📐 중1-1 기말 수학 핵심 기출 20선
소인수분해 · 정수와 유리수 · 문자와 식 · 일차방정식 · 좌표평면과 그래프
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단원 01
소인수분해
자연수를 소수의 곱으로 나타내는 방법과 최대공약수·최소공배수를 이해합니다.
개
핵심 개념 정리
소수
: 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 1보다 큰 자연수 (2, 3, 5, 7, 11, …)
소인수분해
: 자연수를 소수의 거듭제곱의 곱으로 나타내기
약수의 개수
: N = p
a
× q
b
이면 약수 개수 = (a+1)(b+1)
최대공약수(GCD)
: 공통 소인수를 가장 작은 지수로 곱함
최소공배수(LCM)
: 모든 소인수를 가장 큰 지수로 곱함
360 = 2³ × 3² × 5 | 약수 개수 = (3+1)(2+1)(1+1) = 24
GCD(12,18) = 2²×3 = 6 | LCM(12,18) = 2²×3² = 36
✏️ 반드시 암기
1은 소수도 합성수도 아니다! / 2는 유일한 짝수 소수
GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b
약수의 개수 공식: N=p
a
×q
b
→ (a+1)(b+1)개
📌 예제
72를 소인수분해하고 약수의 개수를 구하시오.
72 = 2³ × 3²
약수의 개수 = (3+1)(2+1) = 4 × 3 =
12
개
1
소인수분해
★★★ 고난이도
자연수
360
을 소인수분해하면
2
a
× 3
b
× 5
c
일 때,
a + b + c
의 값은?
①
5
②
6
③
7
④
8
⑤
9
2
소인수분해
★★★ 고난이도
두 수
A = 2
3
× 3 × 5
,
B = 2
2
× 3
2
× 7
의 최대공약수와 최소공배수의 합은?
①
2,510
②
2,520
③
2,532
④
2,540
⑤
2,544
3
소인수분해
★★★ 고난이도
2
a
× 3
2
의 약수의 개수가 12일 때, 자연수
a
의 값은?
①
1
②
2
③
3
④
4
⑤
5
4
소인수분해 활용
★★★ 고난이도
가로
72
cm, 세로
48
cm인 직사각형 땅을 남김없이 가장 큰 정사각형으로 나눌 때, 필요한 정사각형의 수는?
①
4
②
5
③
6
④
7
⑤
8
단원 02
정수와 유리수
음수와 유리수의 개념, 수의 대소 관계, 절댓값과 사칙연산을 다룹니다.
개
핵심 개념 정리
정수
: 양의 정수(자연수), 0, 음의 정수
유리수
: a/b (a, b는 정수, b≠0)로 나타낼 수 있는 수
절댓값
: 수직선에서 원점까지의 거리. |a|≥0 항상 성립
대소 관계
: 양수 > 0 > 음수 / 음수끼리는 절댓값이 클수록 더 작음
부호 규칙
: (-)×(-) = (+), (+)×(-) = (-)
덧셈: 같은 부호 → 부호 유지, 절댓값의 합
다른 부호 → 절댓값 큰 쪽 부호, 절댓값의 차
✏️ 반드시 암기
자연수 ⊂ 정수 ⊂ 유리수 (포함 관계)
|a| = a (a≥0), |a| = -a (a<0)
음수는 절댓값이 클수록 더 작다 (-5 < -2)
📌 예제
(-3) × (+5) + (-2)²를 계산하시오.
= (-15) + 4 =
-11
5
정수와 유리수
★★★ 고난이도
다음 중 옳지 않은 것을 모두 고른 것은?
ㄱ. 정수는 모두 유리수이다.
ㄴ. 유리수는 모두 정수이다.
ㄷ. 0은 양수도 음수도 아니다.
ㄹ. 음수는 절댓값이 클수록 크다.
①
ㄴ
②
ㄴ, ㄹ
③
ㄱ, ㄹ
④
ㄱ, ㄴ
⑤
ㄷ, ㄹ
6
정수와 유리수
★★★ 고난이도
(-2)
3
÷ (+4) × (-3/2)
의 값은?
①
-6
②
-3
③
3
④
6
⑤
-2
7
정수와 유리수
★★★ 고난이도
절댓값이 5 이하인 정수의 개수는?
