AP Statistics 만점 워크북 — 개념 · 계산

01

정규분포 & Z-score

Unit 1.9 / 5.2 — 데이터가 정규분포를 따를 때, 특정 값의 위치를 표준화해서 확률로 바꾸는 법.

핵심 공식 개념

z = (x − μ) / σ

z는 "평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는가"를 나타내. z를 알면 표준정규표(또는 계산기)로 누적확률을 바로 구할 수 있어.

단순 예제로 계산해보기 예제

문제 상황

한 학교 수학 시험 점수는 평균 μ = 70, 표준편차 σ = 10 인 정규분포를 따른다.
학생 A의 점수는 85점이다. A보다 낮은 점수를 받은 학생의 비율은?

z 값 계산: z = (85 − 70) / 10 = 1.5
표준정규표에서 z = 1.50 → 누적확률 ≈ 0.9332
결론: 약 93.3%의 학생이 A보다 낮은 점수를 받았다.

normalcdf 사용법

2nd → VARS (DISTR) 2 : normalcdf( lower: -1E99 upper: 85 μ: 70 σ: 10 ) ENTER → 0.9331927987

💡 "−무한대"는 계산기에서 -1E99로 입력해 (2nd → , 아니고 (-) 버튼 → 1 → EE(2nd,콤마) → 99).

거꾸로 풀기: 확률 → 점수 역산

문제 상황

상위 10%에 들려면 몇 점 이상이어야 할까? (μ=70, σ=10)

상위 10% = 누적확률 하위 90% 지점 → invNorm(0.90)
표에서 누적확률 0.90에 해당하는 z ≈ 1.28
x = μ + zσ = 70 + 1.28(10) = 82.8점

invNorm 사용법

2nd → VARS (DISTR) 3 : invNorm( area: 0.90 μ: 70 σ: 10 ) ENTER → 82.815...점

02

이항분포 (Binomial Distribution)

Unit 4.10–4.11 — "성공/실패" 두 가지 결과만 있는 독립 시행을 n번 반복할 때.

조건 & 공식 개념

조건(BINS): Binary · Independent · Number fixed(n) · Same p P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1−p)^(n−k) 평균 μ = np, 표준편차 σ = √(np(1−p))

단순 예제 예제

문제 상황

객관식 5문제, 문제마다 정답 확률 p = 0.4 (n=5). 정확히 2문제를 맞힐 확률은?

C(5,2) = 10
P(X=2) = 10 × (0.4)² × (0.6)³ = 10 × 0.16 × 0.216 = 0.3456
평균: μ = np = 5(0.4) = 2문제 / σ = √(5×0.4×0.6) = √1.2 ≈ 1.095

binompdf (정확히 k개)

2nd → VARS (DISTR) A : binompdf( n: 5, p: 0.4, x value: 2 ) ENTER → 0.3456

binomcdf (k개 "이하")

2nd → VARS (DISTR) B : binomcdf( n: 5, p: 0.4, x value: 2 ) ENTER → 0.6826 (0,1,2개 맞힐 확률 합)

💡 "3개 이상"을 구하려면 1 − binomcdf(n,p,2)를 쓰면 돼 (여사건).

03

표본분포 & 중심극한정리(CLT)

Unit 5.3, 5.5, 5.7 — 표본을 반복해서 뽑으면 표본평균/표본비율은 "자기만의 분포"를 가진다.

표본비율 p̂의 분포 개념

평균: μ(p̂) = p 표준편차: σ(p̂) = √( p(1−p) / n ) 조건: np ≥ 10, n(1−p) ≥ 10 (정규근사 가능)

단순 예제

진짜 비율 p = 0.5 인 동전을 n = 100번 던진다.
σ(p̂) = √(0.5×0.5/100) = √0.0025 = 0.05 → p̂은 대략 0.50 근처에서 ±0.05 정도로 흩어진다.

표본평균 x̄의 분포 개념

평균: μ(x̄) = μ 표준편차: σ(x̄) = σ / √n (표준오차, SE)

단순 예제

모집단 σ = 20, 표본크기 n = 25 → SE = 20/√25 = 20/5 = 4. n이 커질수록 SE는 작아진다(√n에 반비례).

04

모비율 신뢰구간 (1-PropZInt)

Unit 6.2 — 표본비율로 모비율 p의 범위를 추정.

