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단원별 개념 정리 5개 단원
Ⅰ
제곱근과 실수SQUARE ROOTS & REAL NUMBERS
개념
- 제곱근의 뜻: x² = a (a≥0)를 만족하는 x를 a의 제곱근이라 한다.
- 양수의 제곱근은 절댓값이 같고 부호가 다른 2개, 0의 제곱근은 0 하나, 음수의 제곱근은 실수 범위에 존재하지 않는다.
- 제곱근의 성질: a>0일 때 (√a)²=a, (-√a)²=a, √(a²)=a, √((-a)²)=a → 즉 √(a²) = |a|
- 실수의 분류: 실수 = 유리수(정수, 유한소수·순환소수) ∪ 무리수(순환하지 않는 무한소수)
- 제곱근의 대소: a>b>0이면 √a>√b 이고, 부호가 반대로 바뀌면 대소도 반대로 바뀐다.
★ 암기 포인트
- √(a²) = |a| — 절댓값 기호를 절대 빼먹지 않는다.
- 0의 제곱근은 0 하나뿐(없는 것이 아님), 음수의 제곱근은 아예 없음.
- 양수에서는 근호 안의 수가 클수록 제곱근도 크다.
예제
Q. 81의 제곱근을 모두 구하시오. (단, 81 = 9²)
A +9, -9 (즉 ±9)
Ⅱ
근호를 포함한 식의 계산OPERATIONS WITH RADICALS
개념
- 곱셈: √a × √b = √(ab) (a≥0, b≥0)
- 나눗셈: √a ÷ √b = √(a/b) (a≥0, b>0)
- 근호 안팎 이동: a√b = √(a²b) (a>0, b≥0)
- 분모의 유리화: b/√a = b√a / a (a>0)
- 덧셈·뺄셈: 근호 안의 수가 같을 때만 동류항처럼 계산. m√a ± n√a = (m±n)√a
★ 암기 포인트
- 계산 전에 근호 안을 가장 간단한 형태로 먼저 줄인다.
- 분모에 √가 남아 있으면 미완성 — 반드시 유리화로 마무리.
- 근호 안 숫자가 다르면 절대 더하거나 뺄 수 없다.
예제
Q. √8 + √18의 값은? (√8=2√2, √18=3√2)
A 2√2 + 3√2 = 5√2
Ⅲ
다항식의 곱셈MULTIPLICATION FORMULAS
개념 — 곱셈공식 5가지
- (a+b)² = a² + 2ab + b²
- (a-b)² = a² - 2ab + b²
- (a+b)(a-b) = a² - b²
- (x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab
- (ax+b)(cx+d) = acx² + (ad+bc)x + bd
★ 암기 포인트
- 완전제곱식은 가운데 항의 부호(2ab)를 항상 확인한다.
- 합차공식은 가운데 항이 사라진다는 것이 핵심.
- 식의 값을 구할 때는 공식을 거꾸로(치환) 활용할 수 있다.
예제
Q. (x+2)(x-2)를 전개하면?
A x² - 4
Ⅳ
인수분해FACTORIZATION
개념 — 곱셈공식의 역과정
- 공통인수 묶기: ma + mb = m(a+b)
- a² + 2ab + b² = (a+b)², a² - 2ab + b² = (a-b)²
- a² - b² = (a+b)(a-b)
- x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)
- acx² + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d)
★ 암기 포인트
- 인수분해는 곱셈공식을 거꾸로 적용하는 것!
- 항상 공통인수부터 확인한 다음 공식을 적용한다.
- 결과는 다시 전개해서 검산하는 습관을 들인다.
예제
Q. x² - 4x + 4를 인수분해하면?
A (x-2)²
Ⅴ
이차방정식QUADRATIC EQUATIONS
개념
- 이차방정식: ax² + bx + c = 0 (a≠0) 꼴
- 풀이법 3가지: ① 인수분해 ② 완전제곱식 ③ 근의 공식
- 근의 공식: x = ( -b ± √(b²-4ac) ) / 2a
- 판별식 D = b²-4ac : D>0이면 서로 다른 두 실근, D=0이면 중근, D<0이면 (실수인) 근이 없다.
- 활용 문제는 문장을 식으로 세워 풀이한 뒤, 반드시 조건(자연수·양수 등)에 맞는지 검토한다.
★ 암기 포인트
- 근의 공식의 분모 2a를 빠뜨리지 않는다.
- 인수분해가 바로 안 되면 근의 공식부터 시도한다.
- 활용 문제는 답을 구한 뒤 조건 검토가 필수!
예제
Q. x² - 3x + 2 = 0의 해는?
A (x-1)(x-2)=0 → x=1 또는 x=2