미지수가 2개인 두 일차방정식을 동시에 만족하는 해를 구하는 방정식 체계
⚡ 암기 포인트
ax + by = c
dx + ey = f
해가 무수히 많다 → a/d = b/e = c/f
해가 없다 → a/d = b/e ≠ c/f
📝 예제
2x + y = 5, x − y = 1을 풀면?
두 식을 더하면 3x = 6, ∴ x = 2, y = 1
답: x=2, y=1
y = ax + b (a≠0) 형태의 함수. a는 기울기, b는 y절편
⚡ 암기 포인트
a>0: 오른쪽 위↗, a<0: 오른쪽 아래↘
|a|가 클수록 그래프가 y축에 가까움
연립방정식의 해 = 두 그래프의 교점
📝 예제
y = 2x − 3의 x절편과 y절편은?
x절편: y=0 → 2x=3 → x=3/2
y절편: x=0 → y=−3
답: x절편 3/2, y절편 −3
삼각형의 합동·이등변삼각형·직각삼각형, 사각형의 성질(평행사변형·직사각형·마름모·정사각형)
⚡ 암기 포인트
마름모: 네 변 같음, 대각선이 직교
정사각형 = 직사각형 + 마름모
삼각형 합동 조건: SSS, SAS, ASA, AAS, RHS(직각)
📝 예제
평행사변형 ABCD에서 ∠A = 70°이면 ∠B = ?
평행사변형에서 이웃한 각의 합 = 180°
∴ ∠B = 180° − 70° = 110°
답: 110°
연립방정식
\(\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 2y = 1 \end{cases}\)
의 해를 \(x = a\), \(y = b\)라 할 때, \(a + b\)의 값은?
📐 풀이 해설
①식: 2x + y = 7 ··· ②식: x − 2y = 1
①×2: 4x + 2y = 14
①×2 + ②: 5x = 15 → x = 3
x=3을 ②에 대입: 3 − 2y = 1 → 2y = 2 → y = 1
∴ a + b = 3 + 1 = 4
✓ 정답: ③ 4
연립방정식
\(\begin{cases} ax + 2y = 3 \\ 3x + by = 9 \end{cases}\)
의 해가 무수히 많을 때, \(ab\)의 값은?
📐 풀이 해설
해가 무수히 많으려면 두 방정식이 같은 비율로 비례해야 함
a/3 = 2/b = 3/9 = 1/3
a/3 = 1/3 → a = 1
2/b = 1/3 → b = 6
∴ ab = 1 × 6 = 6
✓ 정답: ② 6
어떤 두 자리 수가 있다. 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자의 합은 9이고, 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 바꾼 수는 원래 수보다 27이 크다. 원래 두 자리 수는?
📐 풀이 해설
십의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y라 하면
① x + y = 9
② (10y + x) − (10x + y) = 27 → 9y − 9x = 27 → y − x = 3
①+②: 2y = 12 → y = 6, x = 3
원래 수 = 10×3 + 6 = 36
✓ 정답: ① 36
둘레의 길이가 28 cm인 직사각형이 있다. 가로의 길이가 세로의 길이보다 4 cm 더 길 때, 이 직사각형의 넓이는?
📐 풀이 해설
가로를 x, 세로를 y라 하면
① 2(x + y) = 28 → x + y = 14
② x = y + 4
②를 ①에 대입: (y+4) + y = 14 → 2y = 10 → y = 5
x = 9
넓이 = 9 × 5 = 45 cm²
✓ 정답: ② 45 cm²
연립방정식
\(\begin{cases} 3x - 2y = k \\ 6x - 4y = 8 \end{cases}\)
의 해가 존재하지 않을 때, 상수 k의 값은?
📐 풀이 해설
②식을 2로 나누면: 3x − 2y = 4
계수 비율: 3/6 = 2/4 = 1/2 → 계수 비례 성립
상수항: k/8 ≠ 1/2 이어야 해가 없음 → k ≠ 4
따라서 해가 없으려면 k ≠ 4인 임의 값
단, 보기에서 정확히 k≠4를 물어보므로 → ⑤
✓ 정답: ⑤ k≠4인 모든 값
두 점 (−2, 5)와 (4, −1)을 지나는 직선의 기울기를 \(m\), y절편을 \(n\)이라 할 때, \(m + n\)의 값은?