공식 개념

p̂ ± z* · √( p̂(1−p̂) / n ) 조건: 무작위 표본, np̂≥10, n(1−p̂)≥10, 모집단이 표본의 10배 이상(10% 조건)

단순 예제 예제

문제 상황

학생 n = 50명 중 30명이 "온라인 수업이 더 좋다"고 답했다. 95% 신뢰구간을 구하라.

p̂ = 30/50 = 0.6
SE = √(0.6×0.4/50) = √0.0048 ≈ 0.0693
z* (95%) = 1.96 → ME = 1.96 × 0.0693 ≈ 0.1358
신뢰구간: 0.6 ± 0.136 → (0.464, 0.736)

1-PropZInt 사용법

STAT → TESTS → A : 1-PropZInt x: 30 n: 50 C-Level: 0.95 Calculate → (.46425, .73575) p̂ = 0.6

해석 문장(암기!): "우리는 95% 신뢰수준에서, 모비율이 0.464와 0.736 사이에 있다고 확신한다."

05

모비율 가설검정 (1-PropZTest)

Unit 6.4–6.7 — p-value, 유의수준 α, Type I/II 오류의 첫 등장.

절차 & 공식 개념

H0: p = p0 vs Ha: p ≠ p0 (또는 <, >) 검정통계량: z = (p̂ − p0) / √( p0(1−p0)/n ) p-value: z를 이용해 구한 극단적 결과가 나올 확률 결론규칙: p-value < α → H0 기각 (통계적으로 유의)

단순 예제 예제

문제 상황

동전이 공평(p0 = 0.5)한지 검정. n = 100번 던져서 앞면 60번 나옴. α = 0.05.
H0: p = 0.5, Ha: p ≠ 0.5

p̂ = 60/100 = 0.6
z = (0.6 − 0.5) / √(0.5×0.5/100) = 0.1 / 0.05 = 2.0
양측검정 p-value = 2 × P(Z > 2.0) = 2 × 0.0228 = 0.0456
0.0456 < 0.05(α) → H0 기각. 동전이 공평하지 않다는 유의한 증거가 있다.

1-PropZTest 사용법

STAT → TESTS → 5 : 1-PropZTest p0: 0.5 x: 60 n: 100 prop ≠ p0 (양측) Calculate → z = 2.0 p = 0.0455...

Type I / Type II 오류란? 필수 개념

Type I Error: H0가 참인데 기각함 → 확률 = α Type II Error: H0가 거짓인데 채택함(기각 못함) → 확률 = β 검정력(Power) = 1 − β = H0가 거짓일 때 올바르게 기각할 확률

암기 팁: "α는 내가 미리 정하는 숫자(보통 0.05)", "β는 표본크기 n을 늘리면 줄어든다", "n을 늘리면 α는 그대로, β는 감소 → Power 증가".

06

모평균 신뢰구간 (TInterval)

Unit 7.2 — σ(모표준편차)를 모를 때는 z 대신 t분포를 쓴다.

공식 개념

x̄ ± t* · (s / √n), df = n − 1 조건: 무작위표본, 정규성(n<30이면 그래프로 확인), 10% 조건

단순 예제 예제

문제 상황 — 데이터 6개

한 카페의 하루 음료 준비 시간(분): 4, 5, 5, 6, 7, 9 (n = 6)

x̄ = (4+5+5+6+7+9)/6 = 36/6 = 6
편차제곱합 = (−2)²+(−1)²+(−1)²+0²+1²+3² = 4+1+1+0+1+9 = 16
s = √(16/(6−1)) = √3.2 ≈ 1.789
df = 5, 90% 신뢰수준 → t* ≈ 2.015
ME = 2.015 × (1.789/√6) ≈ 2.015 × 0.730 ≈ 1.471
신뢰구간: 6 ± 1.47 → (4.53, 7.47)

1️⃣ 데이터 입력

STAT → 1:Edit L1에 4,5,5,6,7,9 입력

2️⃣ TInterval 사용법

STAT → TESTS → 8 : TInterval Inpt: Data List: L1 Freq: 1 C-Level: 0.90 Calculate → (4.5286, 7.4714) x̄=6, Sx≈1.789, n=6

07

모평균 가설검정 (T-Test)

Unit 7.4–7.5 — 표본으로 모평균이 특정 값과 다른지 검정.

공식 개념

검정통계량: t = (x̄ − μ0) / (s/√n), df = n−1

단순 예제 예제

문제 상황 — 데이터 5개

제조사는 배터리 수명이 평균 10시간(μ0=10)이라 주장. 실제 표본 5개: 9, 9, 10, 11, 11
H0: μ = 10, Ha: μ ≠ 10, α = 0.05

x̄ = (9+9+10+11+11)/5 = 50/5 = 10
편차제곱합 = 1+1+0+1+1 = 4 → s = √(4/4) = 1
t = (10 − 10)/(1/√5) = 0
t = 0 → p-value = 1 (극단적으로 클 수 없음) → H0 기각 못함. 배터리 수명이 10시간과 다르다는 증거 없음.

