수능 수학 킬러문항 20선

📌 단원 1. 지수·로그 함수

핵심 공식

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $\log_a MN = \log_a M + \log_a N$
$\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$, $\log_a M^n = n\log_a M$
밑의 변환: $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$

★ 킬러 포인트
지수·로그 혼합 방정식: 치환($t = a^x$)으로 이차방정식화. 조건 $t>0$ 반드시 확인. 로그 진수 조건($>0$)·밑 조건($>0,\neq1$) 체크 필수.

📌 단원 2. 삼각함수

핵심 공식

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$, $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
사인 법칙: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$
코사인 법칙: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

★ 킬러 포인트
주기·최댓값·최솟값 문제: $y=a\sin(bx+c)+d$에서 진폭$=|a|$, 주기$=\frac{2\pi}{|b|}$. 범위 조건과 연립 시 그래프 활용.

📌 단원 3. 수열 (등차·등비·점화식)

핵심 공식

등차: $a_n = a_1+(n-1)d$, $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$
등비: $a_n = a_1 r^{n-1}$, $S_n=\dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1}\ (r\neq1)$
$\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

★ 킬러 포인트
점화식 $a_{n+1}=pa_n+q$ 형태: $\alpha=p\alpha+q$ (특수해)를 구해 $b_n=a_n-\alpha$로 등비수열 변환. $\sum$ 기호 분리 후 부분합 활용.

📌 단원 4. 미분 (도함수·극값)

핵심 공식

$(x^n)'=nx^{n-1}$, $(fg)'=f'g+fg'$, $\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$
합성함수: $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$
극값 조건: $f'(x)=0$이고 부호 변환

★ 킬러 포인트
삼차함수 $f(x)=ax^3+\cdots$의 극값: 판별식 $f'(x)=0$의 두 근 $\alpha,\beta$에서 $f(\alpha)\cdot f(\beta)\leq0$ 이면 서로 다른 극값 존재. 접선·법선 방정식 연계 출제.

📌 단원 5. 적분 (정적분·넓이·부피)

핵심 공식

$\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b)-F(a)$
넓이: $S=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$
치환적분: $\int f(g(x))g'(x)\,dx$, 부분적분: $\int uv'\,dx=uv-\int u'v\,dx$

★ 킬러 포인트
$\int_a^x f(t)\,dt = g(x)$ 꼴: 양변 미분 $\Rightarrow f(x)=g'(x)$. $x=a$ 대입 $\Rightarrow g(a)=0$ 조건 확인. 절댓값 포함 적분은 구간 분리.

📌 단원 6. 확률과 통계

핵심 공식

$_nP_r=\dfrac{n!}{(n-r)!}$, $_nC_r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$, $_nH_r=_{n+r-1}C_r$
이항분포: $E(X)=np$, $V(X)=npq$
정규분포: $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$, 표본평균 $\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$

★ 킬러 포인트
조건부확률 $P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$. 중복조합은 칸막이법. 이산확률변수 $E(aX+b)=aE(X)+b$, $V(aX+b)=a^2V(X)$.