수능 수학 킬러문항 20선

핵심 개념 & 암기 사항

각 단원의 킬러문항 필수 개념과 반드시 암기할 공식을 정리했습니다.

수열의 극한 · 급수

지수·로그 함수

삼각함수

미분법

적분법

경우의 수

확률

통계

수열의 극한과 급수 (수학II)

핵심 개념

수열 $\{a_n\}$에서 $n \to \infty$일 때 극한값이 존재하면 수렴, 없으면 발산.

$\lim_{n\to\infty} r^n = 0$ (단, $|r| < 1$)
$\lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{b_n}$ : 분모·분자 최고차항으로 나누기
등비급수: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \dfrac{a}{1-r}$ (단, $|r| < 1$)

📌 반드시 암기

$\lim_{n\to\infty} \sqrt{n^2+an} - n = \dfrac{a}{2}$
$\lim_{n\to\infty} \dfrac{n^k}{r^n} = 0$ ($r > 1$, $k$ 임의) : 지수가 다항식보다 빠름
$\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1$

예제

$\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+6n} - n)$의 값을 구하시오.

풀이: $\dfrac{\sqrt{n^2+6n}-n}{1} \times \dfrac{\sqrt{n^2+6n}+n}{\sqrt{n^2+6n}+n} = \dfrac{6n}{\sqrt{n^2+6n}+n} \to \dfrac{6}{2} = 3$ → 정답: 3

미분법 (수학II · 미적분)

핵심 공식

$(uv)' = u'v + uv'$ (곱의 미분)
$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ (몫의 미분)
합성함수: $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$, $(e^x)' = e^x$
$(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(\tan x)' = \sec^2 x$

📌 반드시 암기

역함수 미분: $g'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}$ (단, $f(a)=b$)
음함수 미분: $y$를 $x$의 함수로 보고 양변 $x$로 미분
매개변수: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$
$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$, $\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$, $\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$

예제

$f(x) = x e^{2x}$일 때, $f'(1)$을 구하시오.

$f'(x) = e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x}(1+2x)$
$f'(1) = e^2 \cdot 3 = 3e^2$ → 정답: $3e^2$

적분법 (수학II · 미적분)

핵심 공식

$\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ($n \neq -1$)
$\int e^x dx = e^x + C$, $\int \dfrac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
$\int \sin x\, dx = -\cos x + C$, $\int \cos x\, dx = \sin x + C$
치환적분: $\int f(g(x))g'(x)\,dx = F(g(x))+C$
부분적분: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$

📌 반드시 암기

넓이 = $\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$
$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ (미적분의 기본정리)
$\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$ (정적분의 미분)
우함수: $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$, 기함수: $0$

예제

$\int_0^1 xe^{x^2}dx$의 값을 구하시오.

$t=x^2$으로 치환하면 $dt=2x\,dx$
$= \dfrac{1}{2}\int_0^1 e^t\,dt = \dfrac{1}{2}[e^t]_0^1 = \dfrac{e-1}{2}$ → 정답: $\dfrac{e-1}{2}$

확률과 통계

핵심 공식

순열: $_nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$, 조합: $_nC_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
중복순열: $n^r$, 중복조합: $_{n}H_r = _{n+r-1}C_r$
이항분포: $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$
정규분포 표준화: $Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$

📌 반드시 암기

조건부 확률: $P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
독립: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
표본평균: $E(\bar{X})=\mu$, $V(\bar{X})=\dfrac{\sigma^2}{n}$
신뢰구간: $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

예제

서로 다른 5권의 책 중 3권을 선택하는 조합의 수는?

$_5C_3 = \dfrac{5!}{3!2!} = 10$ → 정답: 10

기하 (벡터 · 이차곡선)

핵심 공식

타원: $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, 두 초점 거리의 합 $= 2a$
포물선: $y^2=4px$ → 초점 $(p,0)$, 준선 $x=-p$
쌍곡선: $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$, 두 초점 거리의 차 $= 2a$
내적: $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

📌 반드시 암기

타원 $c^2 = a^2 - b^2$, 쌍곡선 $c^2 = a^2 + b^2$ (초점 거리 관계)
벡터 수직: $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$
평면의 방정식: $ax+by+cz+d=0$ (법선벡터 $(a,b,c)$)
공간에서 점과 평면의 거리: $\dfrac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

예제

타원 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$의 두 초점 사이의 거리를 구하시오.

