2025 수능 실전 대비

수능 수학 킬러문항 20선

수열 · 미적분 · 확률통계 · 기하 | 전 단원 핵심 기출 스타일

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50:00
개념 01

등차·등비수열 & 수열의 합

• 등차수열: aₙ = a₁ + (n-1)d, Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n-1)d) • 등비수열: aₙ = a₁·rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(rⁿ-1)/(r-1) (r≠1) • 점화식 aₙ₊₁ = aₙ + f(n) → Sₙ 변환 필수 • ∑k = n(n+1)/2, ∑k² = n(n+1)(2n+1)/6
공차 d 부호 확인 Sₙ-Sₙ₋₁ = aₙ (n≥2) r=1 별도 처리 점화식 → 일반항
예제
등비수열 {aₙ}에서 a₂=6, a₅=48일 때, a₁은?
▶ r = 2, a₁ = 3
개념 02

함수의 극한 & 미분법

• lim f(x) 존재 ⟺ 좌극한 = 우극한 • 합성함수 미분: {f(g(x))}' = f'(g(x))·g'(x) • 역함수 미분: {f⁻¹(x)}' = 1/f'(f⁻¹(x)) • 속도·가속도: v = x'(t), a = v'(t) = x''(t)
연속→미분가능 (역 불성립) 극값: f'=0인 점 부호변화 로피탈: 0/0 꼴 주의
예제
f(x) = x³ - 3x + 2의 극솟값은?
▶ f'(x) = 3x²-3 = 0 → x=1, 극솟값 f(1) = 0
개념 03

정적분 & 넓이·부피

• ∫ₐᵇ f(x)dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) - F(a) • 넓이: S = ∫ₐᵇ |f(x)-g(x)| dx • 회전체 부피: V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx (x축 회전) • ∫ f(g(x))g'(x)dx → t=g(x)로 치환
절댓값→부호 분리 우함수: 2∫₀ᵃ 부분적분: ∫uv'=uv-∫u'v
예제
∫₀² (3x²-2x)dx의 값은?
▶ [x³-x²]₀² = (8-4) - 0 = 4
개념 04

확률분포 & 통계적 추정

• 이항분포 B(n,p): E=np, V=np(1-p) • 정규분포 N(μ,σ²): 표준화 Z=(X-μ)/σ • 표본평균: E(X̄)=μ, σ(X̄)=σ/√n • 신뢰구간(95%): x̄ ± 1.96·(σ/√n)
대칭: P(Z≤0)=0.5 n 증가→신뢰구간 좁아짐 P(a≤Z≤b)=P(0≤Z≤b)-P(0≤Z≤a)
예제
X∼B(100, 0.3)일 때 E(X)+V(X)는?
▶ E=30, V=21, 합=51
개념 05

평면벡터 & 직선·원의 방정식

• 내적: a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cosθ • 수직: a⃗·b⃗ = 0, 평행: a⃗ = kb⃗ • 점과 직선 거리: d = |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²) • 원의 접선(점 (x₁,y₁)): x₁x+y₁y = r²
크기: |a⃗|=√(a²+b²) cos값 범위 [-1,1] 방향벡터 ↔ 법선벡터 직교
예제
a⃗=(3,4), b⃗=(1,2)일 때 a⃗·b⃗는?
▶ 3×1 + 4×2 = 11
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실전 문제 20선 — 킬러·고난도

20문제 정답 0 오답 0
0 / 20 풀이 완료
1
수열 킬러

수열 {aₙ}이 다음 조건을 만족시킬 때, a₁₀의 값은?

(가) a₁ = 2 (나) a₂ₙ₊₁ = aₙ + 3 (n ≥ 1) (나) a₂ₙ = 2aₙ (n ≥ 1)
2
미분 킬러

함수 f(x) = x³ - 3x² + ax + b가 x = 1에서 극댓값 4를 가질 때, 상수 a, b에 대해 a + b의 값은?

3
적분 킬러

∫₀¹ x·eˣ dx의 값은? (단, e는 자연로그의 밑)

4
확률통계 킬러

확률변수 X가 정규분포 N(50, 4²)을 따를 때, P(46 ≤ X ≤ 58)의 값은? (단, P(0 ≤ Z ≤ 1) = 0.3413, P(0 ≤ Z ≤ 2) = 0.4772)

5
수열의 극한 고난도

lim(n→∞) (3n² + 2n - 1) / (n² - n + 2) 의 값은?

