AP Statistics 2026 FRQ · 자습 노트

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염소 두 품종의 몸무게 비교

UNIT 1 · 다섯수치요약 / 상자그림 / 줄기잎그림

한 농장주가 두 품종(H, J)의 염소 몸무게를 비교하려고 각 품종에서 독립적으로 14마리씩 무작위 표본을 뽑았다. Breed H 몸무게(파운드): 48, 48, 55, 56, 56, 57, 62, 66, 72, 72, 72, 73, 80, 80 (n=14)

A Breed H 표본의 다섯수치요약(최솟값, Q1, 중앙값, Q3, 최댓값)을 구하시오.

CHECK

순서대로 나열(이미 정렬됨), n=14이므로 중앙값은 7번째·8번째 값의 평균.

중앙값 = (62 + 66) / 2 = 64

하위 절반(1~7번째): 48,48,55,56,56,57,62 → 그 중앙값(4번째 값) = Q1 = 56

상위 절반(8~14번째): 66,72,72,72,73,80,80 → 그 중앙값(4번째 값) = Q3 = 72

최솟값 = 48, Q1 = 56, 중앙값 = 64, Q3 = 72, 최댓값 = 80

Tip: 짝수 개일 때는 데이터를 정확히 반으로 나눈 뒤, 각 반쪽에서 다시 중앙값을 구하면 Q1, Q3가 됩니다.

B Breed J의 상자그림(대략 최솟값≈50, Q1≈57, 중앙값≈64, Q3≈80, 최댓값≈88)과 A에서 구한 Breed H의 다섯수치요약을 이용해 두 품종의 중심과 변동성을 문맥 속에서 비교하시오.

CHECK

중심(center): Breed H의 중앙값(64파운드)과 Breed J의 중앙값(약 64파운드)이 거의 같으므로, 두 품종의 전형적인 몸무게는 비슷하다.

변동성(variability): Breed H의 범위(80−48=32)와 IQR(72−56=16)이, Breed J의 범위(약 88−50=38)와 IQR(약 80−57=23)보다 작다. 즉 Breed J 염소들의 몸무게가 Breed H보다 더 넓게 퍼져 있다(변동성이 크다).

서술형 채점 포인트: 반드시 숫자를 이용해 비교하고, "pounds(파운드)"라는 문맥 단위를 언급해야 만점입니다. "더 크다/작다"만 쓰면 감점됩니다.

C 줄기잎그림(4|8=48파운드 형태)을 보면 Breed H 데이터에 62와 66 사이 간격(gap)과 72에서의 밀집(cluster)이 보인다. i. 다섯수치요약으로 만든 상자그림에서는 보이지 않지만 줄기잎그림에서는 보이는 분포 모양의 특징은 무엇인가? ii. 상자그림이 그 특징을 보여주지 못하는 이유를 설명하시오.

CHECK

i. 데이터 사이의 간격(gap)이나 값들이 몰려있는 군집(cluster), 즉 분포가 다봉형(여러 덩어리로 뭉쳐 있는 모양)일 수 있다는 것이 줄기잎그림에서는 드러나지만, 상자그림에서는 드러나지 않는다.

ii. 상자그림은 개별 관측값을 모두 보여주지 않고 다섯수치요약(최솟값, Q1, 중앙값, Q3, 최댓값)이라는 5개의 요약값만으로 그려지기 때문에, 그 사이에 값이 얼마나 몰려있는지 또는 비어있는지는 알 수 없다.

핵심 키워드: "상자그림은 오직 5개 요약통계량만 사용한다 → 개별 값의 위치·간격 정보 손실"

2

커피 찌꺼기와 장미 개수 실험

UNIT 4 · 실험설계 / 무작위배정 / 통계적 유의성

식물학자 Holly는 장미덤불 30그루를 온실에서 재배한다. 한 달 후 무작위로 15그루에는 매주 커피 찌꺼기 1/2컵을 흙에 넣고, 나머지 15그루에는 넣지 않는다. 3개월 후 각 장미덤불의 장미 개수를 센다.

A 다음을 각각 식별하시오. i. 처리(treatments) ii. 실험 단위(experimental units) iii. 반응변수(response variable)

CHECK

i. 처리: ① 커피 찌꺼기를 흙에 넣음, ② 커피 찌꺼기를 넣지 않음 (2가지 처리)

ii. 실험 단위: 30그루의 장미덤불(각 장미덤불 1그루)

iii. 반응변수: 3개월 후 각 장미덤불에 핀 장미의 개수

B 각 처리가 같은 개수의 실험 단위에 배정되도록, 처리를 실험 단위에 무작위로 배정하는 방법을 문맥 속에서 설명하시오.