①
9
②
10
③
11
④
12
⑤
8
8
정수와 유리수
★★★ 고난이도
a = -2/3
,
b = 3/4
일 때,
a ÷ b - a × b
의 값은?
①
-3/8
②
-5/6
③
-7/18
④
-1/2
⑤
1/6
단원 03
문자와 식
문자를 사용한 식의 표현, 다항식의 덧셈·뺄셈, 식의 값을 학습합니다.
개
핵심 개념 정리
항
: 수 또는 문자의 곱으로 이루어진 식의 단위
계수
: 항에서 문자에 곱해진 수 (예: 3x에서 계수는 3)
동류항
: 문자와 차수가 같은 항 (동류항끼리만 계산 가능)
일차식
: 차수가 정확히 1인 다항식 (예: 3x+2, -x+7)
분배법칙: a(b+c) = ab+ac
괄호 앞 음수: -(a-b) = -a+b, -(a+b) = -a-b
✏️ 반드시 암기
a×a = a², 1×a = a, (-1)×a = -a
상수끼리만, 동류항끼리만 덧뺄 수 있다
x²항이 있으면 이차식 → 일차식이 아님!
📌 예제
2(3x−1) − 3(x+2)를 간단히 하시오.
= 6x−2−3x−6 =
3x−8
9
문자와 식
★★★ 고난이도
4(2x−3) − 2(3x−5)
를 간단히 한 것은?
①
2x + 2
②
2x − 2
③
14x − 2
④
14x − 22
⑤
2x + 22
10
문자와 식
★★★ 고난이도
어떤 일차식에
3x − 2
를 더해야 할 것을 잘못하여 빼었더니
x + 4
가 되었다. 바른 계산의 결과는?
①
5x
②
6x + 2
③
6x
④
7x
⑤
7x + 2
11
문자와 식
★★★ 고난이도
x = −2
일 때,
3x
2
− 2x + 1
의 값은?
①
7
②
13
③
15
④
17
⑤
19
12
문자와 식
★★★ 고난이도
다음 중 일차식이
아닌
것은?
①
3x + 1
②
−x + 5
③
x² − x
④
2x − 7
⑤
−4x
단원 04
일차방정식
등식의 성질과 이항을 이용하여 일차방정식을 풀고 활용합니다.
개
핵심 개념 정리
방정식
: 미지수 값에 따라 참·거짓이 결정되는 등식
일차방정식
: ax + b = 0 (a≠0) 꼴의 방정식
이항
: 한 변의 항을 부호를 바꿔 반대편으로 옮기기
등식의 성질
: 양변에 같은 수를 더하거나 같은 수를 곱해도 등식 유지
풀이 순서: 괄호 풀기 → 분수/소수 제거 → 이항 → 동류항 정리 → ax=b → x=b/a
✏️ 반드시 암기
분수 포함: 양변에 분모의 LCM을 곱해 정수화
소수 포함: 양변에 10, 100 등 곱해 정수화
이항 시 반드시 부호가 바뀐다! (+→-, -→+)
📌 예제
3(x−2) = x + 4를 풀어라.
3x−6 = x+4 → 2x = 10 → x =
5
13
일차방정식
★★★ 고난이도
방정식
2(x+3) = 5x − 3
의 해는?
①
x = 1
②
x = 2
③
x = 3
④
x = 4
⑤
x = 5
14
일차방정식
★★★ 고난이도
방정식
x/3 − 1/2 = (x−1)/2
의 해는?
①
x = −1
②
x = 0
③
x = 1
④
x = 2
⑤
x = 3
15
일차방정식 활용
★★★ 고난이도
형의 나이는 동생 나이의 2배보다 3살이 많고, 두 사람 나이의 합이 33살이다. 동생의 나이는?
①
8살
②
9살
③
10살
④
11살
⑤
12살
16
일차방정식 활용
★★★ 고난이도
어떤 수의 3배에서 7을 뺀 값이 어떤 수보다 11만큼 크다고 할 때, 어떤 수는?
①
7
②
8
③
9
④
10
⑤
11
단원 05
좌표평면과 그래프
좌표평면 위의 점과 사분면, 정비례·반비례 관계와 그 그래프를 이해합니다.
