t → p → α → CI → β → Power

Setup

가설과 유의수준

H₀ : μ = 100 vs Hₐ : μ ≠ 100

양측검정, α = 0.05로 미리 정합니다. 시험 평균이 100점이라는 주장을 검정합니다.

Step 1

Standard Error — 표본평균의 흔들림

SE = s / √n = 10 / √25

2 점 (SE)

표본평균이 표본마다 대략 ±2점 정도 흔들릴 수 있다는 뜻입니다.

Step 2

t-value — 몇 개의 SE만큼 떨어졌나

t = (x̄ − μ₀) / SE = (104 − 100) / 2

2.00 (t-value)

100을 주장했는데 실제 표본평균은 104. 차이 4점 ÷ SE 2점 = 표준오차 2개만큼 떨어져 있습니다.

Step 3 · df = n − 1 = 24

p-value — 이 t값이 얼마나 드문가

p = 2 · P(T ≥ 2.00) , df=24

0.0569

귀무가설이 맞다고 가정할 때, 지금처럼 100에서 떨어진 결과가 나올 가능성이 약 5.7%라는 뜻입니다.

Step 4

α — 미리 정한 기준

0.05

α는 데이터에서 계산되는 값이 아니라, 검정을 시작하기 전에 미리 정해두는 기준입니다.

Step 5

p-value vs α

0.0569 > 0.05

Fail to Reject H₀

"평균이 100이라는 가설을 기각할 충분한 증거가 없다."

Step 6 · df = 24, 95% 양측

t-critical — 기각 경계값

±2.064 (t*)

|t| = 2.00 < t* = 2.064 → 경계 안쪽(teal 영역)이라 기각하지 못합니다.

Step 7

95% Confidence Interval

x̄ ± t* × SE = 104 ± 2.064(2)

(99.872, 108.128)

Step 8

CI 안에 H₀가 있는가

100이 신뢰구간 (99.872, 108.128) 안에 있습니다.

Fail to Reject H₀

p-value로 얻은 결론과 정확히 같습니다.

Step 9

p-value와 CI가 이어지는 이유

p-value 경로

p > α → H₀ 기각 못함 → H₀ 값이 CI 안에 있음

반대의 경우

p < α → H₀ 기각 → H₀ 값이 CI 밖에 있음

Step 10–11 · 실제 평균 μ = 108로 가정

β와 Power — 겹쳐진 두 분포

β는 데이터에서 자동으로 나오지 않습니다. "실제 평균이 얼마인가"를 먼저 가정해야 계산됩니다. 여기서는 실제 평균을 108로 가정합니다.

H₀ 분포 (μ=100) Hₐ 분포 (μ=108) β (놓칠 확률) Power (잡아낼 확률)

≈ 0.030

Power = 1 − β

≈ 0.970

실제 평균이 108인데도 "100이라고 볼 수 있다"고 놓칠 확률이 약 3%, 반대로 실제 차이를 옳게 잡아낼 확률은 약 97%입니다.

Summary

전체 표

개념	값	구하는 법	의미
n	25	주어진 데이터	표본 크기
x̄	104	주어진 데이터	표본평균
s	10	주어진 데이터	표본표준편차
SE	2	s/√n	평균의 흔들림
t-value	2.00	(x̄−μ₀)/SE	H₀에서 몇 SE 떨어졌나
df	24	n−1	t분포의 자유도
p-value	0.0569	t분포 이용	H₀가 맞을 때 이 결과가 나올 가능성
α	0.05	미리 설정	기각 기준
t-critical	2.064	t-table	기각 경계
95% CI	(99.872, 108.128)	x̄ ± t*·SE	μ가 있을 것으로 보는 범위
β	≈0.030	실제 평균 가정 필요	실제 효과를 놓칠 확률
Power	≈0.970	1−β	실제 효과를 잡아낼 확률

t-value → p-value → α → CI → β → Power