CONCEPT REVIEW
핵심 개념 &
암기 공식 정리
시험 필수 공식입니다. 이해하고 완전히 암기하세요.
📐 1. 두 점 사이의 거리 공식
- 좌표평면 위 두 점 A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) 사이의 거리
- 피타고라스 정리로부터 유도
- 수직선 위: |x₂ − x₁|
AB = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
⚡ 암기: x끼리, y끼리 차를 구해 각각 제곱 → 더하고 → 제곱근. 순서 바꿔도 결과 같음!
⭕ 2. 원의 방정식 — 표준형
- 중심 (a, b), 반지름 r인 원: 중심과 원 위의 점 사이 거리 = r
- r > 0 이어야 원 존재
(x−a)² + (y−b)² = r²
중심: (a, b) | 반지름: r
- 원점 중심: x² + y² = r²
- r² = 0 이면 점(점방정식), r² < 0 이면 허원
⚡ 함정: (x+3)²+(y−2)²=r² → 중심은 (−3, 2)! 괄호 안 부호를 반대로 읽는다.
🔄 3. 원의 방정식 — 일반형
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
- 중심: (−D/2, −E/2)
- 반지름: r = √((D/2)² + (E/2)² − F)
- 원 조건: (D/2)² + (E/2)² − F > 0
- 완전제곱식 변환으로 표준형으로 바꿀 수 있음
⚡ 변환법: x²+Dx = (x+D/2)²−(D/2)². D/2를 괄호에 넣고 (D/2)²을 우변으로 이항.
📍 4. 중점 공식
중점 M = ( (x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2 )
⚡ 핵심: 각 좌표의 평균값. 내분점 1:1의 특수 케이스.
📏 5. 원과 직선의 관계
- d = 원의 중심에서 직선까지의 거리, r = 반지름
- d < r : 두 점에서 교차 (실수 교점 2개)
- d = r : 접선 (교점 1개)
- d > r : 만나지 않음
점(a,b)→직선 px+qy+r=0 거리: d = |pa+qb+r| / √(p²+q²)
WORKED EXAMPLES
개념 확인 예제
EXAMPLE 01
두 점 A(1,3), B(5,6) 사이의 거리를 구하시오.
SOLUTION
AB = √((5−1)²+(6−3)²) = √(16+9) = √25 = 5
EXAMPLE 02
중심 (2,−3), 반지름 4인 원의 방정식을 구하시오.
SOLUTION
표준형에 a=2, b=−3, r=4 대입 → (x−2)²+(y+3)²=16
EXAMPLE 03
x²+y²−4x+6y−3=0 을 표준형으로 변환하고 중심과 반지름을 구하시오.
SOLUTION
(x²−4x+4)+(y²+6y+9) = 3+4+9
(x−2)²+(y+3)² = 16
중심: (2,−3) 반지름: 4
EXAMPLE 04
원 x²+y²=25와 직선 y=x+k가 접할 때, k의 값은?
SOLUTION
접선 조건: 중심(0,0)→직선 x−y+k=0 거리 = 반지름 5
d = |k|/√2 = 5 → |k| = 5√2 → k = ±5√2