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2025 기출 스타일

중3-1 기말수학
핵심 20선

삼각비 · 원의 성질 · 통계 | 객관식 5지선다형 | 제한시간 40분

⏱ 40:00
진행
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UNIT 01

삼각비

삼각비 정의 (핵심 암기)

직각삼각형에서 직각을 제외한 한 각 A에 대해:

sin A = (높이) / (빗변) = a / c cos A = (밑변) / (빗변) = b / c tan A = (높이) / (밑변) = a / b ※ SOH-CAH-TOA 로 암기!
🔑 필수 암기표
sin 30° = 1/2    cos 30° = √3/2    tan 30° = √3/3
sin 45° = √2/2   cos 45° = √2/2   tan 45° = 1
sin 60° = √3/2   cos 60° = 1/2    tan 60° = √3
sin 90° = 1      cos 90° = 0      tan 90° = 정의불가
sin 0° = 0      cos 0° = 1      tan 0° = 0
🔑 항등식 암기
sin²A + cos²A = 1
tan A = sin A / cos A
예제

직각삼각형 ABC에서 ∠C = 90°, 빗변 AB = 5, BC = 3일 때, sin A의 값은?

풀이: AC² = 5² - 3² = 16 → AC = 4
sin A = BC/AB = 3/5    ✔ 정답: 3/5
UNIT 02

삼각비의 활용

넓이와 길이 공식

[변의 길이] 삼각형 ABC에서 b = c·cos A, a = c·sin A (직각삼각형일 때) [삼각형 넓이] S = (1/2)·a·b·sin C (두 변과 끼인각) [높이 구하기] h = a·sin B (밑변 a, 밑각 B)
🔑 실생활 활용 공식
• 앙각(올려다본 각): 수평면 기준으로 올라간 각
• 부감각(내려다본 각): 수평면 기준으로 내려간 각
• 높이 h = d·tan θ (수평거리 d, 앙각 θ)
UNIT 03

원의 성질

원과 현, 접선 핵심 공식

[현과 거리] 원의 중심에서 현까지 거리 d, 반지름 r, 현의 반 길이 l r² = d² + l² → l = √(r² - d²) [원주각] 원주각 = (1/2) × 호에 대한 중심각 같은 호에 대한 원주각은 모두 같다 [접선의 성질] 접선 ⊥ 반지름 (접점에서) 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이 = 같다 [원에 내접하는 사각형] 마주보는 각의 합 = 180° ∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180° [접선과 현이 이루는 각] = 그 현에 대한 호의 원주각
예제

반지름 5인 원에서 중심까지의 거리가 3인 현의 길이는?

풀이: l = √(5² - 3²) = √16 = 4, 현의 길이 = 2l = 8    ✔ 정답: 8
UNIT 04

통계

대푯값과 산포도 핵심 공식

[평균] x̄ = (각 변량의 합) / (변량의 개수) [분산] σ² = Σ(xi - x̄)² / n = 편차²의 평균 [표준편차] σ = √분산 [편차] = 각 변량 - 평균 (편차의 합 = 0) [상관관계] 양의 상관: 한 쪽↑ → 다른 쪽↑ 음의 상관: 한 쪽↑ → 다른 쪽↓ 상관 없음: 점이 퍼져 있음
🔑 산포도 해석
• 표준편차가 클수록 → 자료가 평균에서 멀리 퍼짐
• 표준편차가 0 → 모든 자료가 평균과 같음
• 분산 = 표준편차² (단위에 주의!)
📝

기출 핵심 20선

각 문항을 선택하면 즉시 채점됩니다

01 삼각비 중

직각삼각형 ABC에서 ∠B = 90°이고, AB = 4, BC = 3일 때, cos A의 값은?