개
핵심 개념 정리
좌표평면
: x축(가로)과 y축(세로)이 수직으로 만나는 평면
사분면
: 제1(+,+) · 제2(−,+) · 제3(−,−) · 제4(+,−)
정비례
: y = ax (a≠0), 반드시 원점(0,0)을 지나는 직선
반비례
: y = a/x (a≠0), xy = a (일정), 쌍곡선 그래프
정비례: a>0 우상향, a<0 우하향
반비례: a>0 → 1·3사분면, a<0 → 2·4사분면
✏️ 반드시 암기
x축 위의 점: y좌표 = 0 / y축 위의 점: x좌표 = 0
반비례: xy = a가 일정! (어떤 점을 넣어도 xy값 동일)
정비례 그래프는 원점을 반드시 지난다
📌 예제
점 (3, −2)는 몇 사분면에 있는가?
x = 3 > 0, y = −2 < 0 →
제4사분면
17
좌표평면
★★★ 고난이도
점 A(
a−1, 2a+3
)이 제2사분면에 있을 때, 정수
a
의 값으로 가능한 것을 모두 고른 것은?
①
a = −1만
②
a = 0만
③
a = −1, 0
④
a = 0, 1
⑤
a = −2, −1, 0
18
반비례
★★★ 고난이도
y가 x에 반비례하고,
x = −3
일 때
y = 4
이다.
x = 6
일 때, y의 값은?
①
−3
②
−2
③
2
④
3
⑤
−4
19
정비례
★★★ 고난이도
정비례 관계
y = ax
의 그래프가 점
(−2, 6)
을 지날 때,
x = 4
에서의 y의 값은?
①
8
②
−8
③
−12
④
12
⑤
−6
20
반비례 종합
★★★ 고난이도
반비례 관계
y = a/x
의 그래프가 점
(2, −6)
을 지나고, 또 다른 점
(b, 4)
도 지날 때,
a + b
의 값은?
①
−18
②
−9
③
−15
④
−6
⑤
−12
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1
소인수분해 — 지수 합
정답 ②
360을 소인수분해합니다.
360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45, 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5, 5 ÷ 5 = 1
∴
360 = 2
3
× 3
2
× 5
1
a = 3, b = 2, c = 1 → a + b + c = 3 + 2 + 1 =
6
→ 정답 ②
2
최대공약수와 최소공배수의 합
정답 ③
A = 2³ × 3 × 5, B = 2² × 3² × 7
GCD: 공통 소인수를
작은 지수
로 →
2
2
× 3 = 12
LCM: 모든 소인수를
큰 지수
로 →
2
3
× 3
2
× 5 × 7 = 8 × 9 × 5 × 7 = 2,520
GCD + LCM = 12 + 2,520 =
2,532
→ 정답 ③
3
약수의 개수로 지수 구하기
정답 ③
약수의 개수 공식:
2
a
× 3
2
→ (a+1)(2+1) = 3(a+1)
3(a+1) = 12 → a+1 = 4 → a = 3
∴ a =
3
→ 정답 ③
4
GCD 활용 — 정사각형 나누기
정답 ③
가장 큰 정사각형의 한 변 = GCD(72, 48)
72 = 2³ × 3², 48 = 2⁴ × 3 → GCD = 2³ × 3 = 24 cm
필요한 개수 = (72 ÷ 24) × (48 ÷ 24) = 3 × 2 = 6
∴ 정사각형 수 =
6
→ 정답 ③
5
유리수·정수 명제 판별
정답 ②
ㄱ. 정수 ⊂ 유리수 →
참
ㄴ. 유리수 ⊃ 정수이므로 유리수가 모두 정수는 아님 (예: 1/2) →
거짓
ㄷ. 0은 양수도 음수도 아님 →
참
ㄹ. 음수는 절댓값이 클수록 더 작음 (예: −5 < −2) →
거짓
옳지 않은 것: ㄴ, ㄹ → 정답 ②
6
정수 사칙연산 — 부호 처리
정답 ③
(-2)³ = -8 (음수의 홀수승 → 음수)
(-8) ÷ (+4) = -2
(-2) × (-3/2) = +3 (음수×음수 = 양수)
결과 =
3
→ 정답 ③
7
절댓값 조건 정수 개수
