중3-1 기말 수학 | 핵심 기출 20선

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제곱근과 실수

\(x^2=a\) (\(a \ge 0\))일 때 \(x\)를 \(a\)의 제곱근이라 하며, 양의 제곱근을 \(\sqrt{a}\)로 나타낸다.

\(\sqrt{a^2}=|a|\quad\Rightarrow\quad a\ge 0\text{이면 }a,\quad a<0\text{이면 }-a\)

\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\,,\quad\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a>0,\,b>0)\)

\(m\sqrt{a}\pm n\sqrt{a}=(m\pm n)\sqrt{a}\)

유리화: \(\dfrac{k}{\sqrt{a}}=\dfrac{k\sqrt{a}}{a}\)

📌 핵심 암기

• \(\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3\) (절댓값이므로 항상 양수)

• 무리수 = 순환하지 않는 무한소수; 실수 = 유리수 + 무리수

• \(a>b>0\Rightarrow\sqrt{a}>\sqrt{b}\); 크기 비교는 제곱 후 비교

✏ 예제

\(\sqrt{18}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)

\(\dfrac{6}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\)

2

다항식의 곱셈 (곱셈 공식)

다음 5가지 공식을 완벽히 암기한다.

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)

\((ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd\)

📌 핵심 암기

• 합차 → 가운데 항 없음: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

• 치환 전략: 복잡한 식은 반복되는 부분을 \(A\)로 놓고 공식 적용

✏ 예제

\((2x-3)^2=4x^2-12x+9\)

\((\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})=5-2=3\)

3

인수분해

다항식을 두 개 이상의 인수의 곱으로 나타내는 것 (곱셈 공식의 역방향)

\(a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2\)

\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)

\(acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)\)

📌 핵심 암기

• 완전제곱식 조건: 상수항 \(=\!\left(\dfrac{\text{일차항 계수}}{2}\right)^{\!2}\)

• 순서: ① 공통인수 묶기 → ② 공식 적용 → ③ 추가 인수분해 가능 여부 확인

✏ 예제

\(x^2-7x+12=(x-3)(x-4)\)

\(6x^2+x-2=(2x-1)(3x+2)\)

4

이차방정식

\(ax^2+bx+c=0\;(a\ne0)\) — 풀이법 3가지

① 인수분해: \((x-p)(x-q)=0\Rightarrow x=p \text{ 또는 } x=q\)

② 완전제곱: \((x+p)^2=q\Rightarrow x=-p\pm\sqrt{q}\)

③ 근의 공식: \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

판별식 \(D=b^2-4ac\): \(D>0\) 두 실근 / \(D=0\) 중근 / \(D<0\) 실근 없음

근과 계수: \(\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a},\quad\alpha\beta=\dfrac{c}{a}\)

📌 핵심 암기

• 짝수 공식 (일차항이 \(2b'x\)): \(x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{b'^2-ac}}{a}\)

• 중근이면 \(D=0\) 조건 사용; 실생활 문제는 해의 조건 확인 필수

✏ 예제

\(x^2-3x-4=0\Rightarrow(x-4)(x+1)=0\Rightarrow x=4,-1\)

\(2x^2+3x-1=0\Rightarrow x=\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}{4}\)

중3-1 기말 수학
핵심 기출 20선

정답 및 해설