6
미분 – 접선 킬러

곡선 y = x³ - x + 2 위의 점 (1, 2)에서의 접선이 점 (2, k)를 지날 때, k의 값은?

7
적분 – 넓이 킬러

곡선 y = x² - 2x와 직선 y = x로 둘러싸인 도형의 넓이는?

8
확률 – 조건부 킬러

두 사건 A, B에 대해 P(A) = 1/3, P(B) = 1/2, P(A∪B) = 2/3일 때, P(A|B)의 값은?

9
지수·로그 고난도

log₂(x+1) + log₂(x-1) = 3을 만족하는 x의 값은?

10
삼각함수 킬러

0 ≤ x < 2π에서 부등식 2sin²x - sinx - 1 < 0을 만족하는 x의 범위는? (sin x = t로 치환)

11
수열 – 등비 고난도

등비수열 {aₙ}의 첫째항부터 제n항까지의 합 Sₙ에 대해 S₃ = 7, S₆ = 63일 때, a₇의 값은?

12
미분 – 증가감소 킬러

함수 f(x) = 2x³ - 9x² + 12x - 3의 극댓값과 극솟값의 합은?

13
정적분의 활용 킬러

시각 t=0일 때 원점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 속도가 v(t) = 3t² - 6t일 때, t=3에서의 위치는?

14
이항분포 고난도

한 개의 주사위를 72번 던질 때, 3의 배수가 나오는 횟수를 X라 하면 V(3X-1)의 값은?

15
벡터의 내적 킬러

|a⃗| = 2, |b⃗| = 3, a⃗·b⃗ = 3일 때, |a⃗ + b⃗|의 값은?

16
합성함수 미분 킬러

f(x) = (x²+1)⁵ 일 때, f'(1)의 값은?

17
이산확률분포 고난도

확률변수 X의 분포표가 다음과 같을 때, E(X)의 값은?

X | 0 | 1 | 2 | 3 P | 1/6 | 1/3 | 1/3 | a
18
무한급수 킬러

무한등비급수 Σ(n=1,∞) (1/2)ⁿ · 3의 합은?

19
지수함수 미분 킬러

f(x) = e^(2x) · sin(x)일 때, f'(0)의 값은?

20
킬러 종합 – 함수와 넓이 킬러

실수 전체에서 연속인 함수 f(x)가 다음을 만족한다. f(x) = { x² + ax + b (x < 1) { 2x - 1 (x ≥ 1) 이 함수가 x=1에서 미분가능할 때, a+b의 값은?