정답 ③
|x| ≤ 5인 정수: −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
양수 5개 + 0(1개) + 음수 5개 = 11개
∴ 정수 개수 =
11
→ 정답 ③
8
유리수 혼합 계산
정답 ③
a ÷ b = (−2/3) ÷ (3/4) = (−2/3) × (4/3) = −8/9
a × b = (−2/3) × (3/4) = −6/12 = −1/2
a ÷ b − a × b = −8/9 − (−1/2) = −8/9 + 1/2
공통분모 18: −16/18 + 9/18 = −7/18
∴ 결과 =
−7/18
→ 정답 ③
9
일차식의 덧셈·뺄셈
정답 ②
4(2x−3) − 2(3x−5)
= 8x − 12 − 6x + 10
= (8x − 6x) + (−12 + 10)
=
2x − 2
→ 정답 ②
10
잘못 계산한 식 복원
정답 ④
어떤 일차식을 A라 하면: 잘못한 계산 → A − (3x−2) = x + 4
A = x + 4 + (3x−2) = 4x + 2
올바른 계산: A + (3x−2) = (4x+2) + (3x−2) = 7x
∴ 바른 결과 =
7x
→ 정답 ④
11
식의 값 구하기
정답 ④
x = −2를 대입
3×(−2)² − 2×(−2) + 1 = 3×4 − (−4) + 1
= 12 + 4 + 1
=
17
→ 정답 ④
12
일차식 판별
정답 ③
일차식: 차수가 정확히 1인 식
x² − x: x²(차수 2)이 있으므로 이차식
x² − x는 이차식 → 일차식이 아님 → 정답 ③
13
일차방정식 풀기
정답 ③
2(x+3) = 5x − 3
2x + 6 = 5x − 3
6 + 3 = 5x − 2x → 9 = 3x
x =
3
→ 검산: 2(3+3)=12, 5×3−3=12 ✓ → 정답 ③
14
분수를 포함한 방정식
정답 ②
x/3 − 1/2 = (x−1)/2
양변에 6을 곱함: 2x − 3 = 3(x−1)
2x − 3 = 3x − 3 → −3 + 3 = 3x − 2x → x = 0
x =
0
→ 검산: 0/3−1/2 = −1/2, (0−1)/2 = −1/2 ✓ → 정답 ②
15
나이 문제 활용
정답 ③
동생 나이를 x살이라 하면 형의 나이 = 2x + 3
x + (2x + 3) = 33 → 3x + 3 = 33 → 3x = 30 → x = 10
동생 나이 =
10살
→ 검산: 10 + 23 = 33 ✓ → 정답 ③
16
어떤 수 구하기
정답 ③
어떤 수를 x라 하면: 3x − 7 = x + 11
2x = 18 → x = 9
∴ 어떤 수 =
9
→ 검산: 3×9−7=20, 9+11=20 ✓ → 정답 ③
17
사분면 조건으로 정수 구하기
정답 ③
제2사분면 조건: x좌표 < 0이고 y좌표 > 0
a − 1 < 0 → a < 1
2a + 3 > 0 → a > −3/2 = −1.5
조건: −1.5 < a < 1 → 정수: a = −1, 0
∴ a = −1, 0 → 정답 ③
18
반비례 관계 활용
정답 ②
y = a/x에 x = −3, y = 4 대입: 4 = a/(−3) → a = −12
y = −12/x에 x = 6 대입: y = −12/6 = −2
∴ y =
−2
→ 정답 ②
19
정비례 관계 활용
정답 ③
y = ax에 x = −2, y = 6 대입: 6 = a × (−2) → a = −3
y = −3x에 x = 4 대입: y = −3 × 4 = −12
∴ y =
−12
→ 정답 ③
20
반비례 — a+b 구하기
정답 ③
y = a/x에 x = 2, y = −6 대입: −6 = a/2 → a = −12
y = −12/x에 y = 4 대입: 4 = −12/b → b = −12/4 = −3
a + b = −12 + (−3) = −15
∴ a + b =
−15
→ 정답 ③
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