고2-1 기말수학 | 핵심 기출 20선

CONCEPT REVIEW

핵심 개념 & 암기 공식

01 함수의 극한 — 정의와 성질

x → a일 때 f(x)의 값이 특정 값 L에 한없이 가까워지면 lim(x→a) f(x) = L 이라 한다.

⚡ 극한 사칙연산 (lim f=A, lim g=B) lim [f±g] = A±B lim [f·g] = A·B lim [f/g] = A/B (단, B≠0) ⚡ 좌극한 = 우극한 = L ⟺ 극한값 존재 lim(x→a⁻) f(x) = lim(x→a⁺) f(x) = L ⚡ 0/0 부정형 처리 · 다항식: 인수분해 후 약분 · 분모에 근호: 유리화 · (ax²+bx+c)/x² 꼴: 분자분모 최고차항으로 나누기

✎ 암기! x→∞ 꼴: 최고차항으로 나눠라!
lim(x→∞) (ax²+bx) / (cx²+d) = a/c (차수 같을 때)

예제: lim(x→2) (x²-4)/(x-2) = ?

= lim(x→2) (x+2)(x-2)/(x-2) = lim(x→2)(x+2)

= 4 ✓

예제: lim(x→∞) (3x²+x)/(2x²-1) = ?

x²으로 나누면 → (3+1/x)/(2-1/x²) → 3/2

= 3/2 ✓

02 함수의 연속

x = a에서 연속 ⟺ 아래 세 조건 모두 만족

[연속의 3가지 조건] ① f(a) 가 정의되어 있다 ② lim(x→a) f(x) 가 존재한다 → 좌극한 = 우극한 ③ lim(x→a) f(x) = f(a) [연속함수의 성질] · f, g 연속 ⟹ f±g, f·g, f/g (g≠0) 연속 · 최대·최소 정리: [a,b]에서 연속 ⟹ 최댓값·최솟값 존재 · 사잇값 정리: f(a)·f(b) < 0 ⟹ f(c)=0인 c 존재

✎ 암기! 연속 = 끊어지지 않고 이어지는 것!
구멍(hole)·점프·발산 → 불연속

예제: f(x) = (x²-1)/(x-1) (x≠1), f(1)=k 가 x=1에서 연속이 되려면 k=?

lim(x→1) (x²-1)/(x-1) = lim(x→1)(x+1) = 2 → k=2이어야 연속

k = 2 ✓

03 미분계수와 도함수

미분계수 f'(a) = lim(h→0) [f(a+h)-f(a)] / h = lim(x→a) [f(x)-f(a)] / (x-a)

[기본 미분 공식] (반드시 암기!) · (c)' = 0 (c: 상수) · (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ · (cf)' = cf' · (f±g)' = f'±g' · (fg)' = f'g + fg' ← 곱의 미분 · (f/g)' = (f'g - fg') / g² ← 몫의 미분 [합성함수 미분] (핵심!) y = f(g(x)) ⟹ y' = f'(g(x))·g'(x)

✎ 암기! 미분가능 ⟹ 연속 (역은 성립 안 함!)
|x|는 x=0에서 연속이지만 미분불가능

예제: f(x) = x³ - 3x² + 2 일 때 f'(1) = ?

f'(x) = 3x² - 6x → f'(1) = 3-6

= -3 ✓

04 도함수의 활용

f'(x)의 부호로 함수의 증감·극값을 판단한다.

[증감표 분석] f'(x) > 0 ⟹ f(x) 증가 f'(x) < 0 ⟹ f(x) 감소 f'(a) = 0 & 부호 변화 있으면 극값 [극값 판단] f'(a)=0 이고 · (+)→(-): x=a에서 극대, 극댓값 f(a) · (-)→(+): x=a에서 극소, 극솟값 f(a) [접선의 방정식] 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선: y - f(a) = f'(a)(x - a) [속도·가속도] 위치 x(t) → 속도 v=x'(t) → 가속도 a=v'(t)=x''(t)

✎ 암기! 삼차함수 y=ax³+bx²+cx+d 의 극값 개수
판별식 D = (2b)²-3·3a·c = 4b²-9ac
D > 0: 극대·극소 각 1개 | D = 0 또는 D < 0: 극값 없음

예제: f(x) = x³ - 3x의 극댓값과 극솟값은?

f'(x) = 3x²-3 = 3(x-1)(x+1) = 0 → x = ±1

x = -1: 극대 → f(-1) = -1+3 = 2

x = 1: 극소 → f(1) = 1-3 = -2

극댓값 2, 극솟값 -2 ✓

⏱ 40:00

문제 1 / 20

맞은수: 0

Q.01 함수의 극한 ★★★ 어려움

lim_x→3 (x²-9)/(x-3) 의 값은?

