순환소수 → 분수 변환 핵심문제 20선

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정답 및 해설

중2 수학 핵심

순환소수 → 분수 변환
핵심문제 20선

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① 순환소수란?

소수점 아래 어떤 자리에서부터 같은 숫자가 한없이 반복되는 무한소수

0.333… = 0.\(\overline{3}\)  →  순환마디: 3

0.272727… = 0.\(\overline{27}\)  →  순환마디: 27

0.1333… = 0.1\(\overline{3}\)  →  순환마디: 3, 비순환 1자리

② 분수로 바꾸는 핵심 공식

🔑 암기 필수 — 3가지 경우

0.\(\overline{a}\) 형태 분자 = 순환마디 / 분모 = 9의 개수
0.\(\overline{ab}\) 형태 분자 = 순환마디 / 분모 = 99
0.x\(\overline{a}\) 형태 분자 = 전체 - 비순환 / 분모 = 9×10^(비순환자리)

▶ 분모 결정 규칙 (황금법칙)

분모 = 9를 (순환마디 자리수)개 × 10을 (비순환 자리수)개

순환마디 1자리, 비순환 0자리 → 분모: 9
순환마디 2자리, 비순환 0자리 → 분모: 99
순환마디 1자리, 비순환 1자리 → 분모: 90
순환마디 1자리, 비순환 2자리 → 분모: 900
순환마디 2자리, 비순환 1자리 → 분모: 990

▶ 분자 결정 규칙

분자 = (소수점 이하 전체 숫자) − (비순환 부분 숫자)

0.1\(\overline{3}\) → 분자 = 13 − 1 = 12, 분모 = 90 → \(\frac{12}{90}=\frac{2}{15}\)

③ 방정식으로 바꾸는 방법 (만능법)

1 x = 순환소수로 놓는다

2 양변에 10의 배수를 곱해 순환마디를 맞춘다

3 두 식을 빼서 x를 구한다 → 기약분수로

※ 정수 부분이 있을 때는 정수를 분리하거나 동일하게 적용

유형 1 — 완전 순환소수 (기초)

예제 A

0.\(\overline{3}\) 을 분수로 나타내시오.

1 \(x = 0.\overline{3} = 0.333…\) 으로 놓기
2 \(10x = 3.333…\) → 양변에 10 곱하기
3 \(10x - x = 3.333… - 0.333…\) → \(9x = 3\)
4 \(x = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\)
정답: \(\dfrac{1}{3}\)
예제 B

0.\(\overline{27}\) 을 분수로 나타내시오.

1 \(x = 0.\overline{27} = 0.272727…\)
2 \(100x = 27.272727…\)
3 \(100x - x = 27\) → \(99x = 27\)
4 \(x = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}\)
정답: \(\dfrac{3}{11}\)

유형 2 — 혼합 순환소수 (중급)

예제 C

0.1\(\overline{3}\) 을 분수로 나타내시오.

1 \(x = 0.1\overline{3} = 0.1333…\)
2 \(10x = 1.\overline{3}\),   \(100x = 13.\overline{3}\)
3 \(100x - 10x = 13.\overline{3} - 1.\overline{3} = 12\) → \(90x = 12\)
4 \(x = \dfrac{12}{90} = \dfrac{2}{15}\)
정답: \(\dfrac{2}{15}\)
예제 D

공식으로 바로 구하기: 0.4\(\overline{5}\)

1 비순환 자리 = 1자리, 순환마디 = 1자리 → 분모: 90
2 소수점 이하 전체(45) − 비순환(4) = 41
3 \(\dfrac{41}{90}\) (기약분수 확인: gcd(41,90)=1 ✓)
정답: \(\dfrac{41}{90}\)

유형 3 — 정수 부분 포함 (고급)

예제 E

1.\(\overline{6}\) 을 분수로 나타내시오.

1 \(1.\overline{6} = 1 + 0.\overline{6}\)
2 \(0.\overline{6} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\)
3 \(1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}\)
정답: \(\dfrac{5}{3}\)
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