1
등차수열과 등차급수
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공차 d가 일정한 수열. 각 항에서 앞 항을 빼면 항상 d.
일반항: aₙ = a₁ + (n-1)d
// a₁: 첫째항, d: 공차
등차중항: 2b = a + c (a, b, c가 등차수열)
등차급수(합): Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n-1)d)
= n/2 · (a₁ + aₙ)
aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ (n≥2), a₁ = S₁ 관계 반드시 암기!
예제
첫째항 3, 공차 4인 등차수열의 제10항과 첫 10항의 합을 구하여라.
a₁₀ = 3 + 9×4 = 39 / S₁₀ = 10/2×(3+39) = 210
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등비수열과 등비급수
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공비 r이 일정한 수열. 각 항을 앞 항으로 나누면 항상 r.
일반항: aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹
등비중항: b² = ac (a, b, c가 등비수열, b≠0)
등비급수(합): Sₙ = a₁(1-rⁿ)/(1-r) [r≠1]
Sₙ = na₁ [r=1]
무한등비급수: S∞ = a₁/(1-r) [|r|<1일 때만 수렴]
등비수열 합 공식에서 r=1인 경우를 따로 처리해야 함!
무한등비급수 수렴 조건: |r| < 1
예제
첫째항 2, 공비 3인 등비수열의 첫 5항의 합을 구하여라.
S₅ = 2×(1-3⁵)/(1-3) = 2×(-242)/(-2) = 242
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시그마(Σ)와 수열의 합
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Σk (k=1~n) = n(n+1)/2
Σk² (k=1~n) = n(n+1)(2n+1)/6
Σk³ (k=1~n) = [n(n+1)/2]²
Σc (k=1~n) = cn
Σ(aₖ±bₖ) = Σaₖ ± Σbₖ
cΣaₖ = Σcaₖ
Σk³ = (Σk)² 암기! 시험 자주 출제!
예제
Σ(k=1 to 10) k(k+1)을 구하여라.
Σk²+Σk = 10·11·21/6 + 10·11/2 = 385+55 = 440
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수학적 귀납법
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① n=1일 때 성립함을 보인다.
② n=k일 때 성립한다 가정 → n=k+1일 때도 성립함을 증명.
점화식 aₙ₊₁ = paₙ + q 형태 → 특성방정식 α = pα+q 풀어 변환!
aₙ₊₁ = paₙ + q → bₙ = aₙ - α (α=q/(1-p)) 치환
→ bₙ은 공비 p인 등비수열
5
지수와 지수함수
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거듭제곱근: ⁿ√a = a^(1/n), ⁿ√aᵐ = a^(m/n)
지수법칙: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ, a⁻ⁿ = 1/aⁿ
y = aˣ (a>0, a≠1):
a>1이면 단조증가 / 0<a<1이면 단조감소
항상 (0,1) 통과, 점근선 y=0
aˣ = aʸ ↔ x = y (a≠1, a>0) 지수비교 핵심!
6
로그와 로그함수
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정의: logₐN = x ↔ aˣ = N (a>0, a≠1, N>0)
성질: logₐ(MN) = logₐM + logₐN
logₐ(M/N) = logₐM - logₐN
logₐMⁿ = n·logₐM
밑 변환: logₐb = log b / log a = logₓb / logₓa
logₐb · logᵦc = logₐc (연쇄법칙)
logₐa = 1, logₐ1 = 0 암기!
예제
log₂48 - log₂3을 구하여라.
log₂(48/3) = log₂16 = 4
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삼각함수의 정의와 공식
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단위원: sin²θ + cos²θ = 1
tan θ = sinθ/cosθ
1 + tan²θ = sec²θ
호도법: π라디안 = 180°
30°=π/6, 45°=π/4, 60°=π/3, 90°=π/2
특수각:
sin 30°=1/2, cos 30°=√3/2, tan 30°=1/√3
sin 45°=√2/2, cos 45°=√2/2, tan 45°=1
sin 60°=√3/2, cos 60°=1/2, tan 60°=√3
그래프 y=a·sin(bx+c)+d:
진폭=|a|, 주기=2π/|b|
sin²θ + cos²θ = 1 은 모든 삼각 문제의 출발점!
사인법칙: a/sinA = 2R / 코사인법칙: a²=b²+c²-2bc·cosA
정답 및 해설
| 번호 | 정답 | 핵심 풀이 |
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