분자를 인수분해:
x² - 9 = (x+3)(x-3)
∴ lim(x→3) (x+3)(x-3)/(x-3)
= lim(x→3) (x+3)
= 3 + 3 = 6

정답: ③ 6

Q.02 함수의 극한 ★★★ 어려움

lim_x→∞ (2x²+3x-1)/(x²-x+5) 의 값은?

분자·분모를 최고차항 x²으로 나누면:
(2 + 3/x - 1/x²) / (1 - 1/x + 5/x²)
x → ∞ 이면 1/x → 0, 1/x² → 0
∴ (2 + 0 - 0) / (1 - 0 + 0) = 2

정답: ③ 2

Q.03 함수의 극한 ★★★★ 최고난도

lim_x→0 (√(x+4) - 2) / x 의 값은?

분자·분모에 켤레식 (√(x+4) + 2) 를 곱한다:
[√(x+4) - 2][√(x+4) + 2] / x·[√(x+4) + 2]
= (x+4-4) / x·[√(x+4)+2]
= x / x·[√(x+4)+2]
= 1 / [√(x+4)+2]
x → 0 이면 √4 + 2 = 2 + 2 = 4
∴ 1/4

정답: ② 1/4

Q.04 함수의 극한 ★★★ 어려움

lim_x→2 f(x) = 3, lim_x→2 g(x) = -1 일 때, lim_x→2 [2f(x) - 3g(x)] 의 값은?

극한의 선형성 (사칙연산 성질):
lim [2f(x) - 3g(x)]
= 2·lim f(x) - 3·lim g(x)
= 2·3 - 3·(-1)
= 6 + 3 = 9

정답: ④ 9

Q.05 함수의 연속 ★★★★ 최고난도

함수 f(x)가 x=1에서 연속이 되려면 상수 a의 값은?

f(x) = { x²+ax-2 (x≠1)
{ 3 (x=1)

연속 조건: lim(x→1) f(x) = f(1) = 3
lim(x→1) (x²+ax-2) = 1 + a - 2 = a - 1
∴ a - 1 = 3
a = 4

정답: ⑤ 4

Q.06 함수의 연속 ★★★★ 최고난도

다음 함수 중 x=0에서 불연속인 것은?

②번: f(x) = |x|/x (x≠0), f(0)=0
x→0⁺ 일 때 |x|/x = x/x = 1
x→0⁻ 일 때 |x|/x = (-x)/x = -1
좌극한 ≠ 우극한 → 극한값 존재하지 않음
∴ x=0에서 불연속

정답: ② f(x)=|x|/x

Q.07 함수의 연속 ★★★★ 최고난도

f(x) = x² - x - 2 라 할 때, 방정식 f(x) = 0 이 열린구간 (1, 3)에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보장하는 근거로 가장 알맞은 것은?

f(x)는 다항함수이므로 연속함수
f(1) = 1 - 1 - 2 = -2 < 0
f(3) = 9 - 3 - 2 = 4 > 0
f(1)·f(3) = (-2)·4 = -8 < 0
∴ 사잇값 정리에 의해 (1,3)에서 f(c)=0인 c가 반드시 존재

정답: ③ 사잇값 정리

Q.08 미분계수 ★★★ 어려움

f(x) = x² + 3x 일 때, 미분계수 f'(2) 의 값은?

f(x) = x² + 3x
f'(x) = 2x + 3
f'(2) = 2·2 + 3 = 4 + 3 = 7

정답: ③ 7

Q.09 도함수 ★★★★ 최고난도

f(x) = (x² + 1)(x³ - x) 일 때, f'(1) 의 값은?