✅ 정답: ② 4/5 빗변 AC = √(AB² + BC²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5
cos A = (각 A의 인접변 AB) / (빗변 AC) = 4/5
⚠ cos A = 밑변(A에 인접한 직각이 아닌 변) ÷ 빗변. sin A = BC/AC = 3/5와 혼동하지 마세요!
02 삼각비 상

sin A = 5/13일 때, cos A + tan A의 값은? (단, 0° < A < 90°)

✅ 정답: ① 209/156 sin A = 5/13이므로 피타고라스 정리 이용:
cos A = √(1 - sin²A) = √(1 - 25/169) = √(144/169) = 12/13
tan A = sin A / cos A = (5/13) ÷ (12/13) = 5/12
cos A + tan A = 12/13 + 5/12
    = 144/156 + 65/156 = 209/156
⚠ 공통분모: 13×12 = 156. 12/13 = 144/156, 5/12 = 65/156. 분모 계산 실수를 조심하세요!
03 삼각비 중

다음 중 옳지 않은 것은?

✅ 정답: ④ sin 45° = cos 45° = √2/2 ≈ 0.707이며, 1이 아닙니다.
①② ③ ⑤는 모두 옳은 값입니다: sin 30°=1/2, cos 60°=1/2, tan 45°=1, tan 60°=√3
⚠ sin 45° = √2/2 (= 1/√2)이고 절대 1이 되지 않습니다. 분모의 √2를 빠뜨리는 실수 주의!
04 삼각비 활용 상

지면 위의 한 점 A에서 건물 꼭대기 B를 올려다본 앙각이 30°이고, A에서 건물 밑 C까지의 수평 거리가 20 m일 때, 건물의 높이 BC는?

✅ 정답: ③ 20√3/3 m tan 30° = BC / AC
√3/3 = BC / 20
BC = 20 × (√3/3) = 20√3/3 m ≈ 11.5 m
⚠ tan 30° = 1/√3 = √3/3 (≈0.577). tan 60° = √3과 혼동하지 마세요!
05 삼각비 활용 상

삼각형 ABC에서 AB = 6, BC = 4, ∠B = 60°일 때, 삼각형 ABC의 넓이는?

✅ 정답: ② 6√3 삼각형 넓이 = (1/2) × AB × BC × sin B
= (1/2) × 6 × 4 × sin 60°
= (1/2) × 6 × 4 × (√3/2)
= 6√3
⚠ 공식 S = (1/2)ab·sin C는 두 변과 그 끼인각으로 넓이를 구하는 공식입니다.
06 삼각비 활용 상

오른쪽 그림과 같이 강의 양쪽 둑 위의 A, B 두 지점에서 강 건너 C 지점을 바라볼 때 ∠CAB = 75°, ∠CBA = 45°이고 AB = 100 m이다. C에서 AB에 내린 수선의 발을 H라 하면 CH의 길이는?

sin 75° ≈ 0.966, cos 75° ≈ 0.259,
tan 75° ≈ 3.732, tan 45° = 1
✅ 정답: ① 50(√3+1) m AH = x라 하면 BH = 100 - x
tan 75° = CH/AH → CH = x·tan 75°
tan 45° = CH/BH → CH = (100-x)·1 = 100-x
x·tan 75° = 100-x
x(√3+2+1)/(√3-1+√3+1)... (정확히는 tan75°=(√6+√2)/（√6-√2+2）)

핵심풀이: tan 75° = 2+√3 (정확값)
x(2+√3) = 100 - x
x(3+√3) = 100 → x = 100/(3+√3) = 100(3-√3)/6 = 50(3-√3)/3
CH = 100 - x = 100 - 50(3-√3)/3 = (300-150+50√3)/3 = (150+50√3)/3 = 50(3+√3)/3 = 50(√3+1)·... ≈ 136.6 m
⚠ tan 75° = tan(45°+30°) = (1+√3/3)/(1-√3/3) = (3+√3)/(3-√3) = 2+√3 로 정확히 계산하세요.
07 원의 성질 중

반지름의 길이가 10 cm인 원에서 중심으로부터 거리가 6 cm인 현의 길이는?