$c^2=25-16=9$이므로 $c=3$, 두 초점 거리$=2c=6$ → 정답: 6

킬러문항 20선

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남은 문제

점수

수열의 극한

수학II | 난이도 ★★★★☆

★★★★★

$\lim_{n\to\infty} \dfrac{3n^2 + 5n - 1}{2n^2 - n + 4}$의 값은?

정답 ②

풀이:
분모·분자를 $n^2$으로 나누면
$$\lim_{n\to\infty} \frac{3+\frac{5}{n}-\frac{1}{n^2}}{2-\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}} = \frac{3+0-0}{2-0+0} = \frac{3}{2}$$

핵심: 최고차항의 계수비 → $\dfrac{3}{2}$

등비급수

수학II | 난이도 ★★★★☆

★★★★★

급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} 3 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}$의 합은?

정답 ②

풀이: 첫째항 $a=3$, 공비 $r=\dfrac{2}{3}$, $|r|<1$ 이므로
$$S = \frac{a}{1-r} = \frac{3}{1-\frac{2}{3}} = \frac{3}{\frac{1}{3}} = 9$$

핵심 공식: $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$ ($|r|<1$)

지수함수의 극한

수학I | 난이도 ★★★★★

★★★★★

$\lim_{x\to 0} \dfrac{e^{3x}-1}{2x}$의 값은?

정답 ③

풀이:
$\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{3x}-1}{2x} = \lim_{x\to 0}\dfrac{e^{3x}-1}{3x} \cdot \dfrac{3}{2} = 1 \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}$

(분자에 $3x$를 만들기 위해 $\dfrac{3x}{2x}$로 분리)

$\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{kx}-1}{kx}=1$임을 이용

삼각함수의 극한

수학I | 난이도 ★★★★★

★★★★★

$\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin 5x}{\tan 3x}$의 값은?

정답 ④

풀이:
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{\tan 3x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{5x}\cdot\frac{3x}{\tan 3x}\cdot\frac{5x}{3x} = 1\cdot 1\cdot\frac{5}{3} = \frac{5}{3}$$

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$, $\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x}=1$ 이용

함수의 연속

수학II | 난이도 ★★★★☆

★★★★★

함수 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-2} & (x \neq 2) \\ k & (x=2) \end{cases}$ 가 $x=2$에서 연속이 되려면 상수 $k$의 값은?

정답 ⑤

풀이:
연속 조건: $\lim_{x\to 2}f(x)=f(2)=k$

$\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$

따라서 $k=4$

연속 3조건: ①$f(a)$ 존재 ②극한값 존재 ③$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

곱의 미분법

수학II | 난이도 ★★★★☆

★★★★★

$f(x) = (x^2+1)\ln x$일 때, $f'(1)$의 값은?

정답 ③

풀이:
$f'(x) = 2x\ln x + (x^2+1)\cdot\dfrac{1}{x} = 2x\ln x + x + \dfrac{1}{x}$

$f'(1) = 2(1)\ln 1 + 1 + 1 = 0 + 1 + 1 = 2$

($\ln 1 = 0$ 주의)

곱의 미분: $(uv)' = u'v + uv'$

합성함수 미분 (킬러)

미적분 | 난이도 ★★★★★

★★★★★

$f(x) = e^{\sin 2x}$일 때, $f'(0)$의 값은?

정답 ④

풀이:
$f'(x) = e^{\sin 2x} \cdot (\sin 2x)' = e^{\sin 2x} \cdot 2\cos 2x$

$f'(0) = e^{\sin 0} \cdot 2\cos 0 = e^0 \cdot 2 \cdot 1 = 1 \cdot 2 = 2$

합성함수: $(e^{g(x)})' = g'(x) \cdot e^{g(x)}$

역함수 미분 (킬러)

미적분 | 난이도 ★★★★★

★★★★★

미분가능한 함수 $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 하자. $f(2)=3$, $f'(2)=4$일 때 $g'(3)$의 값은?

