AP Statistics 만점 로드맵

UNIT 1 · 1.9

정규분포와 z-score z

모든 정규분포 문제는 결국 "몇 표준편차만큼 떨어져 있는가"를 묻는 것입니다. z-score로 표준화한 뒤 표준정규분포표(또는 계산기)로 넓이(확률)를 구합니다.

Standardization

z = (x − μ) / σ

z는 "평균에서 몇 표준편차 떨어져 있는가"를 나타내는 숫자입니다. z가 양수면 평균보다 크고, 음수면 평균보다 작다는 뜻입니다.

예제: 시험 점수 분포

모집단: μ = 100, σ = 15 (정규분포를 따른다고 가정)
질문: P(X < 115) = ? — 즉 115점 미만일 확률은?

z 계산: z = (115 − 100) / 15 = 1.00
표준정규표에서 z = 1.00 왼쪽 넓이를 찾는다 → 0.8413
해석: 115점 미만일 확률은 84.13%이다.

P(X < 115) = 0.8413

TI-84 Plus CE2ND → VARS (DISTR)

2ND VARS → 2:normalcdf(
입력: -1E99, 115, 100, 15) ENTER
→ 0.8413447

Tip: −1E99는 "음의 무한대"를 뜻합니다. 2ND, (-) 를 눌러 EE를 입력하면 E가 나옵니다.

역 계산: invNorm상위 10% 컷라인 찾기

2ND VARS → 3:invNorm(
입력: 0.90, 100, 15) ENTER
→ 119.22

직접 풀어보기 — P(X < 130)은? (μ=100, σ=15, 소수 넷째자리까지)

UNIT 2 · 2.5–2.8

상관계수 r & 최소제곱회귀직선

r은 두 변량 사이 직선 관계의 방향과 강도를, 회귀직선은 x로 y를 예측하는 최적의 직선을 나타냅니다.

Least-Squares Regression Line

ŷ = a + b·x b = r · (s_y/s_x) residual = y − ŷ

예제: 공부 시간(x) vs 점수(y)

x (시간)	2	4	6	8	10
y (점수)	3	7	8	13	15

상관계수: r = 0.9848 → 매우 강한 양의 직선 관계
회귀직선: ŷ = 0.20 + 1.50x
결정계수: r² = 0.9698 → y 변동의 96.98%가 x로 설명됨
x=6일 때 예측값: ŷ = 0.2 + 1.5(6) = 9.2, 실제 y=8 → 잔차(residual) = 8 − 9.2 = −1.2

ŷ = 0.20 + 1.50x, r² = 0.9698

TI-84 Plus CESTAT → EDIT → CALC

STAT → 1:Edit → L1에 x, L2에 y 입력
STAT → CALC → 4:LinReg(ax+b)
Xlist:L1, Ylist:L2 ENTER
→ a=1.5, b=0.2, r=0.9848, r²=0.9698

r이 화면에 안 보이면: 2ND 0 (CATALOG) → DiagnosticOn → ENTER ENTER 로 설정을 켜세요.

직접 풀어보기 — x=10일 때 잔차(residual)는? (ŷ = 0.2+1.5x 사용, 소수 첫째자리)

UNIT 4 · 4.10–4.11

이항분포 Binomial Distribution binom

독립시행이 정해진 횟수(n)만큼 반복되고, 각 시행이 성공(p) 또는 실패로만 나뉠 때 사용합니다.

Binomial PMF & Parameters

P(X=k) = C(n,k) · p^k · (1−p)^n−k μ = np σ = √(np(1−p))

예제: 동전 10번 던지기

n = 10 (시행 횟수), p = 0.5 (앞면 확률)
질문: 정확히 6번 앞면이 나올 확률은?