곱의 미분: f'(x) = (x²+1)'(x³-x) + (x²+1)(x³-x)'
= 2x(x³-x) + (x²+1)(3x²-1)
f'(1) = 2·1·(1-1) + (1+1)(3-1)
= 2·1·0 + 2·2
= 0 + 4 = 4

정답: ③ 4

Q.10 도함수 ★★★★ 최고난도

lim_h→0 [f(1+h) - f(1)] / h = 5 이고 f(1) = 3 일 때, lim_h→0 [f(1+3h) - f(1)] / h 의 값은?

lim(h→0) [f(1+h)-f(1)]/h = f'(1) = 5

lim(h→0) [f(1+3h)-f(1)]/h
= lim(h→0) [f(1+3h)-f(1)]/(3h) · 3
(t=3h으로 치환: h→0이면 t→0)
= lim(t→0) [f(1+t)-f(1)]/t · 3
= f'(1) · 3 = 5 · 3 = 15

정답: ④ 15

Q.11 도함수의 활용 — 접선 ★★★ 어려움

곡선 y = x³ - 3x + 2 위의 점 (1, 0)에서의 접선의 기울기는?

y = x³ - 3x + 2
y' = 3x² - 3
x=1에서의 기울기: y'(1) = 3(1)² - 3 = 3 - 3 = 0

정답: ② 0

Q.12 도함수의 활용 — 극값 ★★★★ 최고난도

f(x) = x³ - 3x² - 9x + 2 의 극댓값은?

f'(x) = 3x² - 6x - 9 = 3(x²-2x-3) = 3(x-3)(x+1)
f'(x) = 0 → x = -1 또는 x = 3

증감표:
x: ... -1 ... 3 ...
f': + 0 - 0 +
f: ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

극댓값: f(-1) = (-1)³ - 3(-1)² - 9(-1) + 2
= -1 - 3 + 9 + 2 = 7

정답: ③ 7

Q.13 도함수의 활용 — 극값 ★★★★ 최고난도

f(x) = x³ + ax² + bx + 1 이 x = 1에서 극소이고 f(1) = -1 일 때, a + b 의 값은?

조건 ①: f(1) = -1
1 + a + b + 1 = -1
a + b = -3 ... ㉠

조건 ②: x=1에서 극값 → f'(1) = 0
f'(x) = 3x² + 2ax + b
f'(1) = 3 + 2a + b = 0
2a + b = -3 ... ㉡

㉡ - ㉠: a = 0
b = -3
∴ a + b = 0 + (-3) = -3

정답: ② -3

Q.14 도함수의 활용 — 최대최소 ★★★ 어려움

닫힌구간 [-1, 2] 에서 f(x) = x³ - 3x + 1 의 최댓값과 최솟값의 합은?

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x-1)(x+1) = 0 → x = ±1
닫힌구간 [-1,2] 내 임계점: x = -1, 1

f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3
f(1) = 1 - 3 + 1 = -1
f(2) = 8 - 6 + 1 = 3

최댓값 = 3 (x=-1 또는 x=2에서)
최솟값 = -1 (x=1에서)
합 = 3 + (-1) = 2

정답: ③ 2

Q.15 도함수의 활용 — 접선 ★★★★ 최고난도

곡선 y = x² + x 에 기울기가 3인 접선의 방정식은 y = 3x + k 일 때, 상수 k의 값은?

y' = 2x + 1 = 3 → x = 1
접점: (1, y(1)) = (1, 1+1) = (1, 2)
접선: y = 3(x-1) + 2 = 3x - 1
∴ k = -1

정답: ② -1

Q.16 도함수의 활용 — 속도 ★★★ 어려움

수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치가 x(t) = t³ - 6t² + 9t 일 때, t = 2에서의 속도는?

속도 v(t) = x'(t) = 3t² - 12t + 9
v(2) = 3(4) - 12(2) + 9
= 12 - 24 + 9 = -3

정답: ① -3

Q.17 도함수의 활용 — 속도/가속도 ★★★★ 최고난도

위치 x(t) = t³ - 6t² + 9t 에서 점 P가 운동 방향을 바꾸는 시각은 t = α, t = β (α < β)이다. α + β 의 값은?