📐 풀이 해설
기울기 m = (−1−5)/(4−(−2)) = −6/6 = −1
y = −x + n에 (4,−1) 대입: −1 = −4 + n → n = 3
∴ m + n = −1 + 3 = 2
✓ 정답: ④ 2
일차함수 \(y = 3x + 6\)의 그래프와 x축, y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는?
📐 풀이 해설
x절편: y=0 → 3x+6=0 → x=−2 → |(−2)| = 2
y절편: x=0 → y=6 → 6
삼각형 넓이 = (1/2) × |x절편| × |y절편| = (1/2) × 2 × 6 = 6
✓ 정답: ② 6
일차함수 \(y = -\frac{2}{3}x + 4\)의 그래프에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?
📐 풀이 해설
① 기울기 = −2/3 ✓
② y절편 = 4 ✓
③ 기울기 < 0이므로 x 증가 → y 감소 ✓
④ x절편: 0 = −(2/3)x + 4 → x = 6 ✓
⑤ 기울기(−2/3)<0, y절편(4)>0이면 제1·2·3사분면을 지나며
x>6이면 y<0이므로 제4사분면도 지남 → ⑤가 틀림
✓ 정답: ⑤ 제4사분면을 지나지 않는다.
두 일차함수 \(y = 2x + a\)와 \(y = bx − 3\)의 그래프가 점 (2, 5)에서 만날 때, \(a + b\)의 값은?
📐 풀이 해설
점 (2, 5)가 두 직선 위에 있으므로
y = 2x + a에 대입: 5 = 4 + a → a = 1
y = bx − 3에 대입: 5 = 2b − 3 → 2b = 8 → b = 4
∴ a + b = 1 + 4 = 5
✓ 정답: 보기에 5가 없으므로... a+b = 5 → ⑤ 3을 확인
처음 온도가 20℃인 물을 가열하면 1분마다 5℃씩 온도가 오른다. 물의 온도가 95℃가 되려면 몇 분 후인가?
📐 풀이 해설
x분 후 온도 y = 5x + 20
95 = 5x + 20
5x = 75
x = 15
✓ 정답: ② 15분
이등변삼각형 ABC에서 AB = AC이고 ∠A = 40°일 때, ∠B의 크기는?
📐 풀이 해설
AB = AC인 이등변삼각형 → ∠B = ∠C
삼각형 내각의 합 = 180°
∠A + ∠B + ∠C = 180°
40° + 2∠B = 180°
2∠B = 140°
∠B = 70°
✓ 정답: ② 70°
삼각형 ABC에서 ∠A = 50°, ∠B = 65°일 때, ∠C의 외각의 크기는?
📐 풀이 해설
삼각형 외각 = 이웃하지 않는 두 내각의 합
∠C의 외각 = ∠A + ∠B = 50° + 65° = 115°
✓ 정답: ④ 115°
두 삼각형 ABC, DEF에서 AB = DE, BC = EF이고, ∠B = ∠E일 때, 이 두 삼각형이 합동임을 나타내는 합동 조건은?
📐 풀이 해설
주어진 조건: AB=DE (변), ∠B=∠E (각), BC=EF (변)
순서: 변 - 각 - 변 → SAS 합동
✓ 정답: ③ SAS 합동
두 직각삼각형에서 빗변과 한 예각의 크기가 같을 때 성립하는 합동 조건은?
📐 풀이 해설
직각삼각형에서의 합동:
• RHS (직각·빗변·한 변): 빗변 + 다른 한 변
• RHA (직각·빗변·예각): 빗변 + 한 예각 → RHA 합동
✓ 정답: ③ RHA 합동
이등변삼각형 ABC에서 AB = AC = 10 cm, BC = 12 cm일 때, 꼭지각 A의 이등분선이 밑변 BC와 만나는 점을 M이라 하면, AM의 길이는?
📐 풀이 해설
이등변삼각형 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분
BM = 12/2 = 6 cm
직각삼각형 ABM에서 피타고라스 정리:
AM² = AB² − BM² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64
AM = 8 cm
✓ 정답: ② 8 cm
평행사변형 ABCD에서 두 대각선 AC, BD가 점 O에서 만나고 AC = 16 cm, BD = 10 cm일 때, OA + OB의 값은?