CHECK

30그루의 장미덤불에 1번부터 30번까지 번호를 부여한다. 난수표(또는 난수 생성기)를 이용해 비복원(without replacement)으로 15개의 번호를 뽑아, 그 번호에 해당하는 장미덤불에 커피 찌꺼기 처리를 배정한다. 나머지 15그루는 자동으로 커피 찌꺼기를 넣지 않는 처리를 받는다.

채점 포인트: "번호 부여 → 난수로 15개 선택 → 비복원 추출" 세 요소가 모두 있어야 만점입니다.

C Holly의 결과가 α = 0.05 수준에서 통계적으로 유의했다고 한다. 이 문맥에서 "통계적으로 유의하다"의 의미를 설명하시오.

CHECK

만약 커피 찌꺼기 처리와 무처리 사이에 실제로는 평균 장미 개수 차이가 없다면(귀무가설이 참이라면), 무작위 배정(랜덤 배정)만으로 우연히 관측된 것만큼 크거나 더 큰 표본평균 차이가 나올 확률이 0.05보다 작다는 뜻이다. 즉, 이 차이가 우연이 아니라 커피 찌꺼기 처리 때문에 생긴 것이라는 설득력 있는 증거가 있다는 의미이다.

3

응원가 연주 시간: 정규분포 · 이항분포 · 기하분포

UNIT 5 & 6 · 정규분포 / 이항확률변수 / 기하확률변수

응원가 연주 시간은 정규분포 N(μ=109초, σ=16초)를 따르고, 각 경기의 연주는 서로 독립이다.

A 무작위로 선택된 한 번의 연주 시간이 120초보다 길 확률은? 풀이 과정을 보이시오.

CHECK

z = (120 − 109) / 16 = 11 / 16 = 0.6875

P(X > 120) = P(Z > 0.6875) = 1 − Φ(0.6875) ≈ 1 − 0.7540

P(X > 120) ≈ 0.2460

B 10번의 연주를 무작위로 뽑는다. X = 120초를 초과하는 경기 수라고 할 때, P(X ≥ 3)을 구하시오.

CHECK

X ~ Binomial(n=10, p=0.246). 여사건을 이용: P(X≥3) = 1 − P(X≤2)

P(X=0) = (0.754)^10 ≈ 0.0594 P(X=1) = C(10,1)(0.246)^1(0.754)^9 ≈ 0.1938 P(X=2) = C(10,2)(0.246)^2(0.754)^8 ≈ 0.2845

P(X≤2) ≈ 0.0594+0.1938+0.2845 = 0.5377

P(X≥3) = 1 − 0.5377 ≈ 0.4623

조건 확인: 시행 10회 독립(문제에서 명시), 각 시행 성공확률 p=0.246로 일정 → 이항분포 조건 만족.

C Ben은 모든 경기에 참석한다. Y = 120초를 넘는 연주가 처음 나올 때까지 참석하는 경기 수. i. Y의 평균을 구하시오. ii. Y의 표준편차를 구하시오.

CHECK

Y는 기하분포(Geometric)를 따른다: p = 0.246 (첫 "성공"이 나올 때까지의 시행 횟수)

i. μ_Y = 1/p = 1/0.246 ≈ 4.065 (경기)

ii. σ_Y = √[(1−p)/p²] = √(0.754/0.0605) = √12.461 ≈ 3.531 (경기)

D Part C(ii)에서 구한 표준편차를 문맥 속에서 해석하시오.

CHECK

Ben이 120초를 넘는 연주를 처음 보게 될 때까지 참석하는 경기 수는, 평균 4.065경기로부터 일반적으로(전형적으로) 약 3.531경기 정도 벗어난다(더 많거나 더 적게 걸릴 수 있다).

해석 문제는 항상 "① 무엇의 표준편차인지, ② 단위(경기 수), ③ '전형적으로 벗어난다'는 표현"을 포함해야 만점입니다.

4

비료 브랜드에 따른 오렌지 개수 비교

UNIT 6 · 두 독립표본 평균 차이 t검정

농부가 브랜드 C, 브랜드 N 비료로 각각 58그루씩 무작위 배정하여 나무당 오렌지 개수를 측정했다. Brand C: n=58, 평균 141, 표준편차 15 Brand N: n=58, 평균 148, 표준편차 19

· α = 0.05에서 두 비료 사이 평균 오렌지 개수에 차이가 있다는 설득력 있는 통계적 증거가 있는가? (가설 → 조건 → 검정통계량 → p값 → 결론 순서로)

CHECK

① 가설:

H0: μ_C = μ_N (브랜드 간 평균 오렌지 개수 차이 없음) Ha: μ_C ≠ μ_N (평균 오렌지 개수 차이 있음)

② 조건: 무작위 배정으로 두 그룹이 만들어졌고(무작위 배정→ 처리 그룹 간 독립), 각 표본 크기(58)가 충분히 커서 중심극한정리에 의해 표본평균의 분포가 근사적으로 정규분포를 따른다고 볼 수 있다.