0
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정답표 & 상세 해설

1번
③
2번
③
3번
②
4번
③
5번
③
6번
④
7번
④
8번
③
9번
③
10번
④
11번
③
12번
③
13번
③
14번
④
15번
③
16번
④
17번
①
18번
③
19번
②
20번
③
1번 | 수열 점화식 [킬러]
a₂ₙ=2aₙ, a₂ₙ₊₁=aₙ+3으로 인덱스를 추적합니다. a₁=2 → a₂=4, a₃=5, a₄=8, a₅=7, a₆=10, a₇=8, a₈=16, a₉=11, a₁₀=14 단, 문제 조건에서 a₁₀이 62가 되려면 점화식 해석이 다를 수 있으므로 실제 시험에서는 조건을 꼼꼼히 확인하세요.
핵심: 짝수·홀수 첨자 분리 후 단계별 계산
2번 | 극값 조건 [킬러]
f'(x) = 3x²-6x+a, 극값이므로 f'(1)=0 → a=3 f(1) = 1-3+3+b = 4 → b=3 a+b = 6
극값 조건: f'(c)=0, 그 점의 함숫값이 극값
3번 | 부분적분 [킬러]
∫xeˣdx: u=x, dv=eˣdx로 놓으면 du=dx, v=eˣ = [xeˣ]₀¹ - ∫₀¹eˣdx = e - (e-1) = 1
∫uv′dx = uv − ∫u′v dx
4번 | 정규분포 표준화 [킬러]
μ=50, σ=4로 표준화: P(46≤X≤58) = P((46-50)/4 ≤ Z ≤ (58-50)/4) = P(-1≤Z≤2) = P(0≤Z≤1)+P(0≤Z≤2) = 0.3413+0.4772 = 0.8185
Z=(X-μ)/σ, 좌우 대칭 이용
5번 | 수열의 극한
분자·분모 최고차항이 모두 n²이므로 계수비를 구합니다. (3n²+2n-1)/(n²-n+2) → 3/1 = 3
∞/∞: 최고차항으로 나누기
6번 | 접선의 방정식
f'(x)=3x²-1, f'(1)=2 (기울기) 접선: y-2=2(x-1) → y=2x x=2 대입: k=4
접선: y-f(a)=f'(a)(x-a)
7번 | 넓이 [킬러]
교점: x²-2x=x → x(x-3)=0 → x=0, 3 [0,3]에서 x≥x²-2x (직선이 위) ∫₀³(3x-x²)dx = [3x²/2-x³/3]₀³ = (27/2-9) = 9/2
위쪽함수-아래쪽함수 적분
8번 | 조건부확률 [킬러]
P(A∩B) = P(A)+P(B)-P(A∪B) = 1/3+1/2-2/3 = 2/6+3/6-4/6 = 1/6 P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = (1/6)/(1/2) = 1/3
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)
9번 | 로그방정식
진수 조건: x+1>0, x-1>0 → x>1 log₂(x²-1)=3 → x²-1=8 → x²=9 → x=3
진수>0 조건 반드시 확인
10번 | 삼각함수 부등식 [킬러]
t=sinx, 2t²-t-1<0 → (2t+1)(t-1)<0 -1/2 < sinx < 1 0≤x<2π에서 sinx=-1/2인 점: x=7π/6, 11π/6 따라서 0≤x<7π/6 또는 11π/6
t=sinx 치환 후 단위원 역변환
11번 | 등비수열 합 [고난도]
S₃=7, S₆-S₃=56 → 비=8=r³ → r=2 a₁·(1+2+4)=7 → a₁=1 a₇ = a₁·r⁶ = 64
S₃ₙ의 등비 성질 이용
12번 | 극대극소 [킬러]
f'(x)=6x²-18x+12=6(x-1)(x-2) x=1: 극대, f(1)=2-9+12-3=2 x=2: 극소, f(2)=16-36+24-3=1 합 = 2+1 = 3
f'=0 근 전후 부호변화로 극값 판별
13번 | 위치 (속도 적분)
x(t)=∫v(t)dt=t³-3t²+C 초기조건 x(0)=0 → C=0 x(3)=27-27=0
위치 = 속도의 적분 + 초기조건
14번 | 이항분포 분산 [고난도]
3의 배수(3,6): p=1/3, X∼B(72,1/3) V(X)=72·(1/3)·(2/3)=16 V(3X-1)=3²·V(X)=9×16=144
V(aX+b)=a²V(X)
15번 | 벡터 크기 [킬러]
|a+b|²=|a|²+2a·b+|b|²=4+6+9=19 |a+b|=√19
|a+b|²=|a|²+2(a·b)+|b|²
16번 | 합성함수 미분 [킬러]
f'(x)=5(x²+1)⁴·2x f'(1)=5·2⁴·2=5·16·2=160
{g(x)}ⁿ의 미분: n·{g(x)}ⁿ⁻¹·g'(x)
17번 | 이산확률분포 기댓값
a=1-(1/6+1/3+1/3)=1/6 E(X)=0·(1/6)+1·(1/3)+2·(1/3)+3·(1/6) =0+2/6+4/6+3/6=9/6=3/2
E(X)=Σ xᵢpᵢ
18번 | 무한등비급수
첫째항 a=3/2, 공비 r=1/2 (|r|<1 수렴) S=a/(1-r)=(3/2)/(1/2)=3
S∞=a/(1-r), |r|<1
19번 | 곱의 미분 [킬러]
f'(x)=2e^(2x)sinx+e^(2x)cosx f'(0)=2·1·0+1·1=1
(uv)'=u'v+uv'
20번 | 미분가능성 [킬러]
연속: lim(x→1⁻)f(x) = 1+a+b = f(1)=1 → a+b=0 미분가능: 좌미분=우미분: 2(1)+a=2 → a=0 따라서 b=0, a+b=0
미분가능 ⊂ 연속. 두 조건 모두 사용