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기초 개념과 반드시 암기해야 할 공식

FORMULA 01

Distance Formula

두 점 사이의 직선 거리를 구하는 공식. 피타고라스 정리에서 유도됩니다.

d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
두 점 (x₁, y₁) 과 (x₂, y₂) 사이의 거리
🔑 반드시 암기
  • 차이를 각각 제곱하여 더한 후, 루트를 씌운다 (√)
  • x 좌표 차이² + y 좌표 차이² → 루트
  • 두 점 순서가 바뀌어도 결과 동일: (x₂-x₁)² = (x₁-x₂)²
  • 원점 O(0,0)까지의 거리: d = √(x² + y²)
  • 수평선상(y 같음): d = |x₂ - x₁|
FORMULA 02

Midpoint Formula

두 점의 중간 지점 좌표를 구하는 공식.

M = ((x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2)
두 점의 x좌표 평균, y좌표 평균
🔑 반드시 암기
  • 각 좌표를 더해서 2로 나누기 (평균)
  • 원의 지름 양끝점이 주어지면 → 중점 = 원의 중심
FORMULA 03

Circle — Standard Form

중심과 반지름이 알려진 원의 방정식 기본 형태.

(x - h)² + (y - k)² = r²
Center: (h, k) · Radius: r
🔑 반드시 암기
  • (x - h): h가 양수면 중심은 오른쪽, 음수면 왼쪽
  • (y - k): k가 양수면 중심은 위, 음수면 아래
  • 등호 오른쪽은 r² (반지름의 제곱!)
  • (x+3)² → 부호 반대! center x = -3
  • x² + y² = r² → 원점 중심의 원
FORMULA 04

Circle — General Form (완전제곱식 변환)

일반형을 표준형으로 변환 — Completing the Square.

x² + y² + Dx + Ey + F = 0
↓ Completing the Square ↓
(x + D/2)² + (y + E/2)² = (D/2)² + (E/2)² - F
양변에 (D/2)² 와 (E/2)² 를 더해준다
🔑 반드시 암기 — 3단계 절차
  • ① x항 묶기: x² + Dx → (x + D/2)² - (D/2)²
  • ② y항 묶기: y² + Ey → (y + E/2)² - (E/2)²
  • ③ 우변에 뺀 수 다시 이항: r² 확인
KEY RELATIONS

점과 원의 위치 관계

INSIDE
d < r
ON CIRCLE
d = r
OUTSIDE
d > r
🔑 두 원의 위치 관계 (d = 두 중심 사이 거리)
  • 외부 분리: d > r₁ + r₂
  • 외부 접촉 (1점): d = r₁ + r₂
  • 두 점 교차: |r₁ - r₂| < d < r₁ + r₂
  • 내부 접촉 (1점): d = |r₁ - r₂|
  • 내부 포함: d < |r₁ - r₂|

핵심 예제

개념 적용 연습 — 풀이 과정과 정답

EXAMPLE 01 · Distance Formula
QUESTION
두 점 A(1, 2)와 B(4, 6) 사이의 거리를 구하시오.
SOLUTION
d = √[(4-1)² + (6-2)²]
= √[3² + 4²]
= √[9 + 16]
= √25
= 5
EXAMPLE 02 · Standard Form → Center & Radius
QUESTION
(x-3)² + (y+2)² = 25 의 중심과 반지름을 구하시오.
SOLUTION
(x - 3)² → h = 3
(y + 2)² = (y - (-2))² → k = -2
r² = 25 → r = 5

∴ Center = (3, -2), Radius = 5
EXAMPLE 03 · General Form → Standard Form
QUESTION
x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0 을 표준형으로 나타내고 중심과 반지름을 구하시오.
SOLUTION
(x² - 4x) + (y² + 6y) = 12
(x² - 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 12 + 4 + 9
(x - 2)² + (y + 3)² = 25

∴ Center = (2, -3), Radius = 5
EXAMPLE 04 · Write Equation from Center & Point
QUESTION
중심이 (2, 3)이고 점 (5, 7)을 지나는 원의 방정식을 구하시오.
SOLUTION
r = distance(center → point)
r = √[(5-2)² + (7-3)²]
= √[9 + 16] = √25 = 5

∴ (x-2)² + (y-3)² = 25
EXAMPLE 05 · Point on Circle?
QUESTION
점 (3, 4)는 원 x² + y² = 25 위에 있는가?
SOLUTION
x=3, y=4 대입:
3² + 4² = 9 + 16 = 25 ✓

25 = 25 이므로 점은 원 위에 있다.

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