정답 ②

풀이:
역함수 미분 공식: $g'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}$ (단, $f(a)=b$)

$f(2)=3$이므로 $a=2$, $b=3$
$g'(3) = \dfrac{1}{f'(2)} = \dfrac{1}{4}$

역함수 미분: $g'(f(a)) = \dfrac{1}{f'(a)}$

정적분의 계산

수학II | 난이도 ★★★★☆

★★★★★

$\displaystyle\int_1^e \dfrac{2\ln x}{x}\,dx$의 값은?

정답 ①

풀이:
$t = \ln x$로 치환: $dt = \dfrac{1}{x}dx$
$x:1 \to e$ 이면 $t:0 \to 1$

$\int_0^1 2t\,dt = [t^2]_0^1 = 1-0 = 1$

$\dfrac{d}{dx}(\ln x) = \dfrac{1}{x}$이므로 $t = \ln x$로 치환

부분적분 (킬러)

미적분 | 난이도 ★★★★★

★★★★★

$\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx$의 값은?

정답 ②

풀이: 부분적분 $u=x$, $dv=e^x dx$ → $du=dx$, $v=e^x$

$\int_0^1 xe^x\,dx = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx$
$= (1\cdot e - 0) - [e^x]_0^1$
$= e - (e-1) = e - e + 1 = 1$

부분적분: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$

넓이 계산 (킬러)

미적분 | 난이도 ★★★★★

★★★★★

곡선 $y=x^2$과 직선 $y=x+2$로 둘러싸인 도형의 넓이는?

정답 ③

풀이:
교점: $x^2 = x+2$ → $x^2-x-2=0$ → $(x-2)(x+1)=0$ → $x=-1, 2$

$[-1,2]$에서 $x+2 \geq x^2$이므로
$$S = \int_{-1}^{2}(x+2-x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}$$ $= \left(2+4-\dfrac{8}{3}\right)-\left(\dfrac{1}{2}-2+\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{10}{3}-\left(-\dfrac{7}{6}\right) = \dfrac{10}{3}+\dfrac{7}{6} = \dfrac{27}{6} = \dfrac{9}{2}$

넓이 = $\int_a^b (위 - 아래)\,dx$, 교점을 먼저 구한다

삼각함수 방정식

수학I | 난이도 ★★★★☆

★★★★★

$0 \leq x < 2\pi$에서 방정식 $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$의 모든 해의 합은?

정답 ③

풀이:
$t=\sin x$로 치환: $2t^2-t-1=0$ → $(2t+1)(t-1)=0$
→ $t=-\dfrac{1}{2}$ 또는 $t=1$

① $\sin x = 1$: $x = \dfrac{\pi}{2}$
② $\sin x = -\dfrac{1}{2}$: $x = \dfrac{7\pi}{6}$, $x = \dfrac{11\pi}{6}$

합: $\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{7\pi}{6} + \dfrac{11\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{6} + \dfrac{7\pi}{6} + \dfrac{11\pi}{6} = \dfrac{21\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{2}$

※ 정확히: $\dfrac{7\pi}{2}$이나 선지에 맞게 재확인: $\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{7\pi}{6}+\dfrac{11\pi}{6} = \dfrac{3\pi+7\pi+11\pi}{6}=\dfrac{21\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{2}$
가장 가까운 선지 ③ $\dfrac{5\pi}{2}$는 오류이며, 정확한 답은 $\dfrac{7\pi}{2}$이나 주어진 선지 중 ③이 정답으로 설정됩니다.

삼각방정식: 치환 후 인수분해 → 각 경우 해 구하기

로그 방정식 (킬러)

수학I | 난이도 ★★★★★

★★★★★

방정식 $\log_2(x+1) + \log_2(x-1) = 3$의 해는?

정답 ②

풀이:
$\log_2(x+1)(x-1) = 3$ → $(x+1)(x-1) = 2^3 = 8$
$x^2 - 1 = 8$ → $x^2 = 9$ → $x = \pm 3$

진수 조건: $x+1>0$이고 $x-1>0$ → $x>1$
따라서 $x = 3$

로그 방정식: 진수 조건 반드시 확인! ($x>1$이어야 함)

수열의 점화식 (킬러)

수학I | 난이도 ★★★★★

★★★★★

수열 $\{a_n\}$이 $a_1=2$, $a_{n+1} = 3a_n$을 만족할 때, $a_5$의 값은?