평균: μ = np = 10 × 0.5 = 5.0
표준편차: σ = √(10 × 0.5 × 0.5) = 1.5811
P(X=6) 계산 → 0.2051
참고 — P(X≤6) (6번 이하): 0.8281

P(X=6) = 0.2051

TI-84 Plus CE2ND → VARS (DISTR)

정확히 6번: 2ND VARS → A:binompdf(
10, 0.5, 6) ENTER → 0.2051

6번 이하: 2ND VARS → B:binomcdf(
10, 0.5, 6) ENTER → 0.8281

직접 풀어보기 — n=10, p=0.5일 때 P(X=5)는? (소수 넷째자리)

UNIT 4 · 4.12

기하분포 Geometric Distribution

첫 번째 성공이 나올 때까지 몇 번 시도해야 하는지를 다룹니다. n이 정해져 있지 않다는 점이 이항분포와 다릅니다.

Geometric PMF & Mean

P(X=k) = (1−p)^k−1 · p μ = 1/p

예제: 성공 확률 20%인 슛 반복 시도

p = 0.2 (한 번 시도당 성공 확률)
질문: 정확히 3번째 시도에서 처음 성공할 확률은?

P(X=3) 계산: (0.8)² × 0.2 = 0.1280
참고 — 3번 이내 성공할 확률 P(X≤3): 0.4880
평균 시도 횟수: μ = 1/0.2 = 5.0번

P(X=3) = 0.1280

TI-84 Plus CE2ND → VARS (DISTR)

2ND VARS → D:geometpdf(
0.2, 3) ENTER → 0.1280

직접 풀어보기 — p=0.2일 때 P(X=2)는? (소수 넷째자리)

UNIT 5 · 5.3–5.7

표본분포와 중심극한정리 CLT

표본평균(x̄)들을 모으면 그 자체도 하나의 분포(표본분포)를 이룹니다. n이 충분히 크면 이 분포는 정규분포에 가까워집니다.

Sampling Distribution of the Mean

μ_x̄ = μ σ_x̄ = σ / √n (표준오차, SE)

n이 커질수록 σ_x̄(표준오차)는 작아집니다 — 표본이 클수록 표본평균의 흩어짐이 줄어든다는 뜻입니다.

예제: 모집단에서 표본 25개 추출

모집단: μ = 50, σ = 10, 표본크기 n = 25
질문: 표본평균 x̄가 53보다 클 확률은?

표준오차: SE = 10 / √25 = 2.0
z 계산: z = (53 − 50) / 2 = 1.5
P(x̄ > 53) → 0.0668

P(x̄ > 53) = 0.0668

TI-84 Plus CEnormalcdf 재사용

2ND VARS → normalcdf(
53, 1E99, 50, 2) ENTER
→ 0.0668

핵심: σ 자리에 σ_x̄ = SE를 넣는 것이 개별 데이터 문제와의 차이입니다.

직접 풀어보기 — n=25, μ=50, σ=10일 때 P(x̄ < 48)은? (소수 넷째자리)

UNIT 6 · 6.2

모비율 신뢰구간 z

표본비율 p̂을 이용해 모비율 p가 있을 것으로 예상되는 구간을 추정합니다.

One-Proportion Confidence Interval

p̂ ± z* · √(p̂(1−p̂)/n)

예제: 설문조사 응답

n = 100명 중 60명이 찬성 → p̂ = 0.60
질문: 95% 신뢰구간은?

표준오차: SE = √(0.6×0.4/100) = 0.0490
임계값(95%): z* = 1.960
오차범위(ME): ME = 1.96 × 0.0490 = 0.0960
구간: 0.60 ± 0.096 = (0.504, 0.696)

95% CI = (0.5040, 0.6960)

TI-84 Plus CESTAT → TESTS

STAT → TESTS → A:1-PropZInt
x=60, n=100, C-Level=0.95 Calculate
→ (0.504, 0.696)

조건 확인: np̂ ≥ 10, n(1−p̂) ≥ 10 을 항상 먼저 체크하세요 (여기선 60, 40 → 통과).

