Ⅰ. 등차수열과 등비수열
등차수열 핵심 공식
일반항: $a_n = a_1 + (n-1)d$
합: $S_n = \dfrac{n}{2}(2a_1+(n-1)d) = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$
공차 $d = a_{n+1}-a_n$
등차중항: $2b=a+c$
$a_n = S_n - S_{n-1}$ $(n\ge2)$
예제) $a_3=7$, $a_7=19$인 등차수열에서 $a_{15}$를 구하시오.
$d=\dfrac{19-7}{4}=3$, $a_1=7-6=1$, $a_{15}=1+14\times3=\mathbf{43}$
등비수열 핵심 공식
일반항: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$
합: $S_n = \dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1}$ $(r\ne1)$, $S_n=na_1$ $(r=1)$
무한급수: $|r|<1$ → $S=\dfrac{a_1}{1-r}$
공비 $r=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$
등비중항: $b^2=ac$
예제) 첫째항 2, 공비 3인 등비수열의 $S_5$를 구하시오.
$S_5=\dfrac{2(3^5-1)}{2}=\dfrac{2\times242}{2}=\mathbf{242}$
Ⅱ. 수열의 합과 점화식
시그마($\sum$) 필수 공식
$\sum_{k=1}^{n}k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ $\sum_{k=1}^{n}k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ $\sum_{k=1}^{n}k^3 = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^{\!2}$
$\sum c = cn$
$\sum(af+bg)=a\sum f+b\sum g$
점화식 유형별 풀이
$a_{n+1}=a_n+d$ → 등차 $a_{n+1}=ra_n$ → 등비
$a_{n+1}=a_n+f(n)$ → $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$
$a_{n+1}=pa_n+q$ → $b_n=a_n+\dfrac{q}{p-1}$ (등비수열)
역수 치환: $b_n=\dfrac{1}{a_n}$으로 등차 변환
Ⅲ. 지수와 로그
지수법칙 & 거듭제곱근
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ $(a^m)^n=a^{mn}$ $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$
$\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$
로그 법칙 완전 정리
$\log_a MN=\log_a M+\log_a N$ $\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$
$\log_a M^k=k\log_a M$ 밑변환: $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$
$\log_a a=1$
$\log_a 1=0$
$a^{\log_a N}=N$
$\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c$
예제) $\log_2 3=a$, $\log_2 5=b$일 때 $\log_2 45$를 $a,b$로 나타내시오.
$45=3^2\times5$ → $2\log_23+\log_25=\mathbf{2a+b}$
상용로그와 지수·로그 방정식
$\log 2\approx0.3010$ $\log 3\approx0.4771$ $\log 7\approx0.8451$
$N=10^n\cdot a$ $(1\le a<10)$ → $n+1$자리 수, 가수$=\log a$
지수방정식: $t=a^x$ 치환 후 인수분해
로그방정식: 진수 조건(>0) 필수 확인
Ⅳ. 삼각함수
삼각함수 정의 & 기본 값
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$
$\sin30°=\frac{1}{2}$, $\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan30°=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos60°=\frac{1}{2}$
삼각함수 그래프 & 주기
$y=a\sin(bx+c)+d$ : 진폭$=|a|$, 주기$=\dfrac{2\pi}{|b|}$, 수직이동$=d$
최댓값$=d+|a|$, 최솟값$=d-|a|$ ($\tan$ 주기: $\dfrac{\pi}{|b|}$)
삼각함수 변환 공식
$\sin(\pi\pm\theta)=\mp\sin\theta$ $\cos(\pi\pm\theta)=-\cos\theta$
$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\pm\theta\right)=\cos\theta$ $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\pm\theta\right)=\mp\sin\theta$
$\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-\theta\right)=-\cos\theta$ $\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-\theta\right)=-\sin\theta$
덧셈정리 & 배각 공식
$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha$
$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
반각: $\sin^2\frac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}$