2025 기말고사 완전 대비

중2-1 기말 수학
핵심 기출문제 20선

연립방정식 · 일차부등식 · 일차함수 | 전단원 고난도 기출 유형

20
문항 수
40
분 제한
100
만 점
남은 시간
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개념 & 핵심 암기
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UNIT 01
연립방정식
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연립방정식: 두 미지수 \(x, y\)에 대한 두 방정식을 동시에 만족하는 \((x,y)\) 값을 구하는 것
  • 가감법: 두 식을 더하거나 빼서 미지수 하나를 소거 → 계수를 맞추려면 양변에 적당한 수를 곱함
  • 대입법: 한 식에서 \(x=\cdots\) 또는 \(y=\cdots\)로 정리 후 나머지 식에 대입
  • 해가 없음: 두 직선이 평행 (기울기 같고, y절편 다름)
  • 해가 무수히 많음: 두 직선이 일치 (기울기, y절편 모두 같음)
  • 소수·분수 계수: 양변에 적당한 수를 곱해 정수로 변환 후 풀기
예제
\(\begin{cases}3x+2y=12\\5x-2y=4\end{cases}\) 을 가감법으로 풀어라.
두 식을 더하면 \(8x=16\) → \(x=2\)
대입: \(6+2y=12\) → \(y=3\)
정답: \(x=2,\;y=3\)
UNIT 02
일차부등식
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부등식의 성질 ★ 필수 암기
① 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호 방향 유지
② 양변에 양수를 곱하거나 나누면 부등호 방향 유지
③ 양변에 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향 반대!
  • 이항 시 부호 바뀜: \(2x-3>5\) → \(2x>5+3\) → \(2x>8\)
  • 연립부등식: 각각 풀고 → 공통 범위(수직선에서 겹치는 부분)
  • 자연수·정수 조건이 있으면 범위 안의 해를 개수로 세기
  • 활용 문제: 미지수 설정 → 부등식 세우기 → 풀기 → 검토
예제
\(-2(x-3) < x+3\) 을 풀어라.
\(-2x+6 < x+3\) → \(-3x < -3\) → 양변을 \(-3\)으로 나누면
부등호 반대! → \(x>1\)
정답: \(x > 1\)
UNIT 03
일차함수와 그래프
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\(y = ax + b\)
\(a\) = 기울기 \(= \dfrac{y\text{의 증가량}}{x\text{의 증가량}}\)  |  \(b\) = y절편
x절편 \(= -\dfrac{b}{a}\)  (단, \(a \neq 0\))
  • \(a>0\): 우상향(증가), \(a<0\): 우하향(감소)
  • 두 점 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)을 지날 때 기울기 \(= \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
  • 평행: 기울기 같고 y절편 다름 | 일치: 기울기·y절편 모두 같음
  • 연립방정식의 해 = 두 직선의 교점 좌표
  • 사분면: \(a>0,b>0\)→1·2·3 / \(a>0,b<0\)→1·3·4 / \(a<0,b>0\)→1·2·4 / \(a<0,b<0\)→2·3·4
예제
두 점 \((-1,3),(3,-1)\)을 지나는 일차함수의 식을 구하라.
기울기 \(=\dfrac{-1-3}{3-(-1)}=\dfrac{-4}{4}=-1\)
\(y=-x+b\), \(x=-1,y=3\) 대입: \(3=1+b\) → \(b=2\)
정답: \(y=-x+2\)
UNIT 04
일차함수와 일차방정식의 관계
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핵심 관계
• 일차방정식 \(ax+by+c=0\) → \(y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}\) (\(b\neq0\))
• \(x=p\): y축에 평행한 수직선, x절편=\(p\)
• \(y=q\): x축에 평행한 수평선, y절편=\(q\)
  • 연립방정식의 해 ↔ 두 직선의 교점 좌표
  • 해가 무수히 많다 → 두 직선 일치 → 두 방정식의 계수 비율 모두 같음
  • 해가 없다 → 두 직선 평행 → 기울기만 같고 y절편은 다름
예제
\(ax-2y=4,\;3x-6y=b\)의 해가 무수히 많을 때, \(a+b\)는?
