AP Calculus BC · 2024 · Section II

Free-Response Questions
Complete Solution Guide

기초 개념 → 핵심 전략 → 모범답안 (영어) · TI-Nspire CX II 계산기 가이드 포함

🎯 목표: 만점 (9/9 per question)
1

Coffee Temperature — Table & Accumulation

📊 Calculator Required Topics: Rate of change · Riemann Sum · FTC · Concavity
(a) Derivative Approx
(b) Left Riemann Sum
(c) FTC Net Change
(d) Concavity
Part (a)
Approximate C′(5) using the average rate of change over [3, 7]. Include units.
기초 개념

미분가능한 함수의 특정 점에서의 순간변화율(derivative)을 구할 수 없을 때, 평균변화율(average rate of change)로 근사한다.

C′(5) ≈ [C(7) − C(3)] / (7 − 3)
⭐ 핵심 포인트
반드시 단위(units) 명시! 온도 변화 / 시간 = °C per minute
"Show the work" → 분자·분모 숫자 모두 써야 점수 받음
⚠️ 함정
t = 5는 표에 없다! 5를 포함하는 구간 [3, 7]을 쓴다. t = 3과 t = 7 데이터 사용.
✦ Model Answer

Using the average rate of change of C over the interval 3 ≤ t ≤ 7:

C′(5) ≈ [C(7) − C(3)] / (7 − 3) = (69 − 85) / (7 − 3) = −16/4 = −4

C′(5) ≈ −4 degrees Celsius per minute

Part (b)
Left Riemann Sum approximation of ∫₀¹² C(t) dt, and interpret (1/12)∫₀¹² C(t) dt.
기초 개념

Left Riemann Sum: 각 소구간의 왼쪽 끝값 × 소구간 폭의 합.

소구간: [0,3], [3,7], [7,12] → 왼쪽 끝: t = 0, 3, 7

LRS = C(0)·(3−0) + C(3)·(7−3) + C(7)·(12−7)
⭐ 핵심 포인트 — 해석
(1/12)∫₀¹² C(t) dt는 0분부터 12분 사이의 평균 온도(average temperature)이다.
단위: degrees Celsius. "Average value of C" 라고 명확히 쓸 것!
⚠️ 함정
Left Riemann Sum은 왼쪽 끝. 오른쪽 끝(t = 3, 7, 12)와 혼동 금지!
구간 폭이 각각 다름: 3, 4, 5 (균등하지 않음!)
✦ Model Answer
∫₀¹² C(t) dt ≈ C(0)·(3) + C(3)·(4) + C(7)·(5) = 100(3) + 85(4) + 69(5) = 300 + 340 + 345 = 985

≈ 985 degree-minutes

Interpretation: (1/12)∫₀¹² C(t) dt represents the average temperature of the coffee over the time interval 0 ≤ t ≤ 12 minutes, measured in degrees Celsius.

Part (c)
Find C(20) given C′(t) = −24.55·e^(−0.01t) for 12 ≤ t ≤ 20, with C(12) = 55.
기초 개념 — FTC Net Change Theorem
C(20) = C(12) + ∫₁₂²⁰ C′(t) dt

C(12) = 55 (표에서 주어진 값), 그리고 주어진 C′(t)를 12~20 구간에서 적분.

⭐ 핵심 포인트
"Show the setup" → 적분 식을 반드시 먼저 써야 함!
계산기로 수치 적분 후 C(12) = 55에 더하기.
TI-Nspire CX II 사용법
1. Calculator 앱 열기
2. menu → 4: Calculus → 3: Integral (또는 직접 입력)
3. 입력: ∫(−24.55·e^(−0.01·t), t, 12, 20)
   또는 탬플릿 사용: 템플릿 버튼(trig/모음) → 적분 기호 선택
4. Enter → 결과값 확인 (≈ −18.757)
5. 55 + (결과값) 계산
✦ Model Answer
C(20) = C(12) + ∫₁₂²⁰ C′(t) dt = 55 + ∫₁₂²⁰ (−24.55·e^(−0.01t)) dt ≈ 55 + (−18.757) ≈ 36.243

C(20) ≈ 36.243 degrees Celsius

Part (d)
Given C″(t) = 0.2455·e^(−0.01t)·(100 − t²), is the temperature changing at a decreasing or increasing rate for 12 < t < 20? Justify.
기초 개념

"Rate of change" = C′(t). 이 값이 increasing/decreasing은 C″(t)의 부호로 결정.

