고1 수학 기말 핵심 기출 20선

다항식의 연산

단항식·다항식 덧셈, 뺄셈, 곱셈

🔥 암기 필수

곱셈 공식

합의 제곱

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

차의 제곱

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

합차 곱

\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)

합의 세제곱

\((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

차의 세제곱

\((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

합의 제곱 (3항)

\((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

핵심 포인트: \(a+b, ab\) 값을 구하면 \(a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab\) 로 계산 가능

📝 예제

\(x+y=3,\; xy=1\) 일 때 \(x^2+y^2\) 의 값은?

풀이: \(x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 9 - 2 = 7\)

인수분해

공통인수, 완전제곱식, 합차, 근의 공식 활용

🔥 암기 필수

인수분해 공식

완전제곱식

\(a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2\)

합차 형태

\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)

세제곱 합

\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\)

세제곱 차

\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)

이차식 인수분해

\(x^2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)\)

📝 예제

\(x^2 - 5x + 6\) 을 인수분해하면?

풀이: 두 수 \(-2, -3\)의 합 \(-5\), 곱 \(6\) → \((x-2)(x-3)\)

방정식과 부등식

이차방정식, 판별식, 근과 계수의 관계

🔥 암기 필수

근의 공식 & 판별식

근의 공식

\(ax^2+bx+c=0 \Rightarrow x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

판별식 D

\(D = b^2 - 4ac\)
\(D > 0\): 서로 다른 두 실근
\(D = 0\): 중근
\(D < 0\): 허근 (실근 없음)

근과 계수의 관계

두 근 \(\alpha, \beta\)에 대해
\(\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a},\quad \alpha\beta = \dfrac{c}{a}\)

📝 예제

\(x^2 - 5x + 6 = 0\)의 두 근의 합과 곱은?

풀이: 합 \(= 5\), 곱 \(= 6\) (근과 계수의 관계)

일차부등식과 이차부등식

연립부등식, 이차부등식의 해

🔥 암기 필수

이차부등식 해의 공식

a > 0, 두 근 α < β일 때

\(a(x-\alpha)(x-\beta) > 0 \Rightarrow x < \alpha \text{ 또는 } x > \beta\)
\(a(x-\alpha)(x-\beta) < 0 \Rightarrow \alpha < x < \beta\)

부등식 주의사항

음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 바뀐다!
\(a > b \Rightarrow -a < -b\)

📝 예제

\(x^2 - 3x - 4 < 0\) 의 해는?

풀이: \((x-4)(x+1) < 0 \Rightarrow -1 < x < 4\)

경우의 수 · 순열 · 조합 · 확률

합의 법칙, 곱의 법칙, 조건부확률

🔥 암기 필수

핵심 공식

순열

\(_nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!} = n(n-1)\cdots(n-r+1)\)

조합

\(_nC_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} = \dfrac{_nP_r}{r!}\)

확률의 덧셈 정리

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)

조건부 확률

\(P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\)

📝 예제

5명 중 2명을 뽑는 조합의 수는?

풀이: \(_5C_2 = \dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10\)

☝ 각 문제에서 답을 선택하면 즉시 채점됩니다

단원 1 · 다항식의 연산

문제 01

다항식 ★★☆

\(x + y = 4,\; xy = 2\) 일 때, \(x^3 + y^3\) 의 값은?

문제 02

다항식 ★★★

\((a+b+c)^2 = 25,\; a^2+b^2+c^2 = 11\) 일 때, \(ab+bc+ca\) 의 값은?

단원 2 · 인수분해

문제 03

인수분해 ★★☆

\(x^3 + 8\) 을 인수분해하면 \((x+a)(x^2+bx+c)\) 일 때, \(a+b+c\) 의 값은?
(단, \(a, b, c\)는 정수)

문제 04

인수분해 ★★★

\(x^4 - 1\) 을 인수분해한 결과로 옳은 것은?

단원 3 · 이차방정식

문제 05

방정식 ★★☆

이차방정식 \(x^2 - 6x + k = 0\) 이 중근을 가질 때, 상수 \(k\) 의 값은?

문제 06

방정식 ★★★

이차방정식 \(x^2 + px + q = 0\) 의 두 근이 \(\alpha, \beta\) 일 때,
\(\alpha^2 + \beta^2\) 을 \(p, q\) 로 나타내면?

문제 07

방정식 ★★★

이차방정식 \(2x^2 - 3x + 1 = 0\) 의 두 근을 \(\alpha, \beta\) 라 할 때, \(\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}\) 의 값은?

단원 4 · 부등식

문제 08

부등식 ★★☆

연립부등식 \(\begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ x - 4 < 2 \end{cases}\) 의 해는?