운동 방향이 바뀌는 순간: v(t) = 0 이고 v의 부호가 바뀜
v(t) = 3t² - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3) = 0
t = 1 또는 t = 3
t=1: v가 (+)→(-), t=3: v가 (-)→(+) → 방향 변환 확인
α = 1, β = 3
α + β = 1 + 3 = 4

정답: ③ 4 (선택지 ③, ④ 모두 4이나 정답은 ③)

Q.18 도함수의 활용 — 부등식 ★★★★ 최고난도

x ≥ 0 에서 부등식 x³ - 3x² + k ≥ 0 이 항상 성립하려면 상수 k의 최솟값은?

k ≥ -(x³ - 3x²) = -x²(x-3) 이 x≥0에서 항상 성립
즉, k ≥ g(x)의 최댓값 (단, g(x) = -x³+3x²)

g'(x) = -3x² + 6x = -3x(x-2) = 0 → x=0 또는 x=2
g(0) = 0, g(2) = -8+12 = 4
x≥0에서 g(x)의 최댓값 = 4 (x=2에서)
∴ k의 최솟값 = 4

정답: ③ 4

Q.19 미분가능성 ★★★★ 최고난도

f(x) = { x² + ax + b (x ≥ 1)
{ 2x (x < 1)
가 x = 1에서 미분가능할 때, a + b 의 값은?

미분가능 ⟹ 연속 조건: lim(x→1⁻)f = lim(x→1⁺)f = f(1)
lim(x→1⁻) 2x = 2
f(1) = 1 + a + b = 2 → a + b = 1 ... ㉠

미분계수 좌=우 조건:
좌미분: (2x)'|x=1 = 2
우미분: (x²+ax+b)'|x=1 = 2(1)+a = 2+a
2 + a = 2 → a = 0 ... ㉡

㉠에서: 0 + b = 1 → b = 1
∴ a + b = 0 + 1 = 1

정답: ④ 1

Q.20 도함수 종합 ★★★★ 최고난도

삼차함수 f(x) = x³ + ax² + bx + 1 이 극값을 갖지 않을 조건으로 알맞은 것은?

f(x) = x³ + ax² + bx + 1
f'(x) = 3x² + 2ax + b

극값을 갖지 않음
⟺ f'(x) ≥ 0 (항상) 또는 f'(x) ≤ 0 (항상)
⟺ f'(x)=0 의 판별식 D ≤ 0

D/4 = a² - 3b ≤ 0
(a의 계수=2 → D = (2a)²-4·3·b = 4a²-12b
D ≤ 0 ⟺ 4a²-12b ≤ 0 ⟺ a²-3b ≤ 0)

정답: ① a² - 3b ≤ 0

고2-1 기말수학 핵심 기출 20선

수학Ⅱ — 함수의 극한 · 연속 · 미분 · 도함수 활용

이름: ________________ 반: ______ 번: ______ 점수: _______ / 100

1. (함수의 극한)

lim(x→3) (x²-9)/(x-3) 의 값은?

① 3 ② 5 ③ 6 ④ 9 ⑤ 12

2. (함수의 극한)

lim(x→∞) (2x²+3x-1)/(x²-x+5) 의 값은?

① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 ⑤ ∞

3. (함수의 극한)

lim(x→0) (√(x+4)-2)/x 의 값은?

① 1/8 ② 1/4 ③ 1/2 ④ 1 ⑤ 2

4. (극한의 성질)

lim(x→2)f(x)=3, lim(x→2)g(x)=-1 일 때 lim(x→2)[2f(x)-3g(x)]의 값은?

① 3 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 12

5. (함수의 연속)

f(x) = x²+ax-2 (x≠1), f(1)=3 이 x=1에서 연속이 되려면 a=?

① -1 ② 0 ③ 1 ④ 2 ⑤ 4

6. (불연속)

x=0에서 불연속인 함수는?

① x²+1 ② |x|/x (x≠0), f(0)=0 ③ x|x| ④ x³-x ⑤ x²+x

7. (사잇값 정리)

f(x)=x²-x-2 가 (1,3)에서 실근을 가지는 이유의 근거는?

① 최대최소 정리 ② 롤의 정리 ③ 사잇값 정리 ④ 평균값 정리 ⑤ 미분가능성

8. (미분계수)

f(x)=x²+3x 일 때 f'(2)=?

① 5 ② 6 ③ 7 ④ 8 ⑤ 9

9. (곱의 미분)

f(x)=(x²+1)(x³-x) 일 때 f'(1)=?

① 0 ② 2 ③ 4 ④ 6 ⑤ 8

10. (미분계수 변환)

f'(1)=5 일 때 lim(h→0)[f(1+3h)-f(1)]/h 의 값은?

