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탑에듀프렙 수학 워크북

원의 방정식 &
거리 공식

개념 정리 · 예제 풀이 · 실전 20제 · 정답 해설

SAT · IB · A-Level 20문제 30분 타이머 즉시 채점
개념 정리
Formula 01
거리 공식 Distance Formula
d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]
두 점 (x₁, y₁), (x₂, y₂) 사이의 거리
  • x 차이를 제곱, y 차이를 제곱한 후 더해서 제곱근
  • 피타고라스 정리의 좌표 버전: 빗변 = 두 점 사이 거리
  • 원점 (0,0)까지 거리: d = √(x² + y²)
  • 부호 방향은 상관없음 — 제곱하면 양수가 됨
중점 공식: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
두 점의 x, y 각각의 평균
Formula 02
원의 방정식 Circle Equation
(x − h)² + (y − k)² = r²
중심 (h, k), 반지름 r인 원
  • 중심 읽기: h, k의 부호가 반대로 나옴 — (x−3)²이면 중심 x=3
  • 반지름: 우변의 제곱근 → r² = 25이면 r = 5
  • 표준형: x²+y²+Dx+Ey+F = 0 → 완전제곱식으로 변환
  • 중심이 원점: x² + y² = r² (h=0, k=0)
x²+y²+Dx+Ey+F=0 → r² = (D/2)² + (E/2)² − F
완전제곱식 완성 공식 (반지름 빠르게 구하기)
Formula 03
점과 원의 위치 관계
(x₀−h)² + (y₀−k)² ↔ r²
점 (x₀, y₀)을 원의 방정식에 대입하여 비교
  • 결과 < r² : 점이 원 내부
  • 결과 = r² : 점이 원 위 (on the circle)
  • 결과 > r² : 점이 원 외부
  • 두 원의 위치: 중심 거리 d, r₁+r₂=외접 / |r₁−r₂|=내접
예제 풀이
예제 ① 거리 공식
문제
두 점 A(1, 2), B(4, 6) 사이의 거리를 구하시오.
d = √[(4−1)² + (6−2)²] = √[3² + 4²] = √[9 + 16] = √25 = 5
예제 ② 완전제곱식 변환
문제
x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0 을 표준형으로 변환하시오.
(x²−6x+9) + (y²+4y+4) = 3+9+4 (x−3)² + (y+2)² = 16 중심: (3, −2), 반지름: r = 4
예제 ③ 점과 원의 위치
문제
점 (5, 1)이 원 (x−2)²+(y+1)²=9 의 내부·위·외부 중 어디인가?
(5−2)² + (1+1)² = 9 + 4 = 13 13 > 9 (=r²) → 점은 원의 외부
실전 문제 20선
핵심 20제
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