  • C″(t) > 0 → C′(t) increasing (변화율이 증가)
  • C″(t) < 0 → C′(t) decreasing (변화율이 감소)
⭐ 핵심 포인트
각 인수의 부호를 분석!
· e^(−0.01t): 항상 양수 (+)
· 0.2455: 양수 (+)
· (100 − t²): 12 < t < 20일 때 → 100 − 144 = −44 < 0 → 음수!
∴ C″(t) < 0 for 12 < t < 20
⚠️ 함정
C′(t)가 음수(온도 하강)인 것과, C′(t)가 감소(변화율 자체가 줄어드는 것)는 다른 개념!
물음은 "rate of change (C′)가 decreasing/increasing"을 물음.
✦ Model Answer

For 12 < t < 20:

  • e^(−0.01t) > 0 and 0.2455 > 0
  • (100 − t²): Since t > 10, t² > 100, so (100 − t²) < 0
Therefore C″(t) = 0.2455·e^(−0.01t)·(100 − t²) < 0 for 12 < t < 20

Since C″(t) < 0, C′(t) is decreasing on this interval. Therefore, the temperature of the coffee is changing at a decreasing rate for 12 < t < 20.

2

Particle Motion in the xy-Plane

📊 Calculator Required Topics: Speed · Distance · Parametric · Toward axis
주어진 정보 정리

x′(t) = 8t − t², y′(t) = −t + √(t^1.2 + 20)

At t = 2: position is (3, 6)

Part (a)
Find the speed of the particle at t = 2.
기초 개념
speed = √[(x′(t))² + (y′(t))²]

속력(speed)은 벡터의 크기(magnitude)이다. 음수가 될 수 없음.

⭐ 핵심 포인트
속도(velocity)≠속력(speed). Speed는 항상 양수!
단위: cm/s (centimeters per second)
TI-Nspire CX II
1. t=2 대입: 8(2) − (2)² = 12 → x′(2) = 12
2. −2 + √(2^1.2 + 20) 계산
   입력: −2 + √(2^1.2 + 20) → ≈ 2.6674
3. Speed: √(12² + 2.6674²) → Enter
✦ Model Answer
x′(2) = 8(2) − (2)² = 16 − 4 = 12 y′(2) = −2 + √(2^1.2 + 20) ≈ −2 + 4.667 ≈ 2.667 speed = √[(x′(2))² + (y′(2))²] = √[12² + 2.667²] = √[144 + 7.112]

speed ≈ √151.112 ≈ 12.293 centimeters per second

Part (b)
Find total distance traveled for 0 ≤ t ≤ 2.
기초 개념 — Arc Length Formula
Total distance = ∫₀² √[(x′(t))² + (y′(t))²] dt

이동 거리(distance)는 속력을 시간에 대해 적분. 변위(displacement)와 다름!

⭐ 핵심 포인트
distance ≠ displacement!
방향이 바뀌어도 총 이동 거리는 절댓값의 적분 (속력의 적분).
계산기 수치적분 사용. 반드시 setup(식) 먼저 쓸 것!
TI-Nspire CX II
입력: ∫(√((8t−t²)² + (−t + √(t^1.2 + 20))²), t, 0, 2)
또는 menu → Calculus → Integral 사용
결과 ≈ 15.638
✦ Model Answer
Total distance = ∫₀² √[(x′(t))² + (y′(t))²] dt = ∫₀² √[(8t − t²)² + (−t + √(t^1.2 + 20))²] dt

≈ 15.638 centimeters

Part (c)
Find the y-coordinate of the particle at t = 0.
기초 개념 — FTC 역방향
y(0) = y(2) − ∫₀² y′(t) dt

t = 2에서의 y값(= 6)을 알고 있으므로, 역으로 t = 0의 y값을 구한다.