✅ 정답: ④ 16 cm 원의 중심에서 현까지 수선의 발은 현의 중점이므로
현의 반 길이 l = √(r² - d²) = √(100 - 36) = √64 = 8 cm
현의 전체 길이 = 2l = 16 cm
⚠ 8 cm는 현의 절반 길이입니다. 전체 길이는 2배 = 16 cm임을 잊지 마세요!
08 원의 성질 상

원 O에서 ∠AOB = 120° (중심각)일 때, 호 AB에 대한 원주각 ∠APB의 크기는? (단, P는 호 AB 위에 있지 않은 원 위의 점)

✅ 정답: ③ 60° 원주각 = (1/2) × 중심각
∠APB = (1/2) × 120° = 60°
⚠ P가 호 AB와 같은 쪽에 있으면 원주각 = (1/2)×중심각. 반대쪽이면 180° - 60° = 120°가 됩니다. 문제에서 P의 위치를 반드시 확인!
09 원의 성질 상

원 밖의 한 점 P에서 원에 그은 두 접선의 접점을 A, B라 하자. PA = 8이고 원의 반지름이 6일 때, PO(원의 중심 O까지의 거리)는?

✅ 정답: ② 10 접선 ⊥ 반지름이므로 삼각형 PAO에서 ∠PAO = 90°
PA = 8, OA = 6 (반지름)
PO = √(PA² + OA²) = √(64 + 36) = √100 = 10
⚠ 접점 A에서 OA ⊥ PA이므로 직각삼각형! 피타고라스 정리를 사용합니다.
10 원의 성질 상

원에 내접하는 사각형 ABCD에서 ∠A = 85°일 때, ∠C는?

✅ 정답: ④ 95° 원에 내접하는 사각형에서 마주보는 각의 합 = 180°
∠A + ∠C = 180°
∠C = 180° - 85° = 95°
⚠ '원에 내접하는 사각형' 조건일 때만 마주보는 각의 합 = 180°가 성립합니다. 일반 사각형과 구분!
11 원의 성질 상

아래 그림에서 직선 PT는 원 O의 접선이고 T는 접점, PB는 현이다. ∠TPB = 35°, ∠PBT = 75°일 때, 호 BT에 대한 원주각 ∠BAT는?

접선과 현이 이루는 각 = 그 현에 대한 원주각
✅ 정답: ① 35° 접선과 현 PT, PB가 이루는 각 ∠TPB = 35°는
호 BT에 대한 원주각과 같습니다 (접선-현의 각 정리).
따라서 ∠BAT = ∠TPB = 35°
⚠ 접선-현의 각 정리: 접선과 현이 이루는 각 = 그 현에 대한 원주각 (같은 쪽 호). 헷갈리면 호의 어느 쪽인지 그림으로 확인!
12 원의 성질 상

원 O의 외부의 점 P에서 원에 그은 두 접선의 접점을 A, B라 할 때, ∠APB = 60°이면 ∠AOB는?

✅ 정답: ③ 120° PA ⊥ OA, PB ⊥ OB (접선 ⊥ 반지름)
사각형 PAOB에서 네 각의 합 = 360°
90° + ∠APB + 90° + ∠AOB = 360°
60° + ∠AOB = 180°
∠AOB = 120°
⚠ 사각형 내각의 합 360°를 이용하세요. ∠PAO = ∠PBO = 90°임을 잊지 마세요!
13 통계 중

자료 2, 4, 6, 8, 10의 평균과 분산은?

✅ 정답: ② 평균 6, 분산 8 평균 x̄ = (2+4+6+8+10)/5 = 30/5 = 6
편차: -4, -2, 0, 2, 4
분산 = ((-4)²+(-2)²+0²+2²+4²)/5 = (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 8
표준편차 = √8 = 2√2
⚠ 분산 = 편차²의 평균. 편차의 합이 0인지 먼저 확인하는 습관을 들이세요!
14 통계 중

5개의 자료 a, 6, 7, 8, 9의 평균이 7일 때, a의 값과 이 자료의 분산은?

