고1-1 기말 수학 핵심기출 20선

📌 다항식의 연산 Unit 1

지수법칙과 다항식의 곱셈·나눗셈이 핵심입니다.

(A+B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
(A-B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³
(A+B)(A²-AB+B²) = A³ + B³
(A-B)(A²+AB+B²) = A³ - B³
A³+B³+C³-3ABC = (A+B+C)(A²+B²+C²-AB-BC-CA)

🔑 필수 암기: 나머지정리 — f(x)를 (x-a)로 나눈 나머지 = f(a)

예제

f(x) = x³ - 2x² + 3x - 4를 (x-1)로 나눈 나머지는?

답: f(1) = 1 - 2 + 3 - 4 = -2

📌 인수분해 Unit 1

x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)
acx² + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d)
a² - b² = (a+b)(a-b)
a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
인수정리: f(a)=0 이면 (x-a)는 f(x)의 인수

🔑 치환 인수분해: x²+x = X로 치환 후 정리

예제

x⁴ - 5x² + 4 를 인수분해하면?

x² = t로 치환: (t-1)(t-4) = (x²-1)(x²-4) = (x+1)(x-1)(x+2)(x-2)

📌 이차방정식 Unit 2

근의 공식: x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
판별식 D = b²-4ac
  D > 0 : 서로 다른 두 실근
  D = 0 : 중근 (같은 두 실근)
  D < 0 : 허근 (서로 다른 두 허근)
근과 계수의 관계: α+β = -b/a, αβ = c/a

🔑 b=2b' 형태일 때: D/4 = b'²-ac 사용이 편리

예제

x²-5x+k=0이 중근을 가질 때 k의 값은?

D = 25-4k = 0 → k = 25/4

📌 이차방정식의 근과 계수의 관계 응용 Unit 2

두 근 α, β일 때:
α² + β² = (α+β)² - 2αβ
α³ + β³ = (α+β)³ - 3αβ(α+β)
(α-β)² = (α+β)² - 4αβ
1/α + 1/β = (α+β) / αβ
α² + β² ≥ 2αβ (등호: α=β)

예제

x²-3x+1=0의 두 근 α, β에 대해 α²+β² 의 값은?

(3)²-2(1) = 7

📌 연립방정식과 고차방정식 Unit 2

삼차방정식: 인수정리로 한 근 찾은 후 조립제법
x³ = 1의 허근 ω: ω² + ω + 1 = 0, |ω|=1
연립이차방정식: 대입법·가감법으로 일차→이차 변환

🔑 ω³=1, ω²+ω+1=0 반드시 암기

📌 일차·이차 부등식 Unit 3

이차부등식 ax²+bx+c > 0 (a>0):
D > 0: α<x<β 이외의 범위 (부등호 방향 주의)
ax²+bx+c > 0 → x < α 또는 x > β
ax²+bx+c < 0 → α < x < β (α<β)
D = 0: (x-α)² > 0 → x ≠ α 인 모든 실수
D < 0: ax²+bx+c > 0 → 모든 실수 (a>0)

🔑 항상 성립 조건: ax²+bx+c > 0이 모든 x에서 성립 ⟺ a>0 이고 D<0

예제

x²-3x+k > 0이 모든 실수에서 성립하려면?

D = 9-4k < 0 → k > 9/4

📌 절댓값 부등식과 연립부등식 Unit 3

|x| < a ⟺ -a < x < a (a>0)
|x| > a ⟺ x < -a 또는 x > a
|x-a| ≤ b ⟺ a-b ≤ x ≤ a+b
산술·기하 평균: a,b>0일 때 (a+b)/2 ≥ √(ab)

📌 직선의 방정식 Unit 4

기울기-절편형: y = mx + n
점-기울기형: y - y₁ = m(x - x₁)
두 점 형: (y-y₁)/(y₂-y₁) = (x-x₁)/(x₂-x₁)
점 (x₁,y₁)에서 ax+by+c=0까지 거리:
d = |ax₁+by₁+c| / √(a²+b²)

🔑 두 직선 y=m₁x+n₁, y=m₂x+n₂ → 수직 조건: m₁m₂ = -1

📌 원의 방정식 Unit 4

표준형: (x-a)²+(y-b)² = r² [중심(a,b), 반지름r]
일반형: x²+y²+Dx+Ey+F=0
  중심: (-D/2, -E/2)
  반지름: √(D²/4 + E²/4 - F)
원과 직선의 위치관계: d(중심→직선 거리)
  d < r : 두 점에서 교차
  d = r : 접한다 (접선)
  d > r : 교점 없음

🔑 원 위의 점 (x₁,y₁)에서 접선: x·x₁+y·y₁ = r²

📌 도형의 이동 Unit 4

평행이동: (a,b)만큼 → x→x-a, y→y-b (방정식에 대입)
x축 대칭: (x,y)→(x,-y) → y를 -y로 교체
y축 대칭: (x,y)→(-x,y) → x를 -x로 교체
원점 대칭: (x,y)→(-x,-y)
직선 y=x 대칭: x와 y를 서로 교체