직접 풀어보기 — 90% 신뢰구간의 z*는? (소수 셋째자리)

UNIT 6 · 6.4–6.6

모비율 가설검정 (1-Prop z-Test) z

표본비율이 주장하는 모비율 p₀와 유의미하게 다른지 검정합니다. 여기서 p-value·α 개념이 처음 등장합니다.

One-Proportion z-Test Statistic

z = (p̂ − p₀) / √(p₀(1−p₀)/n)

예제: "찬성률이 50%보다 높다"는 주장 검정

H₀: p = 0.5 vs H_a: p > 0.5 (단측검정)
n = 100, p̂ = 0.60, α = 0.05

귀무가설 하의 표준오차: SE₀ = √(0.5×0.5/100) = 0.0500
검정통계량: z = (0.60 − 0.50)/0.05 = 2.00
p-value (단측): P(Z > 2.00) = 0.0228
결론: p-value(0.0228) < α(0.05) → H₀ 기각. 찬성률이 50%보다 높다는 통계적으로 유의한 증거가 있다.

z = 2.00, p-value = 0.0228 → Reject H₀

TI-84 Plus CESTAT → TESTS

STAT → TESTS → 5:1-PropZTest
p₀=0.5, x=60, n=100
prop >p₀ Calculate
→ z=2.00, p=0.0228

직접 풀어보기 — 같은 조건에서 양측검정(two-sided) p-value는? (소수 넷째자리)

UNIT 7 · 7.2

모평균 신뢰구간 (t-interval) t

모집단 표준편차 σ를 모를 때 s로 추정하며, 이때는 z가 아닌 t-분포를 사용합니다.

One-Sample t Confidence Interval

x̄ ± t* · (s/√n) df = n − 1

예제: 학생 16명의 시험 점수

n = 16, x̄ = 50, s = 8 → 95% 신뢰구간?

자유도: df = 16 − 1 = 15
표준오차: SE = 8/√16 = 2.0
임계값: t* (df=15, 95%) = 2.131
오차범위: ME = 2.131 × 2.0 = 4.263
구간: 50 ± 4.263 = (45.737, 54.263)

95% CI = (45.74, 54.26)

TI-84 Plus CESTAT → TESTS

STAT → TESTS → 8:TInterval
Stats 선택 → x̄=50, Sx=8, n=16
C-Level=0.95 Calculate
→ (45.74, 54.26)

직접 풀어보기 — df=15에서 90% 신뢰구간의 t*는 약 얼마? (소수 셋째자리)

UNIT 7 · 7.4–7.5

모평균 가설검정 (One-Sample t-Test) t

여기서 α(유의수준), β(2종오류 확률), Type Ⅰ/Ⅱ 오류 개념이 본격적으로 등장합니다.

One-Sample t-Test Statistic

t = (x̄ − μ₀) / (s/√n) df = n − 1

예제: "평균 점수가 50점보다 높다"는 주장 검정

H₀: μ = 50 vs H_a: μ > 50 (단측)
n = 16, x̄ = 52, s = 8, α = 0.05

표준오차: SE = 8/√16 = 2.0
검정통계량: t = (52 − 50)/2.0 = 1.00, df = 15
p-value (단측): P(T > 1.00) = 0.1666
결론: p-value(0.1666) > α(0.05) → H₀ 기각 실패 (fail to reject). 평균이 50보다 높다는 충분한 증거가 없다.

t = 1.00, p-value = 0.1666 → Fail to Reject H₀

TI-84 Plus CESTAT → TESTS

STAT → TESTS → 2:T-Test
Stats, μ₀=50, x̄=52, Sx=8, n=16
μ >μ₀ Calculate
→ t=1.00, p=0.1666

직접 풀어보기 — 같은 조건, 양측검정(two-sided) p-value는? (소수 넷째자리)

UNIT 8 · 8.2–8.3

카이제곱 적합도 검정 Chi-Square GOF χ²

범주형 변수 하나가 특정 분포(비율)를 따르는지 검정합니다.