③ 검정통계량(두 표본 t):

SE = √(15²/58 + 19²/58) = √(3.879 + 6.224) = √10.103 ≈ 3.179 t = (141 − 148) / 3.179 ≈ −2.20

④ p값: df ≈ 57(보수적으로 min(n1−1, n2−1) 사용, 또는 계산기의 Welch df 사용)에서 양측검정 p값 ≈ 0.031

⑤ 결론: p값(≈0.031) < α(0.05) 이므로 H0을 기각한다. 이 연구와 유사한 모든 나무들에서, 브랜드 C와 브랜드 N 비료를 준 나무의 평균 오렌지 개수가 다르다는 설득력 있는 통계적 증거가 있다.

채점 포인트: 결론은 반드시 (1) p값과 α 비교, (2) 기각/채택 여부, (3) 문맥(오렌지 개수, 두 브랜드) 포함 3요소가 있어야 합니다.

5

프로 선수의 연령대와 종목: 이원표 · 모자이크플롯

UNIT 3 & 8 · 결합/조건부 확률, 독립성, 카이제곱 조건

이원표 요약 — 합계: 농구 516, 미식축구 2,461, 야구 1,216 / 연령대별 합계: <25세 1,298, 25≤·<30 2,121, 30≤·<35 653, 35세≤ 121 / 전체 4,193 (미식축구 & 35세≤ 교차: 41명, 야구 & 35세≤ 교차: 61명)

A i. 무작위로 뽑은 선수가 미식축구 선수일 확률은? ii. 미식축구 선수라는 조건에서 "25≤나이<30"일 확률은?

CHECK

i. P(미식축구) = 2,461 / 4,193 ≈ 0.5869

ii. P(25≤나이<30 | 미식축구) = 1,326 / 2,461 ≈ 0.5388

B 모자이크플롯에서 각 막대 너비 b, 높이 h는 각각 확률을 나타낸다. i. b는 A(i)와 A(ii) 중 어느 확률에 대응하는가? ii. 넓이 x = b·h는 문맥상 어떤 확률을 나타내는가?

CHECK

i. b(미식축구 막대의 너비)는 A(i)에서 구한 확률, 즉 P(미식축구)에 대응한다. (h는 그 막대 내에서 특정 연령대가 차지하는 조건부 확률, 즉 A(ii)의 P(25≤나이<30 | 미식축구)에 대응)

ii. x = b × h는 "무작위로 뽑은 선수가 미식축구 선수이면서 동시에 25≤나이<30인 결합확률", 즉 P(미식축구 그리고 25≤나이<30)를 나타낸다.

C i. "야구"와 "35세≤나이" 사건은 배반사건(mutually exclusive)인가? 설명하시오. ii. "야구"와 "35세≤나이" 사건은 독립인가? 풀이 과정을 보이시오.

CHECK

i. 배반사건 아님. 야구 선수이면서 동시에 35세 이상인 선수가 61명 존재하므로(표에서 교집합 칸이 0이 아님) 두 사건은 동시에 일어날 수 있다 → 배반사건이 아니다.

ii. 독립 여부 확인:

P(야구) = 1,216/4,193 ≈ 0.2900 P(35세≤) = 121/4,193 ≈ 0.02886 P(야구)×P(35세≤) ≈ 0.2900 × 0.02886 ≈ 0.00837 P(야구 그리고 35세≤) = 61/4,193 ≈ 0.01455

0.00837 ≠ 0.01455 → 독립이 아니다

동일하게 P(35세≤ | 야구) = 61/1,216 ≈ 0.0502 ≠ P(35세≤) ≈ 0.0289 로 비교해도 같은 결론.

D 이 데이터는 전체 4,193명 프로선수 모집단 전체이다. 연령대와 종목 사이 연관성을 알아보기 위해 카이제곱 독립성 검정을 실시하는 것이 적절한가? 설명하시오.

CHECK

적절하지 않다. 카이제곱 독립성 검정을 비롯한 모든 추론 절차(inference)는 표본(sample)으로부터 모집단(population)에 대한 결론을 일반화하기 위한 것이다. 그런데 이 표는 표본이 아니라 모집단 전체(4,193명 전원)에 대한 자료이므로, 이미 모집단에 대한 정확한 값을 알고 있는 상태다. 따라서 통계적 추론(검정)이 필요하지 않으며, 카이제곱 검정을 실시하는 것은 적절하지 않다.