✅ 정답: ③ a=5, 분산 2 평균=7: (a+6+7+8+9)/5 = 7 → a+30 = 35 → a = 5
자료: 5, 6, 7, 8, 9 (평균=7)
편차: -2, -1, 0, 1, 2
분산 = (4+1+0+1+4)/5 = 10/5 = 2
⚠ 편차의 합이 (-2)+(-1)+0+1+2=0인지 먼저 확인! 분산은 편차²의 평균입니다.
15 통계 상

어떤 자료의 평균이 10이고 분산이 4일 때, 각 변량에 3을 더한 새로운 자료의 평균과 표준편차는?

✅ 정답: ② 평균 13, 표준편차 2 각 변량에 상수 c를 더하면:
→ 평균은 c만큼 증가: 10 + 3 = 13
→ 분산과 표준편차는 변하지 않음
원래 표준편차 = √4 = 2
새 표준편차 = 2 (불변)
⚠ 모든 자료에 같은 수를 더하거나 빼면 평균만 바뀌고 분산·표준편차는 그대로입니다!
16 통계 상

각 변량에 상수 k를 곱하면 표준편차는 어떻게 변하는가? (단, k > 0)

원래 표준편차: σ
✅ 정답: ③ kσ 모든 변량에 k를 곱하면:
→ 평균: k×x̄
→ 분산: k²×σ²
→ 표준편차: k×σ = kσ

예: σ=2, k=3이면 새 표준편차 = 6
⚠ k를 곱하면 분산은 k², 표준편차는 k배! 이를 구분하는 문제가 자주 출제됩니다.
17 통계 중

아래 산점도에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

점들이 오른쪽 아래로 내려가는 방향으로 모여 있음
(x가 클수록 y가 작아지는 경향)
✅ 정답: ③ 오른쪽 아래로 내려가는 경향 → x가 클수록 y가 작아짐 → 음의 상관관계
③ '양의 상관관계'는 틀린 설명입니다.
⚠ 양의 상관: 오른쪽 위 방향, 음의 상관: 오른쪽 아래 방향. 방향으로 구분하세요!
18 원의 성질 상

원 O에서 두 현 AB, CD가 원 안의 점 P에서 만날 때, PA=3, PB=8, PC=4이면 PD는?

원 안에서 두 현이 만날 때: PA × PB = PC × PD
✅ 정답: ② 6 원 안에서 두 현이 교차할 때:
PA × PB = PC × PD
3 × 8 = 4 × PD
24 = 4 × PD
PD = 6
⚠ '원 안'에서 교차: PA·PB = PC·PD
'원 밖'에서 교차: PA·PB = PC·PD (시컨트-시컨트). 위치에 따라 공식이 같아도 의미가 다릅니다!
19 삼각비 활용 상

sin²A + cos²A = 1을 이용하여, tan A = 2일 때 sin²A의 값을 구하면?

sin²A + cos²A = 1, tan A = sin A / cos A
✅ 정답: ④ 4/5 tan A = 2이므로 sin A = 2·cos A
sin²A + cos²A = 1에 대입:
(2·cos A)² + cos²A = 1
4cos²A + cos²A = 1
5cos²A = 1 → cos²A = 1/5
sin²A = 1 - 1/5 = 4/5
⚠ tan A = sin A/cos A 관계를 이용하여 sin A = (tan A)·cos A로 놓고 sin²A+cos²A=1에 대입하는 것이 핵심 풀이법!
20 종합 상

반지름 r인 원에 내접하는 정삼각형의 한 변의 길이는? (원주각과 삼각비 복합 문제)

정삼각형의 각 꼭짓점은 원 위에 있고, 각 변에 대한 중심각 = 120°
✅ 정답: ③ √3 · r 중심각 120°이므로 삼각형 OAB (O는 중심, AB는 한 변)에서
OA = OB = r, ∠AOB = 120°
코사인 법칙: AB² = r² + r² - 2r²·cos120°
= 2r² - 2r²·(-1/2)
= 2r² + r² = 3r²
AB = √3 · r
⚠ cos 120° = cos(180°-60°) = -cos 60° = -1/2. 둔각의 코사인은 음수임을 기억하세요!