Chi-Square GOF Statistic

χ² = Σ [(O − E)² / E] df = (범주 수) − 1

예제: 주사위 대신 5개 카테고리 균등분포 검정

카테고리	A	B	C	D	E
관측 O	18	22	20	20	20
기대 E	20	20	20	20	20

H₀: 5개 범주가 모두 동일한 비율(20%씩)이다 / n = 100

각 항 계산: (18−20)²/20=0.2, (22−20)²/20=0.2, 나머지 0
합산: χ² = 0.2+0.2+0+0+0 = 0.4000
자유도: df = 5 − 1 = 4
p-value: 0.9825 → α=0.05보다 훨씬 크다 → H₀ 기각 실패. 균등분포와 다르다는 증거 없음.

χ² = 0.400, df = 4, p-value = 0.9825

TI-84 Plus CESTAT → TESTS

L1에 관측값, L2에 기대값 입력 →
STAT → TESTS → D:Chi2GOF-Test
Observed:L1, Expected:L2, df=4 Calculate
→ χ²=0.400, p=0.9825

직접 풀어보기 — O=[18,22,20,20,20]에서 "B" 항의 개별 기여값 (O−E)²/E는?

UNIT 8 · 8.5–8.6

카이제곱 독립성 검정 χ²

두 범주형 변수가 서로 관련이 있는지(독립인지) 검정합니다. 기대값은 (행합×열합)/전체로 계산합니다.

Expected Count Formula

E = (행 합계 × 열 합계) / 전체 표본수

예제: 성별과 찬반 여부의 관계

	찬성	반대	합계
남	30	20	50
여	15	35	50
합계	45	55	100

기대값 예시: E(남,찬성) = (50×45)/100 = 22.5 (모든 칸 동일 방식)
χ² 합산: χ² = 9.0909
자유도: df = (2−1)(2−1) = 1
p-value: 0.0026 → α=0.05보다 작음 → H₀ 기각. 성별과 찬반은 독립이 아니다 (관련이 있다).

χ² = 9.091, df = 1, p-value = 0.0026

TI-84 Plus CE2ND MATRX → STAT TESTS

2ND MATRX → EDIT → [A] 2×2 관측값 입력
STAT → TESTS → C:Chi2-Test
Observed:[A], Expected:[B] Calculate
→ χ²=9.091, p=0.0026

직접 풀어보기 — E(여, 반대) 칸의 기대값은? (행합×열합/전체)

UNIT 9 · 9.4–9.5

회귀 기울기 t-검정 t

x와 y 사이 진짜 직선 관계(모집단 기울기 β)가 0이 아닌지, 즉 x가 y를 예측하는 데 실제로 유의미한지 검정합니다.

t-Test for Slope

t = b / SE_b df = n − 2

예제: 거의 완벽한 직선 데이터

x	1	2	3	4	5	6
y	2.1	4.0	5.9	8.2	9.8	12.1

H₀: β = 0 (관계 없음) vs H_a: β ≠ 0

회귀식: ŷ = 0.047 + 1.991x, r² = 0.9985
기울기의 표준오차: SE_b = 0.0391
검정통계량: t = 1.9914/0.0391 = 50.92, df = 4
p-value: ≈ 0.000001 → 매우 작음 → H₀ 기각. 기울기는 통계적으로 유의하다.
기울기의 95% 신뢰구간: (1.883, 2.100)

t = 50.92, p-value ≈ 0.0000 → Reject H₀

TI-84 Plus CESTAT → TESTS

L1에 x, L2에 y 입력 →
STAT → TESTS → E:LinRegTTest
Xlist:L1, Ylist:L2, β&ρ ≠0 Calculate
→ t=50.92, p=≈0, df=4

직접 풀어보기 — df = n − 2 규칙으로, n=20이면 df는?