⭐ 핵심 포인트
방향 주의! t=2 → t=0 방향이므로:
y(0) = y(2) − ∫₀² y′(t) dt
또는 y(2) = y(0) + ∫₀² y′(t) dt를 y(0)에 대해 풀기.
TI-Nspire CX II
∫(−t + √(t^1.2 + 20), t, 0, 2) 계산 → ≈ 7.816
y(0) = 6 − 7.816 ≈ −1.816
✦ Model Answer
y(2) = y(0) + ∫₀² y′(t) dt 6 = y(0) + ∫₀² (−t + √(t^1.2 + 20)) dt y(0) = 6 − ∫₀² (−t + √(t^1.2 + 20)) dt ≈ 6 − 7.816

y(0) ≈ −1.816 centimeters

Part (d)
For 2 ≤ t ≤ 8 (particle in first quadrant), find all t when the particle moves toward the x-axis.
기초 개념

x축 방향으로 이동한다 = y좌표가 감소한다.

First quadrant에서 y > 0이므로, y축 방향 운동은 y′(t)의 부호로 결정.

  • y′(t) < 0 → y 감소 → x축에 가까워짐 → toward x-axis
  • y′(t) > 0 → y 증가 → x축에서 멀어짐
⭐ 핵심 포인트
y′(t) = 0이 되는 t 찾기!
y′(t) = −t + √(t^1.2 + 20) = 0 → √(t^1.2 + 20) = t → 계산기로 해결
First quadrant 조건(y > 0)은 문제에서 이미 보장해줌.
TI-Nspire CX II — y′(t) = 0 풀기
방법 1: Graphs 앱 → f1(t) = −t + √(t^1.2 + 20) 입력 → zero 찾기
방법 2: Calculator → solve(−t + √(t^1.2 + 20) = 0, t)
   결과: t ≈ 5.118
t = 5.118 전후의 y′ 부호 확인: · t = 3: y′(3) = −3 + √(3^1.2 + 20) ≈ positive
· t = 7: y′(7) = −7 + √(7^1.2 + 20) ≈ negative
✦ Model Answer

The particle moves toward the x-axis when y′(t) < 0 (since y > 0 in the first quadrant).

y′(t) = −t + √(t^1.2 + 20) = 0 → t ≈ 5.118

For 2 ≤ t < 5.118: y′(t) > 0 (moving away from x-axis)
For 5.118 < t ≤ 8: y′(t) < 0 (moving toward x-axis)

The particle is moving toward the x-axis for 5.118 < t ≤ 8.

Reason: y′(t) < 0 on this interval, meaning the y-coordinate is decreasing, so the particle moves closer to the x-axis.

3

Seawater Depth — Differential Equation

✏️ No Calculator Topics: Slope field · Critical points · Separation of variables
주어진 정보
dH/dt = (1/2)(H − 1)cos(t/2),   H(0) = 4
Part (a)
Sketch the solution curve y = H(t) through (0, 4) on the slope field.
기초 개념

기울기장(slope field): 각 점 (t, H)에서의 기울기 = dH/dt 값.

Solution curve는 기울기장의 방향을 따라 흐르는 곡선.