두 식이 일치 → \(\dfrac{a}{3}=\dfrac{-2}{-6}=\dfrac{4}{b}\) → \(a=1,\;b=12\)
정답: \(a+b=13\)
EXAM START
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기출 실전 문제 20선
각 문항 5점 · 총 100점
Q.01연립방정식 · 가감법★★★ 고난도
연립방정식 \(\begin{cases}3x+2y=12\\5x-2y=4\end{cases}\)의 해 \((x,y)\)에서 \(x+y\)의 값은?
풀이 해설
1두 식을 더한다: \((3x+2y)+(5x-2y)=12+4\) → \(8x=16\) → \(\mathbf{x=2}\)
2\(x=2\)를 첫째 식에 대입: \(3(2)+2y=12\) → \(2y=6\) → \(\mathbf{y=3}\)
3\(x+y=2+3=\mathbf{5}\)
정답: ③ 5
Q.02연립방정식 · 대입법★★★ 고난도
연립방정식 \(\begin{cases}2x+y=7\\x-y=2\end{cases}\)의 해 \((a,b)\)에 대해 \(a+b\)의 값은?
풀이 해설
1두 식을 더한다: \((2x+y)+(x-y)=7+2\) → \(3x=9\) → \(\mathbf{x=3}\)
2\(x=3\)을 \(x-y=2\)에 대입: \(3-y=2\) → \(\mathbf{y=1}\)
3\(a+b=x+y=3+1=\mathbf{4}\)
정답: ③ 4
Q.03연립방정식 · 분수계수★★★★ 최고난도
연립방정식 \(\begin{cases}\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}=4\\[6pt]x-y=3\end{cases}\)의 해 \((x,y)\)에서 \(xy\)의 값은?
풀이 해설
1첫째 식의 양변에 6을 곱해 정수화: \(3x+2y=24\)
2\(x-y=3\) → \(x=y+3\)을 대입: \(3(y+3)+2y=24\) → \(5y=15\) → \(\mathbf{y=3}\)
3\(x=3+3=\mathbf{6}\)
4\(xy=6\times3=\mathbf{18}\)
정답: ④ 18
Q.04연립방정식 · A=B=C형★★★★ 최고난도
\(\dfrac{x+2y}{3} = \dfrac{3x-y}{2} = 2\) 를 만족시키는 \(x, y\)에 대해 \(x+y\)의 값은?
풀이 해설
1각 분수식 = 2로 놓으면: \(x+2y=6\) ···①, \(3x-y=4\) ···②
2②×2+①: \(7x=14\) → \(\mathbf{x=2}\)
3①에 대입: \(2+2y=6\) → \(\mathbf{y=2}\)
4\(x+y=2+2=\mathbf{4}\)
정답: ③ 4
Q.05연립방정식 · 해의 조건★★★★ 최고난도
연립방정식 \(\begin{cases}3x-2y=6\\6x-4y=a\end{cases}\)가 해가 없을 때, 상수 \(a\)의 조건으로 옳은 것은?
풀이 해설
1첫째 식 ×2: \(6x-4y=12\) → 이 식과 둘째 식 \(6x-4y=a\)를 비교
2좌변이 완전히 같으므로, \(a=12\)이면 두 직선이 일치(해 무수히 많음)
3\(a\neq12\)이면 두 직선이 평행 → 해가 없다
정답: ④ a ≠ 12
Q.06일차부등식 · 기본★★ 중간
부등식 \(-2(x-3) < x+3\)의 해로 옳은 것은?
풀이 해설
1괄호 풀기: \(-2x+6 < x+3\)
2이항: \(-2x-x < 3-6\) → \(-3x < -3\)
3양변을 \(-3\)으로 나누면 부등호 방향 반대! → \(x > 1\)
정답: ② x > 1
Q.07일차부등식 · 자연수 해★★★ 고난도
부등식 \(3(x-1) \leq 2x+1\)을 만족시키는 자연수 \(x\)의 개수는?