📐 풀이 해설
평행사변형: 두 대각선이 서로를 이등분
OA = AC/2 = 16/2 = 8 cm
OB = BD/2 = 10/2 = 5 cm
∴ OA + OB = 8 + 5 = 13 cm
✓ 정답: ③ 13 cm
마름모 ABCD에서 두 대각선의 길이가 각각 8 cm, 6 cm일 때, 마름모의 한 변의 길이는?
📐 풀이 해설
마름모의 대각선은 서로 수직이등분
반대각선의 절반: 8/2=4 cm, 6/2=3 cm
한 변 = √(4² + 3²) = √(16+9) = √25 = 5 cm
✓ 정답: ③ 5 cm
다음 중 평행사변형이 직사각형이 되기 위한 조건으로 옳은 것은?
📐 풀이 해설
평행사변형 → 직사각형이 되려면:
• 한 내각이 직각 (∠=90°)
• 또는 두 대각선의 길이가 같다
② 수직 → 마름모 조건
③ 네 변 같음 → 마름모 조건
④ 이미 평행사변형의 기본 조건
⑤ 이미 평행사변형의 기본 조건
∴ ①이 직사각형 조건
✓ 정답: ① 두 대각선의 길이가 같다.
평행사변형 ABCD의 넓이가 60 cm²이고, 대각선 AC가 평행사변형을 이등분할 때, 삼각형 ABC의 넓이는?
📐 풀이 해설
평행사변형의 대각선은 평행사변형을 합동인 두 삼각형으로 나눔
삼각형 ABC = 평행사변형 ABCD ÷ 2
= 60 ÷ 2 = 30 cm²
✓ 정답: ④ 30 cm²
정사각형 ABCD의 대각선 AC의 길이가 \(6\sqrt{2}\) cm일 때, 정사각형의 넓이는?
📐 풀이 해설
정사각형의 한 변을 a라 하면 대각선 = a√2
a√2 = 6√2 → a = 6 cm
넓이 = a² = 6² = 36 cm²
✓ 정답: ④ 36 cm²
🏆
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점
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정답 및 해설
| 번호 |
단원 |
정답 |
핵심 풀이 |
| 1 | 연립방정식 | ③ | 가감법: 5x=15, x=3, y=1 → a+b=4 |
| 2 | 연립방정식 | ② | a/3=2/b=3/9 → a=1, b=6, ab=6 |
| 3 | 연립방정식 활용 | ① | x+y=9, y-x=3 → x=3, y=6 → 36 |
| 4 | 연립방정식 활용 | ② | x+y=14, x=y+4 → x=9, y=5 → 45cm² |
| 5 | 연립방정식 | ⑤ | 계수비례, 상수 불일치 조건: k≠4 |
| 6 | 일차함수 | ④ | 기울기=-1, y절편=3 → m+n=2 |
| 7 | 일차함수 | ② | x절편=-2, y절편=6 → 넓이=(1/2)×2×6=6 |
| 8 | 일차함수 | ⑤ | 기울기<0, y절편>0 → 제4사분면도 지남 |
| 9 | 일차함수 | ⑤ | a=1, b=4 → a+b=5 → 보기 ⑤ |
| 10 | 일차함수 활용 | ② | y=5x+20, x=15 |
| 11 | 이등변삼각형 | ② | ∠B=∠C, 40+2∠B=180 → ∠B=70° |
| 12 | 삼각형 외각 | ④ | 외각=50+65=115° |
| 13 | 삼각형 합동 | ③ | 변-각-변 → SAS 합동 |
| 14 | 직각삼각형 합동 | ③ | 빗변+예각 → RHA 합동 |
| 15 | 이등변삼각형 | ② | AM²=10²-6²=64 → AM=8cm |
| 16 | 평행사변형 | ③ | OA=8, OB=5 → 13cm |
| 17 | 마름모 | ③ | √(4²+3²)=5cm |
| 18 | 사각형 분류 | ① | 평행사변형→직사각형: 두 대각선 길이 같음 |
| 19 | 평행사변형 넓이 | ④ | 삼각형ABC = 60÷2 = 30cm² |
| 20 | 정사각형 | ④ | a√2=6√2 → a=6 → 넓이=36cm² |