⭐ 핵심 포인트 — 그릴 때 주의사항
· H(0) = 4 → 점 (0, 4)에서 시작
· dH/dt at (0,4): (1/2)(4−1)cos(0) = (3/2)(1) = 1.5 → 양수 기울기로 시작
· cos(t/2) = 0 at t = π ≈ 3.14 → 이 근처에서 기울기 0, 극값
· t > π: cos(t/2) < 0, H > 1 → dH/dt < 0 → 감소
✦ Model Answer Guidance

Begin at (0, 4) with positive slope (≈ 1.5). The curve increases, reaches a maximum near t = π, then decreases, always following the slope field direction. The curve should remain above H = 1 for 0 < t < 5.

Part (b)
Find the critical point of H for 0 < t < 5, and classify it.
기초 개념

Critical point: dH/dt = 0

(1/2)(H − 1)cos(t/2) = 0

H(t) > 1이 주어졌으므로, (H − 1) ≠ 0 → 따라서 cos(t/2) = 0

t/2 = π/2 → t = π
⭐ 핵심 포인트 — 1차 미분 부호 변화로 분류
· t < π: cos(t/2) > 0, H > 1 → dH/dt > 0 (increasing)
· t > π (within 0~5): cos(t/2) < 0, H > 1 → dH/dt < 0 (decreasing)
→ sign changes from + to − → Relative MAXIMUM!
✦ Model Answer

Setting dH/dt = 0: Since H(t) > 1 for 0 < t < 5, we have (H − 1) ≠ 0, so:

cos(t/2) = 0 → t/2 = π/2 → t = π

Sign analysis of dH/dt:

  • For 0 < t < π: cos(t/2) > 0 and H − 1 > 0, so dH/dt > 0
  • For π < t < 5: cos(t/2) < 0 and H − 1 > 0, so dH/dt < 0

H has a relative maximum at t = π, because dH/dt changes from positive to negative.

Part (c)
Use separation of variables to find the particular solution H(t).
기초 개념 — 변수분리법
H 관련 항을 한쪽으로, t 관련 항을 반대쪽으로 이동
양변 적분
초기조건 H(0) = 4 대입 → 적분상수 결정
H에 대해 풀기 (explicit form)
⭐ 핵심 포인트
· 절댓값 처리! ln|H − 1| 적분 시 |H − 1| 필요
· H(0) = 4 > 1 이므로 H − 1 > 0 → |H − 1| = H − 1
· 우변 적분: ∫cos(t/2)·(1/2)dt → 치환 또는 공식 사용
∫(1/2)cos(t/2) dt = sin(t/2) + C
⚠️ 함정
(1/2)∫cos(t/2)dt 할 때 체인룰 역: ∫cos(t/2)dt = 2sin(t/2) + C
전체 우변: (1/2)·2sin(t/2) = sin(t/2)
✦ Model Answer
dH/(H − 1) = (1/2)cos(t/2) dt ∫ dH/(H − 1) = ∫ (1/2)cos(t/2) dt ln|H − 1| = sin(t/2) + C

Apply H(0) = 4:

ln|4 − 1| = sin(0) + C → ln 3 = 0 + C → C = ln 3 ln(H − 1) = sin(t/2) + ln 3 H − 1 = e^(sin(t/2) + ln 3) = 3e^(sin(t/2))

H(t) = 1 + 3e^(sin(t/2))

4

Graph of f — Accumulation Function g and h

✏️ No Calculator Topics: FTC · Critical points · Derivatives of integrals
주어진 정보 정리

f is differentiable, defined on [−6, 7]. Region R (second quadrant, bounded by f, x=−6, x-axis, y-axis) has area = 12.

f has horizontal tangent at x = −2. f is linear for 0 ≤ x ≤ 7.

