중2-1 수학 기말고사 핵심 기출문제 20선

Ⅰ

유리수와 순환소수

문제 1~3번 | 배점 5점

개

핵심 개념 정리

① 유한소수 · 무한소수
분수를 기약분수로 나타냈을 때, 분모의 소인수가 2와 5뿐이면 → 유한소수
그 외의 소인수가 있으면 → 순환소수(무한소수)

\(\dfrac{a}{b}\) (기약) → 분모의 소인수 = 2, 5만 → 유한소수

② 순환소수 → 분수 변환
순환마디가 소수점 이하 \(n\)째 자리부터 시작하고 길이가 \(l\)이면:
\(10^{n+l} \cdot x - 10^n \cdot x = \text{(정수)}\) 로 풀기

\(0.\dot{a}\dot{b} = \dfrac{ab}{99}\), \(0.a\dot{b}\dot{c} = \dfrac{abc - a}{990}\)

기약분수 분모 소인수 확인 → 2와 5만: 유한소수 / 다른 소인수: 순환소수

📝 예제

\(\dfrac{7}{12}\)를 소수로 나타내면 유한소수인지 순환소수인지 판별하시오.
풀이: \(12 = 2^2 \times 3\) → 분모에 소인수 3이 있으므로 순환소수

순환소수 \(0.\dot{3}\dot{6}\)을 분수로 나타내시오.
풀이: \(x = 0.\overline{36}\)로 놓으면 \(100x = 36.\overline{36}\)
\(100x - x = 36\) → \(99x = 36\) → \(x = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}\)

정답: 순환소수 / \(\dfrac{4}{11}\)

유리수·순환소수 ★★★☆ 5점

분수 \(\dfrac{a}{2^2 \times 3 \times 5}\)가 유한소수가 되기 위한 자연수 \(a\)의 조건으로 옳은 것은?

순환소수→분수 ★★★☆ 5점

순환소수 \(0.2\dot{4}\dot{5}\)를 분수로 나타내면?

순환마디 ★★★★ 5점

\(\dfrac{5}{7}\)을 소수로 나타낼 때, 소수점 아래 50번째 자리의 숫자는?

힌트: \(\dfrac{5}{7} = 0.\dot{7}1428\dot{5}\) (순환마디: 714285)

Ⅱ

단항식과 다항식의 계산

문제 4~7번 | 배점 5점

개

핵심 개념 정리

① 지수법칙

\(a^m \times a^n = a^{m+n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\), \((ab)^n = a^n b^n\)

\(a^m \div a^n = a^{m-n}\) (\(m>n\)일 때), \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\)

② 단항식의 곱셈·나눗셈
계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리(지수법칙 적용)
\(a^m \div a^n = a^{m-n}\) (단, \(a \neq 0\)) ③ 다항식의 덧셈·뺄셈
동류항(같은 문자, 같은 차수)끼리 계산 ④ 분배법칙

\(a(b+c) = ab+ac\), \((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\)

지수법칙: 곱→지수합, 나눗셈→지수차, 거듭제곱→지수곱

📝 예제

\((3x^2y)^2 \div 6x^3y\)를 계산하시오.
풀이: \((3x^2y)^2 = 9x^4y^2\)
\(9x^4y^2 \div 6x^3y = \dfrac{9x^4y^2}{6x^3y} = \dfrac{3}{2}xy\)

정답: \(\dfrac{3}{2}xy\)

지수법칙 ★★★☆ 5점

\(\left(\dfrac{2a^2}{b}\right)^3 \times \dfrac{b^4}{4a^3}\)을 계산하면?

단항식 나눗셈 ★★★☆ 5점

\(6x^2y^3 \div \square = 2xy^2\)일 때, \(\square\)에 알맞은 식은?

다항식 계산 ★★★☆ 5점

\(2(3x-y) - 3(x-2y)\)를 계산하면?

등식 변형 ★★★★ 5점

\((-2x^2y)^3 \div Ax^4y = 2xy^2\)를 만족하는 상수 \(A\)의 값은?

Ⅲ

일차부등식

문제 8~11번 | 배점 5점

개

핵심 개념 정리

① 부등식의 성질

양변에 같은 양수를 곱하거나 나누어도 부등호 방향 그대로

양변에 같은 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 바뀜 ⚠️

② 일차부등식 풀기
① 괄호 풀기 → ② 이항 → ③ 계수 나누기(음수면 부등호 반전) → ④ 해 결정 ③ 연립부등식
두 일차부등식을 동시에 만족하는 \(x\)의 범위 → 수직선에서 겹치는 구간

음수 곱셈·나눗셈 시 부등호 방향 반드시 반전!

📝 예제

\(-2x + 5 > x - 1\)을 풀어라.
풀이: \(-2x - x > -1 - 5\) → \(-3x > -6\) → \(x < 2\)

정답: \(x < 2\)

일차부등식 ★★★☆ 5점

부등식 \(3(x-1) < 5x + 7\)의 해를 구하면?