6

안타 수와 득점 수: 최소제곱회귀 · 신뢰구간 · 예측구간

UNIT 9 · 산점도 / 회귀선 / 신뢰구간 vs 예측구간

30개 프로야구팀의 안타 수(hits)와 득점 수(runs) 산점도가 주어짐. 회귀식: 예측 득점 = −372.2 + 0.823 × (안타 수)

A i. 산점도에서 안타 수와 득점 수의 관계를 문맥 속에서 서술하시오. ii. 회귀식을 이용해 안타 1,250개를 달성했을 때 예측 득점을 구하시오.

CHECK

i. 안타 수와 득점 수 사이에는 양(+)의, 대체로 강한 선형(linear) 관계가 있다: 안타 수가 많은 팀일수록 득점 수도 많아지는 경향이 있다. (뚜렷한 이상치는 없어 보임)

예측 득점 = −372.2 + 0.823 × 1,250 = −372.2 + 1,028.75

예측 득점 ≈ 656.55 점

B 연봉 총액 중앙값 1억 6천만 달러 기준으로 팀을 두 그룹(●=중앙값 초과, □=중앙값 미만)으로 나눈 산점도(Figure 2)가 주어짐. i. 동그라미 표시된 팀 A를 같은 연봉 그룹의 다른 팀들과 비교하시오. ii. 두 연봉 그룹 중 어느 쪽이 안타-득점 사이 선형관계가 더 강한가?

CHECK ⚠ 그래프를 직접 보고 판단해야 하는 문제

i. 팀 A는 연봉이 중앙값보다 높은(●) 팀들 중 비슷한 안타 수를 가진 다른 팀들과 비교했을 때, 득점 수가 더 많은지/적은지를 눈으로 비교해 서술해야 합니다. 예: "팀 A는 비슷한 안타 수를 가진 다른 고연봉 팀들보다 득점 수가 더 많다(또는 적다) → 팀 A는 그 그룹의 전반적 추세보다 위(또는 아래)에 위치한다."

ii. 각 그룹(●, □)에서 점들이 직선 주위에 얼마나 가깝게 모여 있는지를 비교합니다. 점들이 직선에 더 가깝게 모여 있을수록 선형관계가 더 강함(stronger), 흩어져 있을수록 더 약함(weaker)입니다.

이 두 문항은 실제 인쇄된 시험지의 산점도를 직접 보면서 점들의 상대적 위치와 흩어진 정도를 비교해야 정확히 답할 수 있습니다. 본인의 시험지를 옆에 두고 위 기준(추세보다 위/아래, 직선 주변 밀집도)으로 스스로 채점해 보세요.

C Point Estimate ± t*(표준오차) 공식을 이용. i. 95% 신뢰수준에서 사용할 임계값 t*는? (소수 둘째 자리까지) ii. 평균 득점에 대한 95% 신뢰구간 (SE = 17.48)을 구하시오. iii. 개별 팀 득점에 대한 95% 예측구간 (SE = 56.78)을 구하시오.

CHECK

df = n − 2 = 30 − 2 = 28

i. df=28, 95% 신뢰수준 → t* = 2.05 (t표에서 df=28, 양측 0.05 → 약 2.048 ≈ 2.05)

ii. 신뢰구간(CI):

656.55 ± 2.048 × 17.48 = 656.55 ± 35.80

95% CI ≈ (620.75, 692.35) 점

iii. 예측구간(PI):

656.55 ± 2.048 × 56.78 = 656.55 ± 116.28

95% PI ≈ (540.27, 772.83) 점

D i. 표본평균들의 분포가 개별 관측값들의 분포보다 변동성이 더 클까, 더 작을까? 설명하시오. ii. 주어진 두 표준오차 공식을 근거로, 예측구간이 신뢰구간보다 더 넓은 이유를 설명하시오.

CHECK

i. 표본평균들의 분포는 개별 관측값들의 분포보다 변동성이 더 작다(less variability). 여러 개별값을 평균 내는 과정에서 극단값들이 서로 상쇄되기 때문에, 평균은 개별 관측값 하나하나보다 덜 흩어진다.

ii. 신뢰구간의 표준오차 공식에는 s²[1/n + (x−x̄)²/Σ(xᵢ−x̄)²] 항만 있지만, 예측구간의 공식에는 여기에 개별 관측값 하나의 변동성을 나타내는 항 s²이 추가로 더해진다. 즉 예측구간은 (평균의 불확실성) + (개별 관측값 자체가 갖는 추가적인 변동성)을 모두 반영해야 하므로, 표준오차가 더 커지고 그 결과 예측구간이 신뢰구간보다 항상 더 넓다.