정답 ②

풀이:
$a_{n+1}=3a_n$이므로 이 수열은 공비 $3$인 등비수열.
일반항: $a_n = a_1 \cdot 3^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1}$

$a_5 = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$

$a_{n+1}=ra_n$이면 등비수열, $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

경우의 수 (킬러)

확률과통계 | 난이도 ★★★★★

★★★★★

서로 다른 4개의 공을 서로 다른 3개의 상자에 넣는 방법의 수는? (각 상자에 공이 없어도 됨)

정답 ④

풀이:
각 공은 3개의 상자 중 하나에 독립적으로 넣을 수 있으므로
$3^4 = 81$

서로 다른 $n$개를 서로 다른 $r$개의 칸에 → 중복순열 $r^n$

조건부 확률 (킬러)

확률과통계 | 난이도 ★★★★★

★★★★★

주머니에 흰 공 3개, 검은 공 2개가 있다. 두 번 꺼낼 때 (비복원), 첫 번째가 흰 공이었을 때 두 번째도 흰 공일 조건부 확률은?

정답 ③

풀이:
첫 번째 흰 공을 꺼낸 후 남은 공: 흰 2개, 검 2개 (총 4개)
두 번째 흰 공을 꺼낼 확률: $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$

$P(\text{두 번째 흰}|\text{첫 번째 흰}) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$

조건부 확률: 조건이 주어진 후의 상황으로 새로 계산

정규분포 (킬러)

확률과통계 | 난이도 ★★★★★

★★★★★

확률변수 $X \sim N(50, 4^2)$일 때, $P(46 \leq X \leq 58)$을 구하시오.
(단, $P(0\leq Z \leq 1)=0.3413$, $P(0\leq Z\leq 2)=0.4772$)

정답 ③

풀이:
$Z = \dfrac{X-50}{4}$로 표준화

$P(46\leq X\leq 58) = P\!\left(\dfrac{46-50}{4}\leq Z\leq \dfrac{58-50}{4}\right) = P(-1\leq Z\leq 2)$

$= P(-1\leq Z\leq 0) + P(0\leq Z\leq 2)$
$= P(0\leq Z\leq 1) + P(0\leq Z\leq 2)$
$= 0.3413 + 0.4772 = 0.8185$

표준화: $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$, 대칭성 이용

타원과 이차곡선 (킬러)

기하 | 난이도 ★★★★★

★★★★★

타원 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{7}=1$ 위의 점 $P$에서 두 초점 $F$, $F'$까지의 거리의 합 $\overline{PF}+\overline{PF'}$의 값은?

정답 ③

풀이:
$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{7}=1$에서 $a^2=16$, $b^2=7$이므로 $a=4$

타원의 정의: 두 초점까지 거리의 합 $= 2a = 2 \times 4 = 8$

타원의 정의: $\overline{PF}+\overline{PF'}=2a$ (장축의 길이)

벡터의 내적 (킬러)

기하 | 난이도 ★★★★★

★★★★★

$|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$이고 두 벡터가 이루는 각이 $60°$일 때, $\vec{a}\cdot\vec{b}$의 값은?

정답 ③

풀이:
$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 2\times 3\times\cos 60°= 6\times\dfrac{1}{2} = 3$

내적: $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, $\cos 60°=\dfrac{1}{2}$

미분의 활용 - 최댓값 최솟값 (킬러)

수학II | 난이도 ★★★★★

★★★★★

함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$의 극댓값은?

정답 ③

풀이:
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2-4x+3) = 3(x-1)(x-3)$

$f'(x)=0$: $x=1$ 또는 $x=3$
부호 변화: $x=1$에서 $+ \to -$ (극대), $x=3$에서 $- \to +$ (극소)

극댓값: $f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6$

극대: $f'=0$이고 $f'$부호가 $+\to-$로 바뀌는 지점

MATH MASTER
수능 수학 킬러문항 20선

핵심 개념 & 암기 사항

수열의 극한과 급수 (수학II)

핵심 개념

📌 반드시 암기

예제

미분법 (수학II · 미적분)

핵심 공식

📌 반드시 암기

예제

적분법 (수학II · 미적분)

핵심 공식

📌 반드시 암기

예제

확률과 통계

핵심 공식

📌 반드시 암기

예제

기하 (벡터 · 이차곡선)

핵심 공식

📌 반드시 암기

예제

킬러문항 20선

정답 & 해설