From graph: f(0) = 0, f(4) = 3 (peak-ish region), f(6) = −1 (linear part), (−6, 0.5) is on graph.

g(x) = ∫₀ˣ f(t) dt

Part (a)
Find g(−6), g(4), and g(6).
기초 개념
g(x) = ∫₀ˣ f(t) dt

g(−6) = ∫₀^{−6} f(t) dt = −∫_{−6}^0 f(t) dt

Region R has area 12 → ∫_{−6}^0 f(t) dt = 12 (f ≥ 0 in second quadrant from graph)

⭐ 핵심 포인트
· g(−6) = −∫_{−6}^0 f dt = −12 (구간 방향 반대!)
· g(4): 그래프에서 0~4 구간의 넓이를 읽어야 함
· g(6): g(4) + ∫₄^6 f(t) dt, 선형 구간에서 삼각형 넓이 계산
⚠️ 함정
g(−6) = ∫₀^{−6} = −∫_{−6}^0 → 부호 반드시 뒤집기!
g(4): f가 0~4 구간에서 양수이므로 넓이가 양수.
그래프 상 반원 같은 곡선 → (1/2)·base·height 또는 기하 공식 사용.
✦ Model Answer
g(−6) = ∫₀^{−6} f(t) dt = −∫_{−6}^0 f(t) dt = −12

From the graph, the region between x = 0 and x = 4 (above x-axis) ≈ area of curved region. Reading the graph: the enclosed area from 0 to 4 appears to be approximately 8 (estimate based on geometry).

g(4) = ∫₀^4 f(t) dt ≈ 8

For 4 ≤ x ≤ 7, f is linear with f(4) = 3 and f(6) = −1. The line crosses x-axis at some point between 4 and 6.

Line from (4,3) to (6,−1): slope = (−1−3)/(6−4) = −2. Zero at: 3 − 2(x−4) = 0 → x = 5.5

∫₄^6 f dt = triangle above (area from 4 to 5.5) − triangle below (5.5 to 6) = (1/2)(1.5)(3) − (1/2)(0.5)(1) = 2.25 − 0.25 = 2 g(6) = g(4) + ∫₄^6 f(t) dt = 8 + 2 = 10

g(−6) = −12,   g(4) = 8,   g(6) = 10

Part (b)
Find all critical points of g on 0 ≤ x ≤ 6.
기초 개념

g′(x) = f(x) (FTC Part 1)

Critical points of g: where g′(x) = f(x) = 0

⭐ 핵심 포인트
g′(x) = f(x) → f(x) = 0인 x를 그래프에서 찾아라!
그래프에서 f는 x = 0에서 0이고, linear part에서 x = 5.5에서 0을 통과.
✦ Model Answer

Since g′(x) = f(x) by FTC, critical points of g occur where f(x) = 0.

From the graph, f(x) = 0 at x = 5.5 on the interval 0 ≤ x ≤ 6.

(f(0) = 0 is an endpoint, not interior; f changes sign at x = 5.5 from positive to negative.)

g has a critical point at x = 5.5. Since g′ = f changes from positive to negative, this is a relative maximum of g.

Part (c)
h(x) = ∫_{−6}^x f′(t) dt. Find h(6), h′(6), h″(6).
기초 개념

FTC Part 2: h(x) = ∫_{−6}^x f′(t) dt = f(x) − f(−6)

h′(x) = f′(x) (FTC Part 1)

h″(x) = f″(x)

⭐ 핵심 포인트
· h(6) = f(6) − f(−6): 그래프에서 f(6) = −1, f(−6) = 0.5
· h′(6) = f′(6): 선형 구간의 기울기 = −2
· h″(6) = f″(6): 선형이므로 기울기가 상수 → f″ = 0
✦ Model Answer
h(x) = ∫_{−6}^x f′(t) dt = f(x) − f(−6) h(6) = f(6) − f(−6) = −1 − 0.5 = −1.5 h′(x) = f′(x) → h′(6) = f′(6) = slope of f at x=6