T-Test 사용법

STAT → TESTS → 2 : T-Test Inpt: Data μ0: 10 List: L1 (9,9,10,11,11 입력) μ ≠ μ0 Calculate → t = 0 p = 1 x̄=10, Sx=1, n=5

08

카이제곱 검정 (Chi-Square)

Unit 8.2–8.6 — 범주형 데이터의 "관찰값 vs 기대값" 차이를 검정.

공식 개념

χ² = Σ ( (관찰값 − 기대값)² / 기대값 ) 적합도(GOF): df = 범주수 − 1 독립성/동질성: df = (행−1)(열−1)

적합도 검정 단순 예제 예제 A

문제 상황

주사위가 공평한지 검정하려고 60번 던짐. (기대값은 각 눈당 60/6=10)

눈	1	2	3	4	5	6
관찰값	8	9	12	11	10	10
기대값	10	10	10	10	10	10

χ² = (8−10)²/10 + (9−10)²/10 + (12−10)²/10 + (11−10)²/10 + (10−10)²/10 + (10−10)²/10
= 0.4 + 0.1 + 0.4 + 0.1 + 0 + 0 = χ² = 1.0
df = 6 − 1 = 5 → p-value(χ²=1.0, df=5) ≈ 0.963 (매우 큼)
p-value > α → H0 기각 못함. 주사위가 공평하지 않다는 증거 없음.

GOF-Test 사용법

STAT → EDIT: L1=관찰값, L2=기대값 STAT → TESTS → D : χ²GOF-Test Observed: L1 Expected: L2 df: 5 Calculate → χ²=1.0, p=0.9626

독립성 검정 단순 예제 예제 B

문제 상황 — 2×2 표

"성별"과 "동아리 가입여부"가 독립인지 검정 (n=40)

	가입 O	가입 X
남	12	8
여	8	12

행/열 합: 남20, 여20 / 가입O 20, 가입X 20 → 전체 40
기대값(모두 동일) = (행합×열합)/전체 = (20×20)/40 = 10 (4칸 모두 10)
χ² = (12−10)²/10 ×4칸 = 4×(4/10) = 1.6
df = (2−1)(2−1) = 1 → p-value(χ²=1.6, df=1) ≈ 0.206
p > α(0.05) → 독립이 아니라는 증거 부족 (성별과 동아리 가입은 독립으로 볼 수 있음)

2-way Test 사용법

2nd → x⁻¹(MATRX) → EDIT → [A] 2×2 행렬: 12,8 / 8,12 입력 STAT → TESTS → C : χ²-Test Observed: [A] Expected: [B] Calculate → χ²=1.6, p=0.2059

★

α · β · p-value · Type I/II 오류 한눈에 비교

시험에서 가장 헷갈리는 5가지 개념을 표로 완전히 구분하자.

용어	정의	누가/언제 정하나	표본크기 n의 영향	암기 문장
α (유의수준)	H0가 참인데도 기각할 확률의 허용 한도. 검정 전에 미리 정함(보통 0.05, 0.01, 0.10)	연구자가 검정을 시작하기 전에 직접 설정	n과 무관 — 내가 정하는 숫자라 안 변함	"내가 감수할 최대 실수 확률"
p-value	H0가 참이라고 가정할 때, 실제 관찰한 결과(혹은 더 극단적인 결과)가 나올 확률	표본 데이터로 계산해서 나옴 (검정 후 결과)	다른 조건이 같다면 n이 클수록 같은 효과크기에서도 p-value는 작아지는 경향	"이 결과, 우연이라기엔 얼마나 이상한가?"
Type I Error	H0가 참인데 기각(잘못된 거짓 경보) — 확률 = α	α를 낮추면 Type I 오류 확률도 낮아짐	n과 무관	"무죄인데 유죄 판결"
Type II Error (β)	H0가 거짓인데 기각하지 못함(놓침) — 확률 = β	α, 효과크기, n에 의해 간접적으로 결정 (직접 정하지 않음)	n이 커지면 β는 감소 (검정력↑)	"유죄인데 무죄 판결(놓침)"
검정력 (Power = 1−β)	H0가 거짓일 때 올바르게 기각할 확률	α↑, 효과크기↑, n↑ 이면 Power도 ↑	n이 커지면 Power 증가	"진짜 차이를 잡아낼 능력"

결론 규칙 한 줄 정리 필수 암기

p-value < α → H0 기각 (Reject H0, 결과가 통계적으로 유의함) p-value ≥ α → H0 기각 못함 (Fail to reject H0, 증거 불충분)

Q

실전 객관식 10문제

각 문제 아래 "정답 보기"를 눌러 풀이를 확인해. 계산기 없이 먼저 풀어보고 확인하는 걸 추천!

Q1 · Unit 1

한 시험 점수는 μ=70, σ=10인 정규분포를 따른다. 점수 60점의 z-score는?