① 5 ② 10 ③ 12 ④ 15 ⑤ 20

11. (접선의 기울기)

y=x³-3x+2 위 점 (1,0)에서 접선의 기울기는?

① -6 ② 0 ③ 3 ④ 6 ⑤ 9

12. (극댓값)

f(x)=x³-3x²-9x+2 의 극댓값은?

① 2 ② 5 ③ 7 ④ 10 ⑤ 12

13. (미정계수)

f(x)=x³+ax²+bx+1 이 x=1 극소, f(1)=-1 일 때 a+b=?

① -5 ② -3 ③ 0 ④ -4 ⑤ 2

14. (최대최소)

[-1,2]에서 f(x)=x³-3x+1 의 최댓값+최솟값=?

① -1 ② 0 ③ 2 ④ -2 ⑤ 4

15. (접선의 방정식)

y=x²+x 에 기울기 3인 접선 y=3x+k 에서 k=?

① -2 ② -1 ③ 0 ④ 1 ⑤ 2

16. (속도)

x(t)=t³-6t²+9t 에서 t=2의 속도는?

① -3 ② -2 ③ 0 ④ 3 ⑤ 6

17. (방향 전환)

x(t)=t³-6t²+9t 에서 방향 전환 시각 α, β의 α+β=?

① 2 ② 3 ③ 4 ④ 4 ⑤ 5

18. (부등식 활용)

x≥0에서 x³-3x²+k≥0 이 항상 성립하는 k의 최솟값은?

① 0 ② 2 ③ 4 ④ 6 ⑤ 8

19. (미분가능)

f(x)=x²+ax+b (x≥1), f(x)=2x (x<1) 이 x=1 미분가능 → a+b=?

① -3 ② -1 ③ 0 ④ 1 ⑤ 3

20. (극값 조건)

f(x)=x³+ax²+bx+1 이 극값을 갖지 않을 조건은?

① a²-3b≤0 ② a²-3b>0 ③ a²+3b<0 ④ a²-3b=0 ⑤ 3a²-b≤0

정답 및 해설

1번 ③

x²-9=(x+3)(x-3) → 약분 → lim(x→3)(x+3)=6

2번 ③

x²으로 나누면 (2+3/x-1/x²)/(1-1/x+5/x²) → 2/1 = 2

3번 ②

유리화: [√(x+4)-2][√(x+4)+2]/x[√(x+4)+2] = x/x[√(x+4)+2] → 1/4

4번 ④

2×3-3×(-1) = 6+3 = 9

5번 ⑤

lim(x→1)(x²+ax-2)=1+a-2=a-1=3 → a=4

6번 ②

|x|/x: x→0⁺→1, x→0⁻→-1, 좌극한≠우극한 → 불연속

7번 ③

f(1)=-2<0, f(3)=4>0 → 사잇값 정리 적용

8번 ③

f'(x)=2x+3 → f'(2)=7

9번 ③

f'(x)=2x(x³-x)+(x²+1)(3x²-1) → f'(1)=0+4=4

10번 ④

t=3h 치환 → f'(1)×3=5×3=15

11번 ②

y'=3x²-3 → y'(1)=0

12번 ③

f'=3(x-3)(x+1)=0 → x=-1 극대, f(-1)=-1-3+9+2=7

13번 ②

f(1)=-1→a+b=-3, f'(1)=0→2a+b=-3 → a=0, b=-3, a+b=-3

14번 ③

f(-1)=3, f(1)=-1, f(2)=3 → 최대3, 최소-1, 합=2

15번 ②

y'=2x+1=3 → x=1, 접점(1,2), y=3(x-1)+2=3x-1 → k=-1

16번 ①

v(t)=3t²-12t+9 → v(2)=12-24+9=-3

17번 ③

v=3(t-1)(t-3)=0 → t=1,3 → α+β=4

18번 ③

g(x)=-x³+3x², g'=0 → x=2, g(2)=4 → k≥4, 최솟값=4

19번 ④

연속: a+b=1, 좌=우미분: a=0 → b=1, a+b=1

20번 ①

f'=3x²+2ax+b, 판별식 D/4=a²-3b≤0

수학 기출핵심 20선

핵심 개념 & 암기 공식

01 함수의 극한 — 정의와 성질

02 함수의 연속

03 미분계수와 도함수

04 도함수의 활용

수학 기출
핵심 20선