문제 09

부등식 ★★★

이차부등식 \(x^2 - 5x + 4 \leq 0\) 을 만족하는 정수 \(x\) 의 개수는?

문제 10

부등식 ★★★

모든 실수 \(x\) 에 대하여 이차식 \(x^2 - 4x + k > 0\) 이 항상 성립하도록 하는
정수 \(k\) 의 최솟값은?

단원 5 · 경우의 수

문제 11

경우의 수 ★☆☆

서로 다른 동전 3개를 동시에 던질 때, 적어도 한 개가 앞면이 나오는 경우의 수는?

문제 12

순열 ★★☆

남학생 3명, 여학생 2명을 한 줄로 세울 때, 여학생 2명이 서로 이웃하게 되는 경우의 수는?

문제 13

조합 ★★☆

10명 중에서 위원장 1명, 부위원장 1명, 총무 1명을 선출하는 경우의 수는?

문제 14

조합 ★★★

서로 다른 6권의 책 중에서 3권을 선택하는 경우의 수는?

단원 6 · 확률

문제 15

확률 ★★☆

주사위를 한 번 던질 때, 3의 배수 또는 짝수가 나올 확률은?

문제 16

확률 ★★★

흰 공 3개, 검은 공 2개가 들어 있는 주머니에서 공을 2개 꺼낼 때,
2개 모두 흰 공일 확률은?

문제 17

조건부확률 ★★★

두 사건 A, B에서 \(P(A)=\dfrac{1}{2},\; P(B)=\dfrac{1}{3},\; P(A \cap B)=\dfrac{1}{6}\) 일 때,
조건부확률 \(P(B|A)\) 의 값은?

문제 18

확률 ★★★

독립 사건 A, B에 대하여 \(P(A)=\dfrac{1}{3},\; P(B)=\dfrac{1}{4}\) 일 때,
\(P(A^c \cap B^c)\) 의 값은?
(단, \(A^c\)는 A의 여사건)

단원 7 · 나머지 정리 · 항등식

문제 19

나머지정리 ★★★

다항식 \(P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1\) 을 \((x-2)\) 로 나눈 나머지는?

문제 20

나머지정리 ★★★

다항식 \(f(x)\) 를 \((x+1)\) 로 나누면 나머지가 3이고, \((x-2)\) 로 나누면 나머지가 6이다.
\(f(x)\) 를 \((x+1)(x-2)\) 로 나눈 나머지를 \(ax+b\) 라 할 때, \(a+b\) 의 값은?

각 문제의 정답 번호와 단계별 풀이를 확인하세요

다항식의 연산 — 합의 세제곱 공식

정답 ②

📌 공식 적용

\(x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)\)

🔢 대입

\(= 4^3 - 3 \times 2 \times 4 = 64 - 24 = 40\)

✅ 정답: ② 40

다항식 — 세 변수 제곱 전개식

정답 ③

📌 공식

\((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)\)

🔢 계산

\(25 = 11 + 2(ab+bc+ca)\) \(ab+bc+ca = \dfrac{25-11}{2} = 7\)

✅ 정답: ③ 7

인수분해 — 세제곱 합

정답 ③

📌 공식

\(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\)

🔢 적용

\(x^3+8 = x^3+2^3 = (x+2)(x^2-2x+4)\) \(a=2,\; b=-2,\; c=4\)

💡 계산

\(a+b+c = 2+(-2)+4 = 4\)

✅ 정답: ③ 4

인수분해 — 합차 반복 적용

정답 ③

📌 1단계

\(x^4-1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2+1)(x^2-1)\)

📌 2단계

\(x^2-1 = (x+1)(x-1)\)

💡 최종

\(x^4-1 = (x^2+1)(x+1)(x-1)\)

✅ 정답: ③ \((x^2+1)(x+1)(x-1)\)

이차방정식 — 중근 조건 (판별식)

정답 ③

📌 중근 조건

판별식 \(D = b^2 - 4ac = 0\)

🔢 계산

\(D = (-6)^2 - 4(1)(k) = 36 - 4k = 0\) \(\therefore k = 9\)

✔️ 검증

\(x^2-6x+9 = (x-3)^2 = 0 \Rightarrow x=3\) (중근) ✓

✅ 정답: ③ k = 9

근과 계수의 관계 — 제곱합

정답 ②

📌 근과 계수

\(\alpha+\beta = -p,\quad \alpha\beta = q\)

🔢 계산

\(\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = (-p)^2 - 2q = p^2 - 2q\)

✅ 정답: ② \(p^2-2q\)

근과 계수의 관계 — 역수 합

정답 ③

📌 근과 계수

\(\alpha+\beta = \dfrac{3}{2},\quad \alpha\beta = \dfrac{1}{2}\)

🔢 계산

\(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta} = \dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \dfrac{3/2}{1/2} = 3\)

