\((x+2)^3\)을 전개한 식은?
① \(x^3+6x^2+12x+8\)② \(x^3+6x^2+12x+6\)③ \(x^3+4x^2+8x+8\)④ \(x^3+8x^2+12x+8\)⑤ \(x^3+6x^2+8x+8\)
✔ 해설
\((x+2)^3 = x^3 + 3\cdot x^2\cdot 2 + 3\cdot x\cdot 4 + 8\)
\(= x^3 + 6x^2 + 12x + 8\)
\(x^3+8\)을 인수분해하면?
① \((x+2)(x^2-2x+4)\)② \((x+2)(x^2+2x+4)\)③ \((x-2)(x^2+2x+4)\)④ \((x+2)^2(x-2)\)⑤ \((x+2)(x^2-4x+4)\)
✔ 해설
합의 인수분해: \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(x^3+2^3 = (x+2)(x^2-2x+4)\)
다항식 \(f(x)=x^3-2x^2-5x+6\)을 \((x-3)\)으로 나눈 나머지는?
① \(0\)② \(3\)③ \(-6\)④ \(6\)⑤ \(-3\)
✔ 해설
나머지 정리: \(f(3)=27-18-15+6=0\)
따라서 나머지는 \(0\) (즉 \((x-3)\)은 인수)
다항식 \(f(x)=x^3+ax+b\)가 \((x-1)\)로 나누어지면 나머지가 \(3\)이고,
① \(4\)② \(6\)③ \(-4\)④ \(0\)⑤ \(8\)
✔ 해설
\(f(1)=1+a+b=3 \Rightarrow a+b=2\) …①
\(f(-2)=-8-2a+b=0 \Rightarrow -2a+b=8\) …②
①-②: \(3a=-6\) ∴ \(a=-2,\ b=4\)
\(f(2)=8+(-2)(2)+4=8-4+4=8\)
\(x^3-6x^2+11x-6\)을 인수분해한 것은?
① \((x-1)(x-2)(x-4)\)② \((x-1)(x+2)(x-3)\)③ \((x-1)(x-2)(x-3)\)④ \((x+1)(x-2)(x-3)\)⑤ \((x-1)(x-2)(x+3)\)
✔ 해설
\(f(1)=1-6+11-6=0\) → \((x-1)\) 인수
조립제법 → \((x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)\)
이차방정식 \(x^2-5x+3=0\)의 두 근을 \(\alpha,\beta\)라 할 때,
① \(15\)② \(21\)③ \(19\)④ \(13\)⑤ \(25\)
✔ 해설
근과 계수의 관계: \(\alpha+\beta=5,\ \alpha\beta=3\)
\(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=25-6=19\)
이차방정식 \(x^2+kx+k+3=0\)이 서로 다른 두 실근을 가지려면?
① \(k < -2\) 또는 \(k > 4\)② \(k < -2\) 또는 \(k > 6\)③ \(-2 < k < 6\)④ \(k < -3\) 또는 \(k > 6\)⑤ \(-3 < k < 6\)
✔ 해설
판별식 \(D = k^2 - 4(k+3) > 0\)
\(k^2-4k-12>0\)
\((k-6)(k+2)>0\)
∴ \(k < -2\) 또는 \(k > 6\)
\(x^2-3x+1=0\)일 때, \(x^2+\dfrac{1}{x^2}\)의 값은?
① \(5\)② \(7\)③ \(9\)④ \(11\)⑤ \(3\)
✔ 해설
\(x \neq 0\)이므로 양변을 \(x\)로 나누면: \(x - 3 + \dfrac{1}{x} = 0\)
\(x + \dfrac{1}{x} = 3\)
\(x^2+\dfrac{1}{x^2} = \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2 - 2 = 9-2 = 7\)
이차방정식 \(x^2-4x+1=0\)의 두 근을 \(\alpha,\beta\)라 할 때,
① \(-4\)② \(1\)③ \(4\)④ \(-1\)⑤ \(2\)
✔ 해설
\(\alpha+\beta=4,\ \alpha\beta=1\)
\(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\dfrac{4}{1}=4\)
이차방정식 \(x^2-2x-3=0\)의 두 근이 \(\alpha,\beta\)일 때,
① \(x^2-4x-3=0\)② \(x^2-4x+3=0\)③ \(x^2-2x-3=0\)④ \(x^2-4x=0\)⑤ \(x^2+4x=0\)
✔ 해설
\(\alpha+\beta=2,\ \alpha\beta=-3\)
새 두 근의 합: \((\alpha+1)+(\beta+1)=4\)
새 두 근의 곱: \((\alpha+1)(\beta+1)=\alpha\beta+\alpha+\beta+1=-3+2+1=0\)
∴ \(x^2-4x+0=0\) → \(x^2-4x=0\)
\(x+y=5,\ xy=4\)일 때, \(x^3+y^3\)의 값은?
① \(45\)② \(55\)③ \(65\)④ \(75\)⑤ \(35\)
✔ 해설
\(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\)
\(=5^3-3\cdot4\cdot5=125-60=65\)
부등식 \(|2x-1|<3\)의 해는?
