알파, 베타, p-value, z, t, 이항분포, 정규분포… 이름만 들어도 헷갈리는 개념들을, 아주 단순한 숫자로 직접 계산해보면서 정리합니다. 각 단원마다 공식 → 손계산 → TI-84 버튼 순서 → 직접 풀어보기 순서로 진행됩니다.
이 워크북의 규칙 3가지
1. 데이터는 항상 계산하기 쉬운 단순한 숫자만 사용합니다.
2. 모든 공식은 손으로 먼저 계산하고, 그 다음 TI-84 버튼 순서를 보여줍니다.
3. 각 단원 끝에는 직접 숫자를 입력해서 채점해보는 연습이 있습니다.
데이터가 종모양(정규분포)을 따를 때, 특정 값이 평균으로부터 표준편차 몇 배 떨어져 있는지를 나타내는 것이 z-score입니다. z-score를 알면 그 값보다 크거나 작은 비율(확률)을 정규분포표나 계산기로 구할 수 있습니다.
손계산: z = (85 − 70) / 10 = 1.5
표준정규분포표에서 z = 1.5 → 약 0.9332
시행 횟수 n번 중 "성공"이 정확히 x번 일어날 확률을 구합니다. 조건: 시행이 독립적이고, 성공확률 p가 매 시행마다 동일해야 합니다.
손계산: C(10,3) = 120, 120 × (0.3)³ × (0.7)⁷ = 120 × 0.027 × 0.0823 ≈ 0.2668
평균과 표준편차: μ = 10×0.3 = 3, σ = √(10×0.3×0.7) = √2.1 ≈ 1.449
"처음 성공이 몇 번째 시행에서 나오는가"를 다룹니다. 이항분포와 달리 시행 횟수 n이 정해져 있지 않습니다.
손계산: (0.75)³ × 0.25 = 0.4219 × 0.25 ≈ 0.1055
평균 시행 횟수: μ = 1/0.25 = 4회
모집단에서 크기 n인 표본을 반복해서 뽑을 때, 표본평균 x̄들의 분포를 "표본분포"라고 합니다. n이 충분히 크면(대략 n≥30) 모집단 모양과 관계없이 x̄의 분포는 정규분포에 가까워집니다 — 이것이 중심극한정리입니다.
손계산: σ_x̄ = 12/√36 = 12/6 = 2, z = (53−50)/2 = 1.5
표본 비율 p̂로 모비율 p를 추정(신뢰구간)하거나, p에 대한 주장을 검정(가설검정)합니다.
손계산: SE = √(0.6×0.4/200) = √0.0012 ≈ 0.0346
0.6 ± 1.96×0.0346 = 0.6 ± 0.0679
손계산: SE₀ = √(0.5×0.5/200) = √0.00125 ≈ 0.03536
z = (0.6 − 0.5) / 0.03536 ≈ 2.828
p-value = P(Z > 2.828) ≈ 0.0023
모표준편차 σ를 모를 때(대부분의 실제 상황), 표본표준편차 s를 대신 사용하고 정규분포 대신 t-분포를 사용합니다. 자유도 df = n − 1.
손계산: SE = 6/√15 ≈ 1.549, 오차범위 = 2.145×1.549 ≈ 3.32
손계산: t = (82−80)/1.549 ≈ 1.291, df = 14
p-value = P(T > 1.291) ≈ 0.109
범주형 자료의 관측도수가 기대도수와 얼마나 다른지를 검정합니다.
4개 색상 사탕이 "균등하게" 나온다는 주장 (n=100, 각 기대값 25)
손계산: (30−25)²/25 + (20−25)²/25 + 0 + 0 = 1 + 1 + 0 + 0 = 2
df = 4 − 1 = 3, p-value = P(χ² > 2, df=3) ≈ 0.572
두 양적변수 사이에 진짜 선형관계(기울기 ≠ 0)가 있는지 검정합니다.
손계산 결과: 기울기 b₁ = 1.5, SE_b₁ ≈ 0.379
t = 1.5 / 0.379 ≈ 3.96, df = 5−2 = 3
p-value(양측) ≈ 0.028
가설검정에서 가장 헷갈리는 6가지 용어를 한 표로 정리했습니다. 시험에서 가장 많이 틀리는 부분입니다.
| 용어 | 의미 | 한 줄 예시 |
|---|---|---|
| p-value | H₀가 참이라고 가정할 때, 지금 얻은 결과(또는 더 극단적인 결과)가 나올 확률 | p = 0.0023 → "H₀가 맞다면 이런 데이터는 매우 드물다" |
| α (유의수준) | 내가 미리 정해둔 기준선. p-value가 α보다 작으면 H₀ 기각 | 보통 α = 0.05로 설정 (연구자가 검정 전에 결정) |
| β | H₀가 거짓인데도 기각하지 못할 확률 (Type II 오류의 확률) | β가 크면 검정력(1−β)이 낮다는 뜻 |
| Type I 오류 | H₀가 참인데 잘못 기각함. 이 오류가 날 확률 = α | 실제로 효과가 없는데 "효과가 있다"고 결론 냄 |
| Type II 오류 | H₀가 거짓인데 기각하지 못함. 이 오류가 날 확률 = β | 실제로 효과가 있는데 "증거 부족"이라고 결론 냄 |
| 검정력 (Power) | H₀가 거짓일 때 올바르게 기각할 확률 = 1 − β | 표본크기 n이 커지면 검정력도 커진다 |
판단 규칙: p-value < α → H₀ 기각 (통계적으로 유의함) / p-value ≥ α → H₀ 기각 실패 (증거 불충분, H₀가 참이라고 "증명"된 것은 아님)
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