² × 5 × 9 → 9는 소수가 아니므로 소인수분해가 아님
→ 정답 ②
03 약수의 개수 정답: ③
2³ × 3² × 5¹의 약수의 개수
= (3+1) × (2+1) × (1+1)
= 4 × 3 × 2
= 24
→ 정답 ③
04 최대공약수 정답: ④
84 = 2² × 3 × 7
120 = 2³ × 3 × 5
GCD = 공통 소인수 × 각 지수의 최솟값
= 2² × 3 = 4 × 3 = 12
→ 정답 ④
05 최소공배수 정답: ③
18 = 2 × 3²
24 = 2³ × 3
LCM = 모든 소인수 × 각 지수의 최댓값
= 2³ × 3² = 8 × 9 = 72
→ 정답 ③
06 GCD·LCM 관계 정답: ④
두 수의 곱 = 최대공약수 × 최소공배수
A × B = GCD × LCM = 6 × 60 = 360
→ 정답 ④
07 정수의 분류 정답: ④
① 0은 양수도 음수도 아니다. (오답)
② 정수 = 양의 정수 + 0 + 음의 정수. 0이 빠졌다. (오답)
③ 양의 유리수에는 1/2, 2/3 같은 분수도 있다. (오답)
④ 모든 정수는 n = n/1로 표현 가능하므로 유리수이다. (정답)
⑤ 유리수 중 정수가 아닌 것도 많다 (예: 1/2). (오답)
→ 정답 ④
08 절댓값과 대소관계 정답: ③
|x| ≤ 4를 만족하는 정수 x:
x = -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4
개수 = 9개
(절댓값이 4 이하 → -4부터 +4까지의 정수, 0도 포함)
→ 정답 ③
09 유리수 덧셈·뺄셈 정답: ②
(-5) + (+3) - (-7)
= (-5) + (+3) + (+7)   [뺄셈 → 덧셈으로 변환: -(-7) = +7]
= (-5) + (+10)
= +5
잠깐! 재계산: (+3) + (+7) = +10, (-5) + (+10) = +5
→ 정답 ④ (+5)
10 유리수 곱셈·나눗셈 정답: ③
(-4) × (+3) ÷ (-6)
= (-12) ÷ (-6)   [(-) × (+) = (-)]
= +2   [(-) ÷ (-) = (+)]
→ 정답 ③
11 혼합계산 정답: ③
(-2)² - 3 × (-4) + (-1)
= +4 - 3 × (-4) + (-1)   [(-2)² = +4]
= 4 + 12 + (-1)   [3 × (-4) = -12, 빼면 +12]
= 4 + 12 - 1
= 15
→ 정답 ③
12 식의 값 (대입) 정답: ④
a = -2, b = 3일 때, 2a² - ab
= 2 × (-2)² - (-2) × 3
= 2 × 4 - (-6)
= 8 + 6
= 14
→ 정답 ④
13 일차식 계산 정답: ①
3(2x - 1) - 2(x + 4)
= 6x - 3 - 2x - 8   [분배법칙]
= (6x - 2x) + (-3 - 8)
= 4x - 11
→ 정답 ①
14 일차방정식 풀기 정답: ④
3x - 7 = 2x + 5
3x - 2x = 5 + 7
x = 12
검산: 3(12) - 7 = 36 - 7 = 29, 2(12) + 5 = 24 + 5 = 29 ✓
→ 정답 ④
15 일차방정식 (괄호) 정답: ④
2(3x - 4) = 5x + 1
6x - 8 = 5x + 1
6x - 5x = 1 + 8
x = 9
검산: 2(3×9-4) = 2(27-4) = 2×23 = 46, 5×9+1 = 45+1 = 46 ✓
→ 정답 ④
16 방정식 활용 (나이) 정답: ③
현재 아들의 나이를 x세로 놓으면, 아버지의 나이는 4x세
6년 후: 아들 (x+6), 아버지 (4x+6)
조건: 4x + 6 = 2(x + 6)
4x + 6 = 2x + 12
2x = 6
x = 3
아 잠깐! 검산: 아들 3, 아버지 12, 6년후 아들 9, 아버지 18. 18 = 2×9 ✓
→ 정답 ③ (6세가 아니라 아들 3세!)
17 최대공약수 활용 정답: ②
가능한 한 크게 자르려면 → 한 변의 길이 = 72와 48의 최대공약수
72 = 2³ × 3²
48 = 2⁴ × 3
GCD = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24
잠깐! 2³ = 8, 3¹ = 3, 8×3 = 24인데 선택지에 24 cm가 ⑤번...
다시 계산: 72 = 2³×3², 48 = 2⁴×3 → GCD: 2의 지수 min(3,4)=3, 3의 지수 min(2,1)=1 → 2³×3 = 24
→ 정답 ⑤ (24 cm)
18 최소공배수 활용 정답: ②
n을 4로 나누면 나머지 2, 6으로 나누면 나머지 4
n - 2는 4의 배수: n - 2 = 4k
n - 4는 6의 배수: n - 4 = 6m
즉, (n+2)는 4의 배수이고 (n+2)는 6의 배수
→ n+2가 4와 6의 공배수 → LCM(4,6) = 12의 배수
가장 작은 경우: n+2 = 12 → n = 10
검산: 10 ÷ 4 = 2 나머지 2 ✓, 10 ÷ 6 = 1 나머지 4 ✓
→ 정답 ② (10)
19 분수 방정식 정답: ③
x/2 - 1 = x/3 + 2
양변에 6(분모의 LCM) 곱하기:
3x - 6 = 2x + 12
3x - 2x = 12 + 6
x = 18
검산: 18/2 - 1 = 9 - 1 = 8, 18/3 + 2 = 6 + 2 = 8 ✓
→ 정답 ③
20 방정식 활용 (거리·속력) 정답: ④
집~학교 거리를 x km로 놓음
갈 때 시간: x/4 (시간), 올 때 시간: x/6 (시간)
총 시간 = 1시간:
x/4 + x/6 = 1
양변에 12 곱하기: 3x + 2x = 12
5x = 12
x = 12/5 = 2.4 km
검산: 2.4/4 + 2.4/6 = 0.6 + 0.4 = 1 ✓
→ 정답 ④