Since f is linear on [0,7] through (4,3) and (6,−1): slope = (−1−3)/(6−4) = −4/2 = −2

h′(6) = −2 h″(6) = f″(6) = 0 (f is linear on this interval, so f′ is constant)

h(6) = −3/2,   h′(6) = −2,   h″(6) = 0

5

Arc Length, Euler's Method & Integration by Parts

✏️ No Calculator Topics: Arc length · Euler's Method · IBP
주어진 정보

f is twice differentiable, f(0) = 0. f′(0) = 5, f′(π) = 6, f′(2π) = 0

h(x) = ∫₀ˣ √(1 + [f′(t)]²) dt

Part (a)
Find h′(π).
기초 개념

FTC Part 1: h′(x) = √(1 + [f′(x)]²)

✦ Model Answer
h′(x) = √(1 + [f′(x)]²) h′(π) = √(1 + [f′(π)]²) = √(1 + 6²) = √(1 + 36) = √37

h′(π) = √37

Part (b)
What does ∫₀^π √(1 + [f′(x)]²) dx represent about the graph of f?
⭐ 핵심 포인트 — Arc Length Formula
∫ₐᵇ √(1 + [f′(x)]²) dx = arc length of f on [a, b]
이것이 정확한 수학적 해석!
✦ Model Answer

∫₀^π √(1 + [f′(x)]²) dx represents the arc length (length of the curve) of the graph of f on the interval 0 ≤ x ≤ π.

Part (c)
Use Euler's method (2 equal steps, starting at x = 0) to approximate f(2π).
기초 개념 — Euler's Method

Step size h = (2π − 0)/2 = π

y_{n+1} = y_n + h · f′(x_n)
Start: x₀ = 0, y₀ = f(0) = 0
Step 1: x₁ = π, y₁ = y₀ + π · f′(0) = 0 + π · 5 = 5π
Step 2: x₂ = 2π, y₂ = y₁ + π · f′(π) = 5π + π · 6 = 11π
⚠️ 함정
각 step에서 현재 x값에서의 f′을 사용. f′(2π) = 0은 마지막 step에서 사용 안 함!
✦ Model Answer

Step size: Δx = (2π − 0)/2 = π

x₀ = 0,   f(0) = 0 x₁ = π,   f(π) ≈ f(0) + π · f′(0) = 0 + 5π = 5π x₂ = 2π,   f(2π) ≈ f(π) + π · f′(π) = 5π + 6π = 11π

f(2π) ≈ 11π

Part (d)
Find ∫(t + 5)cos(t/4) dt.
기초 개념 — Integration by Parts (IBP)
∫u·dv = uv − ∫v·du

선택 기준 (LIATE): Logarithm, Inverse trig, Algebraic, Trig, Exponential

여기서: u = (t + 5) [algebraic], dv = cos(t/4) dt [trig]

⭐ 핵심 포인트
dv = cos(t/4)dt → v = 4sin(t/4) (체인룰 역: ÷ (1/4) = ×4)
du = dt (다항식 미분)
✦ Model Answer

Let u = t + 5,   dv = cos(t/4) dt

du = dt,   v = 4sin(t/4) ∫(t+5)cos(t/4) dt = (t+5)·4sin(t/4) − ∫4sin(t/4) dt = 4(t+5)sin(t/4) − 4·[−4cos(t/4)] + C

= 4(t + 5)sin(t/4) + 16cos(t/4) + C

6

Maclaurin Series — Convergence & Radius

✏️ No Calculator Topics: Convergence tests · Alternating series · Ratio test · Taylor series
주어진 시리즈
f(x) = Σ (n+1)xⁿ / (n²·6ⁿ)   [n=1 to ∞]

Radius of convergence = 6

Part (a)
Does the Maclaurin series converge or diverge at x = 6?
기초 개념

x = 6은 반경 경계값 → 직접 대입해서 판단해야 함.

at x = 6: Σ (n+1)·6ⁿ / (n²·6ⁿ) = Σ (n+1)/n²
⭐ 핵심 포인트 — Comparison or Limit Comparison
(n+1)/n² ~ n/n² = 1/n as n→∞
Σ 1/n diverges (harmonic series!)
Limit Comparison with 1/n → limit = 1 (finite, positive) → DIVERGES
✦ Model Answer

Substituting x = 6:

Σ (n+1)·6ⁿ / (n²·6ⁿ) = Σ (n+1)/n²

Using Limit Comparison Test with Σ 1/n:

lim [((n+1)/n²) / (1/n)] = lim (n+1)/n = 1 > 0

Since Σ 1/n diverges (harmonic series) and the limit is a positive finite number,

the Maclaurin series diverges at x = 6.