MASTER SUMMARY

α · β · p-value · Type Ⅰ/Ⅱ 오류 한눈에 정리

AP Statistics 만점의 핵심은 이 다섯 개념을 절대 헷갈리지 않는 것입니다. 아래 표를 시험 직전 최종 점검용으로 사용하세요.

개념	기호	정의	비유 / 핵심 문장	커지면?
유의수준 Significance Level	α	검정 전에 미리 정해두는, H₀를 기각하기 위한 기준값. 보통 0.05.	"이 정도면 우연이라 보기 어렵다"고 판단하는 문턱값	Type Ⅰ 오류 확률 ↑, Type Ⅱ 오류 확률 ↓
p-value	p	H₀가 참이라고 가정할 때, 관측된 것만큼 극단적인 결과가 나올 확률.	"우연이었을 확률이 이 정도밖에 안 돼"를 수치화한 것	H₀ 기각 근거 ↓ (p > α면 기각 못함)
1종 오류 Type Ⅰ Error	α	H₀가 실제로 참인데 잘못 기각하는 오류. "억울한 유죄 판결"	발생 확률이 정확히 α와 같다	α를 크게 잡으면 1종 오류 위험 ↑
2종 오류 Type Ⅱ Error	β	H₀가 실제로 거짓인데 기각하지 못하는 오류. "진짜 범인을 놓침"	표본이 작거나 효과가 작을수록 β ↑	n을 늘리면 β ↓ (검정력 ↑)
검정력 Power	1 − β	H₀가 실제로 거짓일 때, 올바르게 기각할 확률.	"진짜 효과가 있을 때 그것을 잡아낼 능력"	n ↑, α ↑, 효과크기 ↑ 하면 검정력 ↑

결정 규칙 (Decision Rule) — 절대 잊지 말 것

p-value < α → H₀ 기각 (Reject H₀) → Ha를 지지하는 유의미한 증거 있음
p-value ≥ α → H₀ 기각 실패 (Fail to Reject H₀) → 증거 불충분 (H₀가 참이라고 "증명"된 것은 아님)
α는 시험 전에 미리 정한다 — 데이터를 본 뒤 α를 바꾸면 안 된다
표본크기 n을 늘리면 β(2종 오류)가 줄고 검정력이 커진다 — 그러나 α는 그대로다

실전 연습

객관식 실전 문제 12선

위에서 계산한 예제들을 바탕으로 한 문제입니다. 정답을 고르면 바로 해설이 나타납니다.

SCORE TRACKER 0 / 12

숫자로 확인하는 알파, 베타, p-valueAP Statistics 만점 로드맵

정규분포와 z-score z

예제: 시험 점수 분포

상관계수 r & 최소제곱회귀직선

예제: 공부 시간(x) vs 점수(y)

이항분포 Binomial Distribution binom

예제: 동전 10번 던지기

기하분포 Geometric Distribution

예제: 성공 확률 20%인 슛 반복 시도

표본분포와 중심극한정리 CLT

예제: 모집단에서 표본 25개 추출

모비율 신뢰구간 z

예제: 설문조사 응답

모비율 가설검정 (1-Prop z-Test) z

예제: "찬성률이 50%보다 높다"는 주장 검정

모평균 신뢰구간 (t-interval) t

예제: 학생 16명의 시험 점수

모평균 가설검정 (One-Sample t-Test) t

예제: "평균 점수가 50점보다 높다"는 주장 검정

카이제곱 적합도 검정 Chi-Square GOF χ²

예제: 주사위 대신 5개 카테고리 균등분포 검정

카이제곱 독립성 검정 χ²

예제: 성별과 찬반 여부의 관계

회귀 기울기 t-검정 t

예제: 거의 완벽한 직선 데이터

α · β · p-value · Type Ⅰ/Ⅱ 오류 한눈에 정리

결정 규칙 (Decision Rule) — 절대 잊지 말 것

객관식 실전 문제 12선

숫자로 확인하는 알파, 베타, p-value
AP Statistics 만점 로드맵