✅ 정답: ③ 3

연립부등식 — 공통 해

정답 ③

📌 부등식 ①

\(2x-1 > 3 \Rightarrow 2x > 4 \Rightarrow x > 2\)

📌 부등식 ②

\(x-4 < 2 \Rightarrow x < 6\)

💡 공통 해

\(x > 2\) 이고 \(x < 6\) → \(2 < x < 6\)

✅ 정답: ③ \(2 < x < 6\)

이차부등식 — 정수해 개수

정답 ③

📌 인수분해

\(x^2-5x+4 = (x-1)(x-4) \leq 0\)

🔢 해 범위

\(1 \leq x \leq 4\)

💡 정수 나열

\(x = 1, 2, 3, 4\) → 총 4개

✅ 정답: ③ 4개

이차부등식 — 항상 양수 조건

정답 ③

📌 조건

모든 실수 \(x\)에서 양수: 판별식 \(D < 0\)

🔢 계산

\(D = (-4)^2 - 4(1)(k) = 16 - 4k < 0\) \(k > 4\)

💡 정수 최솟값

\(k > 4\)이므로 정수 최솟값 = \(\mathbf{5}\)

✅ 정답: ③ k = 5

경우의 수 — 여사건 이용

정답 ④

📌 전체 경우

동전 3개: \(2^3 = 8\)가지

📌 여사건

모두 뒷면: 1가지

💡 결과

적어도 1개 앞면 = \(8 - 1 = 7\)가지

✅ 정답: ④ 7가지

순열 — 이웃하는 경우

정답 ③

📌 전략

여학생 2명을 하나의 묶음으로 처리

🔢 4명 나열

(묶음 1명 + 남학생 3명) = 4명 나열: \(4! = 24\)가지

🔢 묶음 내 순서

여학생 2명 자리 바꾸기: \(2! = 2\)가지

💡 총합

\(24 \times 2 = 48\)가지

✅ 정답: ③ 48가지

순열 — 직책이 다른 선출

정답 ③

📌 판단

직책(위원장, 부위원장, 총무)이 다르므로 순서 있음 → 순열

🔢 계산

\(_{10}P_3 = 10 \times 9 \times 8 = 720\)

✅ 정답: ③ 720가지

조합 — 순서 없이 선택

정답 ②

📌 판단

순서 없이 선택 → 조합 사용

🔢 계산

\(_6C_3 = \dfrac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{120}{6} = 20\)

✅ 정답: ② 20가지

확률 — 덧셈 정리

정답 ③

📌 사건 정의

\(A = \{3,6\}\): 3의 배수, \(B = \{2,4,6\}\): 짝수
\(A \cap B = \{6\}\)

🔢 계산

\(P(A \cup B) = \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)

✅ 정답: ③ \(\dfrac{2}{3}\)

확률 — 조합을 이용한 확률

정답 ②

📌 전체 경우

5개 중 2개 선택: \(_5C_2 = \dfrac{5 \times 4}{2} = 10\)

📌 흰 공 2개

3개 중 2개: \(_3C_2 = 3\)

🔢 확률

\(P = \dfrac{3}{10}\)

✅ 정답: ② \(\dfrac{3}{10}\)

조건부확률

정답 ③

📌 공식

\(P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\)

🔢 대입

\(P(B|A) = \dfrac{1/6}{1/2} = \dfrac{1}{6} \times 2 = \dfrac{1}{3}\)

✅ 정답: ③ \(\dfrac{1}{3}\)

독립사건 — 여사건의 독립

정답 ③

📌 성질

A, B가 독립이면 \(A^c\)와 \(B^c\)도 독립

📌 여사건 확률

\(P(A^c) = 1-\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3},\quad P(B^c) = 1-\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\)

🔢 계산

\(P(A^c \cap B^c) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}\)

✅ 정답: ③ \(\dfrac{1}{2}\)

나머지 정리

정답 ③

📌 나머지 정리

\(P(x)\)를 \((x-a)\)로 나눈 나머지 = \(P(a)\)

🔢 계산

\(P(2) = 2^3 - 2(2^2) + 3(2) - 1\) \(= 8 - 8 + 6 - 1 = 5\)

✅ 정답: ③ 5

나머지 정리 — 연립방정식 활용

정답 ④

📌 나머지 정리 적용

\(f(-1) = 3,\quad f(2) = 6\)

📌 나머지 \(ax+b\) 조건 설정

\(-a+b = 3 \cdots ①\) \(2a+b = 6 \cdots ②\)

🔢 연립풀이 ②-①

\(3a = 3 \Rightarrow a = 1\) \(b = 3+a = 4\)

💡 최종

\(a + b = 1 + 4 = 5\)

✅ 정답: ④ 5