Part (b)
Show that |f(−3) − S₃| < 1/50.
기초 개념 — Alternating Series Remainder Theorem

Alternating Series Error Bound:

|S − Sₙ| ≤ |aₙ₊₁|

즉, 오차는 다음 항의 절댓값보다 작거나 같다.

f(−3) = Σ (n+1)(−1/2)ⁿ / n² → alternating series when x = −3

⭐ 핵심 포인트 — 조건 확인 필수!
Alternating Series Test 조건:
1. 항들이 alternating sign ✓
2. |aₙ| decreasing ✓
3. lim aₙ → 0 ✓
→ 세 조건 모두 쓸 것!
✦ Model Answer

The series for f(−3) is an alternating series with terms aₙ = (n+1)/(n²·2ⁿ) (decreasing to 0), so the Alternating Series Remainder Theorem applies.

|f(−3) − S₃| ≤ |a₄| = (4+1)/(4²·2⁴) = 5/(16·16) = 5/256

Since:

5/256 < 1/50   (because 5·50 = 250 < 256)

Therefore |f(−3) − S₃| ≤ 5/256 < 1/50. ∎

Part (c)
Find the general term of the Maclaurin series for f′. Find its radius of convergence.
기초 개념 — Power Series 미분

Power series를 항별로 미분(term-by-term differentiation).

f(x) = Σ (n+1)xⁿ / (n²·6ⁿ) f′(x) = Σ n·(n+1)xⁿ⁻¹ / (n²·6ⁿ) = Σ (n+1)xⁿ⁻¹ / (n·6ⁿ)
⭐ 핵심 포인트
Radius of convergence는 미분해도 변하지 않는다! = 6
(단, 수렴 구간의 끝점은 달라질 수 있음 — 이 문제는 반경만 묻고 있음)
✦ Model Answer

Differentiating term by term:

f′(x) = Σ [n · (n+1)xⁿ⁻¹] / (n²·6ⁿ) = Σ (n+1)xⁿ⁻¹ / (n·6ⁿ)   [n=1 to ∞]

General term: (n+1)xⁿ⁻¹ / (n·6ⁿ). Radius of convergence = 6.

Part (d)
Use Ratio Test to find the radius of convergence of g(x) = Σ (n+1)x^(2n) / (n²·3ⁿ).
기초 개념 — Ratio Test
L = lim |aₙ₊₁ / aₙ|

수렴: L < 1, 발산: L > 1, 판단불가: L = 1

Radius of convergence: L < 1에서 |x|의 조건 → R 결정

⭐ 핵심 포인트 — x^(2n) 주의
x^(2n) 이므로 반경 R을 구할 때 x² 기준으로!
aₙ = (n+1)x^(2n) / (n²·3ⁿ)
aₙ₊₁ = (n+2)x^(2n+2) / ((n+1)²·3^(n+1))
✦ Model Answer
|aₙ₊₁/aₙ| = |(n+2)x^(2n+2)| / [(n+1)²·3^(n+1)] · [(n²·3ⁿ) / |(n+1)x^(2n)|] = (n+2)·n²·|x|² / [(n+1)³·3] lim |aₙ₊₁/aₙ| = |x|²/3 · lim (n+2)n²/(n+1)³ = |x|²/3 · 1 = x²/3

For convergence: x²/3 < 1 → x² < 3 → |x| < √3

Radius of convergence = √3