부등식 활용 ★★★★ 5점

어떤 자연수에 5를 더한 것의 3배가 그 자연수의 2배보다 크고 40보다 작을 때, 이 자연수의 최댓값은?

연립부등식 ★★★★ 5점

연립부등식 \(\begin{cases} 2x-1 \leq 5 \\ 3x+2 > -1 \end{cases}\) 의 해는?

부등식 실생활 ★★★★ 5점

1개에 800원인 사과와 1개에 600원인 배를 합쳐서 12개를 사려고 한다. 전체 금액이 8000원 이하가 되려면 사과는 최대 몇 개까지 살 수 있는가?

Ⅳ

연립방정식

문제 12~16번 | 배점 5점

개

핵심 개념 정리

① 연립방정식 풀기 방법
[가감법] 한 미지수의 계수를 같게 만들어 더하거나 빼기
[대입법] 한 식에서 미지수를 나타내 다른 식에 대입
② 해가 특수한 경우

해가 무수히 많다: 두 방정식이 동치 (비례관계)

해가 없다: 계수 비율은 같고 상수항 비율이 다를 때

③ 연립방정식 활용
미지수를 설정 → 조건을 방정식으로 표현 → 풀기 → 검토

가감법: 없애려는 미지수의 계수 LCM으로 맞추기

📝 예제

\(\begin{cases} x+y=5 \\ x-y=1 \end{cases}\) 을 풀어라.
풀이 (가감법): 두 식을 더하면 \(2x=6\), \(x=3\)
\(x=3\)을 첫 번째 식에 대입: \(3+y=5\), \(y=2\)

정답: \(x=3, y=2\)

연립방정식 풀기 ★★★☆ 5점

연립방정식 \(\begin{cases} 2x+y=7 \\ x-2y=-1 \end{cases}\) 의 해 \((x, y)\)는?

연립방정식 활용 ★★★★ 5점

닭과 토끼가 합쳐서 10마리이고, 다리의 수가 합쳐서 28개일 때, 닭의 수는?

계수 미정 ★★★★ 5점

연립방정식 \(\begin{cases} ax+2y=5 \\ 3x-by=1 \end{cases}\) 의 해가 \(x=1, y=1\)일 때, \(a+b\)의 값은?

속도·거리 활용 ★★★★ 5점

집에서 학교까지 걸어가면 20분, 뛰어가면 12분이 걸린다. 처음에는 걷다가 중간에 뛰어서 총 16분 만에 도착했다. 걸은 시간은?

해의 조건 ★★★★★ 5점

연립방정식 \(\begin{cases} 2x-y=3 \\ 4x-2y=k \end{cases}\) 가 해가 없을 때, 상수 \(k\)의 값은?

Ⅴ

일차함수와 그래프

문제 17~20번 | 배점 5점

개

핵심 개념 정리

① 일차함수의 그래프

\(y = ax + b\) → 기울기: \(a\), \(y\)절편: \(b\)

② 기울기 구하기

\(a = \dfrac{y의\;증가량}{x의\;증가량} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)

③ 일차함수 식 구하기
· 기울기 \(a\), 한 점 \((x_1, y_1)\) → \(y - y_1 = a(x - x_1)\)
· 두 점 \((x_1,y_1), (x_2,y_2)\) → 기울기 먼저 계산
④ 일차방정식과 일차함수
\(ax + by + c = 0\) ↔ \(y = -\dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b}\) (단, \(b \neq 0\))

기울기: 양수→우상향, 음수→우하향 / y절편: 그래프의 y축 교점

📝 예제

두 점 \((1, 3)\), \((3, 7)\)을 지나는 일차함수의 식을 구하여라.
풀이: 기울기 \(= \dfrac{7-3}{3-1} = \dfrac{4}{2} = 2\)
\(y - 3 = 2(x-1)\) → \(y = 2x + 1\)

정답: \(y = 2x + 1\)

일차함수 식 ★★★☆ 5점

일차함수 \(y = -2x + 4\)의 그래프에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

두 점 통과 ★★★★ 5점

두 점 \((-1, 5)\), \((2, -1)\)을 지나는 일차함수의 \(y\)절편은?

일차방정식↔함수 ★★★★ 5점

일차방정식 \(3x - 2y + 6 = 0\)의 그래프의 기울기와 \(y\)절편의 합은?

함수 활용 ★★★★★ 5점

두 일차함수 \(y = 2x - 1\)과 \(y = -x + 5\)의 그래프의 교점의 \(x\)좌표는?

모든 문제를 풀고 제출하세요

중2-1 수학기말고사 핵심 기출 20선

중2-1 수학
기말고사 핵심 기출 20선