A −0.5

B −1.0

C 1.0

D −10

정답 보기

정답: B. z=(60−70)/10 = −1.0

Q2 · Unit 2

n=5, p=0.4인 이항분포에서 X=2일 확률을 구하는 올바른 계산기 명령은?

A binomcdf(5,0.4,2)

B binompdf(5,0.4,2)

C normalcdf(5,0.4,2)

D invNorm(5,0.4,2)

정답 보기

정답: B. "정확히 k개"는 pdf(확률질량함수), "k개 이하 누적"은 cdf를 사용.

Q3 · Unit 3

모표준편차 σ=20인 모집단에서 표본크기를 n=25에서 n=100으로 늘리면 표준오차(SE)는 어떻게 변하나?

A 4배로 커진다

B 그대로다

C 절반(1/2)이 된다

D 4배 작아진다

정답 보기

정답: C. SE=σ/√n. n이 4배가 되면 √n은 2배가 되므로 SE는 1/2로 줄어든다. (20/5=4 → 20/10=2)

Q4 · Unit 4

n=50, x=30인 표본에서 1-PropZInt를 실행하면 계산기에 입력하는 p̂은 자동으로 몇으로 계산되나?

A 0.5

B 0.6

C 30

D 50

정답 보기

정답: B. p̂ = x/n = 30/50 = 0.6

Q5 · Unit 5

1-PropZTest에서 p-value = 0.0456, α = 0.05일 때 올바른 결론은?

A H0를 기각한다 (유의함)

B H0를 기각하지 못한다

C Ha를 기각한다

D 표본 크기가 부족하다

정답 보기

정답: A. p-value(0.0456) < α(0.05) 이므로 H0를 기각한다.

Q6 · 종합

실제로는 신약이 효과가 있는데(H0: 효과없음이 거짓), 검정 결과 "효과 없다"고 결론 내렸다. 이 오류의 이름은?

A Type I Error

B Type II Error

C 표본편향

D 카이제곱 오류

정답 보기

정답: B. H0(효과없음)가 거짓인데 기각하지 못했으므로 Type II Error(β).

Q7 · Unit 6

표본크기 n을 늘렸을 때 (다른 조건 동일) 일어나는 일로 옳은 것은?

A α가 자동으로 커진다

B β가 감소하고 검정력이 증가한다

C p-value가 항상 커진다

D 아무 변화 없다

정답 보기

정답: B. n↑ → SE↓ → 같은 효과크기를 더 잘 감지 → β↓, Power(=1−β)↑. α는 연구자가 정한 값이라 바뀌지 않는다.

Q8 · Unit 7

모표준편차 σ를 모르고, 표본 데이터로 모평균을 추정할 때 사용하는 분포는?

A 표준정규분포 (z)

B 이항분포

C t분포 (df = n−1)

D 카이제곱분포

정답 보기

정답: C. σ를 몰라 s로 추정하면 t분포를 사용, 자유도는 n−1.

Q9 · Unit 8

2×3 분할표에서 카이제곱 독립성 검정의 자유도(df)는?

A 2

B 3

C 5

D 6

정답 보기

정답: A. df=(행−1)(열−1)=(2−1)(3−1)=1×2=2

Q10 · 종합

다음 중 "p-value"에 대한 올바른 해석은?

A H0가 참일 확률이다

B H0가 참이라고 가정할 때, 관찰된 결과(또는 더 극단적)가 나올 확률이다

C 실수를 저지를 확률(α)과 항상 같다

D 표본 크기와 같다

정답 보기

정답: B. p-value는 H0가 참이라는 가정 하에서 계산되는 조건부 확률이며, H0가 참일 확률이 아니다 (AP Stat에서 가장 흔한 오개념!).

공식을 외우지 말고, 직접 계산해서 이해하자.

정규분포 & Z-score

핵심 공식 개념

단순 예제로 계산해보기 예제

거꾸로 풀기: 확률 → 점수 역산

이항분포 (Binomial Distribution)

조건 & 공식 개념

단순 예제 예제

표본분포 & 중심극한정리(CLT)

표본비율 p̂의 분포 개념

표본평균 x̄의 분포 개념

모비율 신뢰구간 (1-PropZInt)

공식 개념

단순 예제 예제

모비율 가설검정 (1-PropZTest)

절차 & 공식 개념

단순 예제 예제

Type I / Type II 오류란? 필수 개념

모평균 신뢰구간 (TInterval)

공식 개념

단순 예제 예제

모평균 가설검정 (T-Test)

공식 개념

단순 예제 예제

카이제곱 검정 (Chi-Square)

공식 개념

적합도 검정 단순 예제 예제 A

독립성 검정 단순 예제 예제 B

α · β · p-value · Type I/II 오류 한눈에 비교

결론 규칙 한 줄 정리 필수 암기

실전 객관식 10문제