① \(-2 < x < 1\)② \(x < -1\) 또는 \(x > 2\)③ \(-1 \leq x \leq 2\)④ \(-1 < x < 2\)⑤ \(0 < x < 2\)
✔ 해설
\(|2x-1|<3 \Rightarrow -3<2x-1<3\)
\(-2<2x<4\)
∴ \(-1<x<2\)
부등식 \(x^2-5x+4 \leq 0\)의 해는?
① \(x \leq 1\) 또는 \(x \geq 4\)② \(1 \leq x \leq 4\)③ \(-4 \leq x \leq -1\)④ \(1 < x < 4\)⑤ \(x \leq -1\) 또는 \(x \geq 4\)
✔ 해설
\((x-1)(x-4) \leq 0\)
두 근: \(1,\ 4\)
∴ \(1 \leq x \leq 4\)
연립부등식 \(\begin{cases} x^2-2x-3>0 \\ x^2-x-6<0 \end{cases}\)의 해는?
① \(-2 < x < -1\)② \(-2 < x < -1\) 또는 \(3 < x < ??\)③ \(x < -2\) 또는 \(x > 3\)④ \(-1 < x < 3\)⑤ \(1 < x < 3\)
✔ 해설
① \(x^2-2x-3>0\) → \((x-3)(x+1)>0\) → \(x<-1\) 또는 \(x>3\)
② \(x^2-x-6<0\) → \((x-3)(x+2)<0\) → \(-2<x<3\)
교집합: \(-2 < x < -1\)
\(A=\{1,2,3,4,5\},\ B=\{3,4,5,6,7\}\)일 때, \(n(A\cup B)\)의 값은?
① \(10\)② \(8\)③ \(7\)④ \(3\)⑤ \(5\)
✔ 해설
\(A\cap B=\{3,4,5\}\) → \(n(A\cap B)=3\)
\(n(A\cup B)=5+5-3=7\)
전체집합 \(U=\{1,2,3,\ldots,10\}\)이고 \(A=\{2,4,6,8\},\ B=\{4,8\}\)일 때,
① \(\{4,8\}\)② \(\{2,6\}\)③ \(\{1,3,5,7,9,10\}\)④ \(\{2,4,6,8\}\)⑤ \(\emptyset\)
✔ 해설
\(A^c=\{1,3,5,7,9,10\}\)
\(B=\{4,8\}\)
\(A^c \cap B\): \(A^c\)에도 있고 \(B\)에도 있는 원소 → 없음
∴ \(A^c \cap B = \emptyset\)
\(n(A)=7,\ n(B)=5,\ n(A\cap B)=3\)일 때, \(n(A\cup B)\)의 값은?
① \(12\)② \(10\)③ \(9\)④ \(7\)⑤ \(15\)
✔ 해설
\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=7+5-3=9\)
명제 "\(xy \neq 0\)이면 \(x \neq 0\) 이고 \(y \neq 0\)이다"의 대우는?
① \(x \neq 0\) 이고 \(y \neq 0\)이면 \(xy \neq 0\)이다② \(xy=0\)이면 \(x=0\) 이고 \(y=0\)이다③ \(x=0\) 이고 \(y=0\)이면 \(xy=0\)이다④ \(x=0\) 또는 \(y=0\)이면 \(xy=0\)이다⑤ \(xy=0\)이면 \(x=0\) 또는 \(y=0\)이다
✔ 해설
원래 명제: \(p \to q\) 에서 \(p\): "\(xy\neq 0\)", \(q\): "\(x\neq0\) 이고 \(y\neq0\)"
대우: \(\sim q \to \sim p\)
\(\sim q\): "\(x=0\) 또는 \(y=0\)" (드 모르간), \(\sim p\): "\(xy=0\)"
∴ "\(x=0\) 또는 \(y=0\)이면 \(xy=0\)이다"
두 조건 \(p: x^2-5x+6=0,\quad q: x=2\)에 대하여 \(p\)는 \(q\)의 어떤 조건인가?
① 충분조건이지만 필요조건이 아니다② 필요조건이지만 충분조건이 아니다③ 필요충분조건이다④ 충분조건도 필요조건도 아니다⑤ \(p\)는 \(q\)의 역의 조건이다
✔ 해설
\(p: x^2-5x+6=0\) → \((x-2)(x-3)=0\) → \(x=2\) 또는 \(x=3\)
\(p\)의 진리집합 \(P=\{2,3\}\), \(q\)의 진리집합 \(Q=\{2\}\)
\(Q \subset P\) → \(q \to p\)는 참 (q이면 p), 즉 p는 q의 필요조건
\(P \not\subset Q\) → \(p \to q\)는 거짓, 즉 p는 q의 충분조건이 아님
∴ p는 q의
필요조건이지만 충분조건이 아니다
명제 "자연수 \(n\)에 대하여 \(n^2\)이 홀수이면 \(n\)은 홀수이다"를
① \(n\)이 홀수이면 \(n^2\)은 홀수이다② \(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수이다③ \(n\)이 짝수이면 \(n^2\)은 홀수이다④ \(n\)이 짝수이면 \(n^2\)은 짝수이다⑤ \(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 홀수이다
✔ 해설
원래 명제: \(n^2\)이 홀수 → \(n\)은 홀수
대우: \(n\)이 홀수가 아니다 → \(n^2\)이 홀수가 아니다
즉: "\(n\)이 짝수이면 \(n^2\)은 짝수이다"
검증: \(n=2k\)이면 \(n^2=4k^2\) (짝수) ✔
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