소인수분해 핵심 개념
Unit 011과 자기 자신만을 약수로 갖는 자연수
예) 2, 3, 5, 7, 11, 13…
자연수를 소수의 곱으로만 나타내는 것
예) 60 = 2² × 3 × 5
완전제곱수: 모든 소인수의 지수가 짝수
최대공약수(GCD): 공통 소인수 × 지수 작은 것
최소공배수(LCM): 모든 소인수 × 지수 큰 것
72 = 2³ × 3² → (3+1)(2+1) = 12개
자연수 180을 소인수분해하면 2² × 3² × 5이다. 이때 180의 약수의 개수는?
약수의 개수 = (2+1) × (2+1) × (1+1) = 3 × 3 × 2 = 18
각 소인수의 지수에 1을 더한 뒤 모두 곱합니다.
504에 자연수 a를 곱하여 완전제곱수가 되도록 할 때, 가장 작은 a의 값은?
※ 504 = 2³ × 3² × 7
완전제곱수가 되려면 모든 지수가 짝수여야 합니다.
2³ → 지수 3(홀수) → 2¹ 필요
3² → 지수 2(짝수) → OK
7¹ → 지수 1(홀수) → 7¹ 필요
따라서 a = 2 × 7 = 14
12, 18, 30의 최소공배수는?
LCM = (가장 큰 지수) = 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180
정수와 유리수 핵심 개념
Unit 02수직선에서 원점까지의 거리
|a| ≥ 0, |-a| = |a|
(+)×(+)=+, (-)×(-)=+
(+)×(-)=-, (-)×(+)=-
덧셈: 다른 부호 → 절댓값 차, 큰 것 부호
거듭제곱: (-a)^짝수 = +, (-a)^홀수 = -
분수 나눗셈: ÷(b/c) = ×(c/b) (역수를 곱함)
수직선 위에서 절댓값이 3인 두 수의 합은?
두 수의 합 = (+3) + (-3) = 0
절댓값이 같고 부호가 반대인 두 수의 합은 항상 0입니다.
(-3)² − (−2)³을 계산하면?
(-2)³ = -8 (음수를 홀수 번 곱하면 음수)
∴ 9 − (−8) = 9 + 8 = 17
(-5/6) ÷ (5/3)의 값은?
(-5/6) ÷ (5/3) = (-5/6) × (3/5)
= (-5 × 3) / (6 × 5) = -15/30 = -1/2
(-2) × 3 + 4 ÷ (-2)를 계산하면?
(-2) × 3 = -6
4 ÷ (-2) = -2
-6 + (-2) = -8
문자와 식 핵심 개념
Unit 03항: 수나 문자의 곱
단항식: 항이 1개, 다항식: 항이 2개 이상
단항식: 문자의 지수의 합
다항식: 각 항 중 가장 높은 차수
식의 값: 문자에 수를 대입하여 계산
괄호 앞 -: 괄호 안 모든 항의 부호 변경
예) -(2x-3) = -2x+3
x = 2, y = -1일 때, 3x - 2y의 값은?
3×(2) - 2×(-1) = 6 - (-2) = 6 + 2 = 8
y가 음수이므로 -2×(-1) = +2 임에 주의합니다.
다항식 3x²y − 2xy + 5에서 3x²y의 차수는?
x의 지수: 2, y의 지수: 1
단항식의 차수 = 지수의 합 = 2 + 1 = 3차
(3x − 1) − (x + 5)를 간단히 하면?
(3x−1) − (x+5) = 3x−1 −x−5
동류항 정리: (3x−x) + (−1−5) = 2x − 6
등식의 성질에서 3a = 3b이면 성립하는 것은?
3a ÷ 3 = 3b ÷ 3
∴ a = b
등식의 성질: 양변을 같은 수(≠0)로 나누어도 등식은 성립합니다.
일차방정식 핵심 개념
Unit 04한 항을 부호를 바꾸어 등호의 반대편으로 이동
예) 2x+3=7 → 2x=7-3
① 괄호 전개 ② 계수 정수화
③ 이항 ④ 동류항 정리 ⑤ 계수로 나눔
분수 계수: 양변 × LCM(분모들)
검산: x값을 원래 방정식에 대입 확인
활용: 모르는 수→x, 조건→방정식 세우기
방정식 2x − 3 = 7의 해는?
이항: 2x = 7 + 3 = 10
양변을 2로 나누기: x = 5
검산: 2(5)−3 = 10−3 = 7 ✓
방정식 0.3x + 1.2 = 0.6의 해는?
3x + 12 = 6
이항: 3x = 6 − 12 = −6
x = −2
검산: 0.3×(−2)+1.2 = −0.6+1.2 = 0.6 ✓
연속하는 세 홀수의 합이 45일 때, 가장 큰 홀수는?
n + (n+2) + (n+4) = 45
3n + 6 = 45 → 3n = 39 → n = 13
세 수: 13, 15, 17 → 가장 큰 수: 17
방정식 3(x − 2) = 2x + 1의 해는?
3x − 6 = 2x + 1
이항: 3x − 2x = 1 + 6
x = 7
검산: 3(7−2) = 3×5 = 15, 2×7+1 = 15 ✓
좌표와 그래프 핵심 개념
Unit 051사분면: (+,+) 2사분면: (-,+)
3사분면: (-,-) 4사분면: (+,-)
정비례: y = ax (원점 통과 직선)
반비례: y = a/x (쌍곡선)
정비례 a>0: 1,3사분면 / a<0: 2,4사분면
반비례 a>0: 1,3사분면 / a<0: 2,4사분면
좌표 대칭: x축→(x,-y), y축→(-x,y), 원점→(-x,-y)
점 A(-2, 3)이 속하는 사분면은?
x < 0, y > 0 → 제2사분면
암기: 2사분면은 왼쪽 위 영역
y가 x에 정비례하고, x = 2일 때 y = 6이다. x = 5일 때 y의 값은?
x=2, y=6 대입: 6 = a×2 → a = 3
∴ y = 3x
x=5일 때: y = 3×5 = 15
y가 x에 반비례하고, x = 3일 때 y = −2이다. x = −2일 때 y의 값은?
x=3, y=−2 대입: −2 = a/3 → a = −6
∴ y = −6/x
x=−2일 때: y = −6/(−2) = 3
통계 핵심 개념
Unit 06자료의 총합 ÷ 자료의 개수
편차 합 = 항상 0
크기 순 정렬 후 가운데 값
짝수 개: 가운데 두 값의 평균
분산 = (편차²의 평균) = Σ(x-평균)² / n
표준편차 = √분산
상대도수 = (해당 계급의 도수) / (전체 도수)
5명의 수학 점수가 70, 85, 90, 75, 80점일 때, 평균 점수는?
평균 = 400 ÷ 5 = 80점
자료 65, 80, 90, 70, 75, 85를 크기 순으로 정렬했을 때 중앙값은?
짝수 개: 가운데 두 값의 평균
3번째: 75, 4번째: 80
중앙값 = (75 + 80) ÷ 2 = 77.5점