풀이 해설
1괄호 풀기: \(3x-3 \leq 2x+1\)
2이항: \(3x-2x \leq 1+3\) → \(\mathbf{x \leq 4}\)
3자연수 중 \(x \leq 4\)인 것: \(1, 2, 3, 4\) → 4개
정답: ③ 4개
Q.08연립부등식 · 정수 해★★★ 고난도
연립부등식 \(\begin{cases}2x-1>5\\x-3<5\end{cases}\)를 동시에 만족시키는 정수 \(x\)의 개수는?
풀이 해설
1첫째 부등식: \(2x-1>5\) → \(2x>6\) → \(x>3\)
2둘째 부등식: \(x-3<5\) → \(x<8\)
3공통 범위: \(3 < x < 8\)
4이 범위의 정수: \(4, 5, 6, 7\) → 4개
정답: ③ 4개
Q.09부등식 활용 · 개수★★★ 고난도
한 개에 800원인 음료수를 5000원으로 사고, 잔돈이 600원 이상 남으려면 음료수를 최대 몇 개까지 살 수 있는가?
풀이 해설
1음료수 \(x\)개를 산다고 하면, 잔돈 = \(5000-800x\)
2부등식 세우기: \(5000-800x \geq 600\)
3\(-800x \geq -4400\) → 양변을 \(-800\)으로 나누면 부등호 반대!
\(x \leq 5.5\)
4\(x\)는 자연수이므로 최대 \(\mathbf{5}\)개
정답: ② 5개
Q.10부등식 · 미지수 조건★★★★ 최고난도
부등식 \(ax+1>3\)의 해가 \(x < -2\)일 때, 상수 \(a\)의 값은?
풀이 해설
1\(ax+1>3\) → \(ax>2\)
2해가 \(x < -2\)이므로 부등호 방향이 뒤집어짐 → \(a < 0\)
따라서 \(x < \dfrac{2}{a}\)
3\(\dfrac{2}{a}=-2\) → \(a=\mathbf{-1}\)
4검증: \(a=-1\)이면 \(-x>2\) → \(x<-2\) ✓
정답: ② -1
Q.11일차함수 · 식 구하기★★ 중간
기울기가 3이고 점 \((1, 5)\)를 지나는 일차함수의 y절편은?
풀이 해설
1기울기가 3이므로 \(y=3x+b\)로 놓는다.
2점 \((1,5)\) 대입: \(5=3(1)+b\) → \(b=2\)
3따라서 \(y=3x+2\), y절편 = \(\mathbf{2}\)
정답: ② 2
Q.12일차함수 · 두 점 주어질 때★★★ 고난도
두 점 \((-1, 3)\)과 \((3, -1)\)을 지나는 일차함수 \(y=ax+b\)에서 x절편의 값은?
풀이 해설
1기울기 \(a=\dfrac{-1-3}{3-(-1)}=\dfrac{-4}{4}=-1\)
2\(y=-x+b\)에 \((-1,3)\) 대입: \(3=1+b\) → \(b=2\)
3일차함수: \(y=-x+2\)
4x절편: \(y=0\) → \(0=-x+2\) → \(\mathbf{x=2}\)
정답: ③ 2
Q.13일차함수 · x·y절편★★★ 고난도
x절편이 \(-3\)이고 y절편이 \(2\)인 일차함수의 기울기는?
풀이 해설
1x절편 \(-3\) → 점 \((-3, 0)\), y절편 \(2\) → 점 \((0, 2)\)를 지남
2기울기 \(= \dfrac{2-0}{0-(-3)} = \dfrac{2}{3}\)
3검증: \(y=\dfrac{2}{3}x+2\), \(x=-3\)이면 \(y=-2+2=0\) ✓
정답: ③ 2/3
Q.14일차함수 · 사분면★★★ 고난도
일차함수 \(y=-2x+3\)의 그래프가 지나지 않는 사분면은?
풀이 해설
1기울기 \(a=-2 < 0\): 우하향, y절편 \(b=3 > 0\)
2\(a < 0, b > 0\)일 때 그래프는 제1·2·4사분면을 지남
3x절편: \(y=0\) → \(x=\dfrac{3}{2}>0\) → 제1사분면에서 x축과 만남
4따라서 제3사분면을 지나지 않음
정답: ③ 제3사분면
Q.15일차함수 활용 · 시간★★★ 고난도
처음 길이가 20 cm인 양초가 1분마다 0.5 cm씩 타서 줄어든다. 양초의 길이가 8 cm가 되는 것은 몇 분 후인가?
풀이 해설
1\(x\)분 후 양초 길이: \(y=20-0.5x\)
2\(y=8\) 대입: \(8=20-0.5x\)
3\(0.5x=12\) → \(x=\mathbf{24}\)분
정답: ④ 24분
Q.16일차함수 · 두 직선의 교점★★★ 고난도
두 직선 \(y=2x-1\)과 \(y=-x+5\)의 교점의 좌표는?
풀이 해설
1교점은 두 직선의 방정식을 연립하여 구한다.
2\(2x-1=-x+5\) → \(3x=6\) → \(\mathbf{x=2}\)
3\(y=2(2)-1=\mathbf{3}\)
4검증: \(y=-2+5=3\) ✓, 교점 \((2,3)\)
정답: ④ (2, 3)
Q.17일차함수와 방정식 · 일치 조건★★★★ 최고난도
연립방정식 \(\begin{cases}ax-2y=4\\3x-6y=b\end{cases}\)의 해가 무수히 많을 때, \(a+b\)의 값은?
풀이 해설
1해가 무수히 많으면 두 식이 일치 → 계수의 비가 모두 같아야 함
2\(\dfrac{a}{3}=\dfrac{-2}{-6}=\dfrac{4}{b}\)
3\(\dfrac{-2}{-6}=\dfrac{1}{3}\)이므로: \(\dfrac{a}{3}=\dfrac{1}{3}\) → \(\mathbf{a=1}\)
4\(\dfrac{4}{b}=\dfrac{1}{3}\) → \(\mathbf{b=12}\)
5\(a+b=1+12=\mathbf{13}\)
정답: ③ 13
Q.18부등식 활용 · 속력·거리★★★★ 최고난도
집에서 도서관까지의 거리를 \(d\,\text{m}\)라 하자. 분속 50 m로 걸어가면 분속 200 m로 자전거를 타는 것보다 30분 이상 더 걸린다. \(d\)의 범위를 구하면?
풀이 해설
1걷는 시간: \(\dfrac{d}{50}\)분, 자전거 시간: \(\dfrac{d}{200}\)분
2부등식: \(\dfrac{d}{50} - \dfrac{d}{200} \geq 30\)
3양변에 200을 곱함: \(4d - d \geq 6000\) → \(3d \geq 6000\)
4\(\mathbf{d \geq 2000}\) (m)
정답: ④ d ≥ 2000
Q.19일차함수 · 부호 조건과 사분면★★★★ 최고난도
일차함수 \(y=ax+b\)에서 \(a<0\), \(b<0\)일 때, 이 그래프가 지나지 않는 사분면은?
풀이 해설
1\(a<0\): 기울기 음수 → 우하향, y절편 \(b<0\): y축과 음수에서 만남
2x절편 \(=-\dfrac{b}{a}\): \(b<0, a<0\)이면 \(-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-b}{a}\), \(-b>0\), \(a<0\) → x절편 \(<0\)
3x절편 \(<0\), y절편 \(<0\) → 그래프는 제2·3·4사분면을 지남
4따라서 제1사분면을 지나지 않는다
정답: ① 제1사분면
Q.20연립방정식 활용 · 수 관계★★★★ 최고난도
닭과 토끼를 합쳐서 10마리가 있고, 다리 수의 합이 28개이다. 토끼는 몇 마리인가?
풀이 해설
1닭 \(x\)마리, 토끼 \(y\)마리로 놓으면
2\(\begin{cases}x+y=10\\ 2x+4y=28\end{cases}\)
3둘째 식을 2로 나눔: \(x+2y=14\)
4(새 식)−(첫째 식): \(y=4\) → 토끼 4마리
5검증: 닭 6마리, 토끼 4마리 → 합 10마리 ✓, 다리: \(12+16=28\) ✓
정답: ③ 4마리
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