2025 수능 완전정복

수능 수학
킬러문항 20선

전 단원 핵심 기출 유형 완전정복

📚 20문제 전 단원 ⏱ 100분 제한 🎯 킬러 난이도 📊 5점씩 100점

📐 단원별 핵심 개념 · 공식 · 암기

1

지수함수 · 로그함수

DEFINITION

y=aˣ (a>0,a≠1): a>1이면 증가, 0<a<1이면 감소. 점근선 y=0.

★ 핵심 공식
① logₐ(xy) = logₐx + logₐy
② logₐ(x/y) = logₐx − logₐy
③ logₐxⁿ = n·logₐx
④ 밑변환: logₐb = log b / log a
⑤ a^(logₐb) = b
⚡ 킬러 포인트

• 진수 조건 (>0) 반드시 확인
• 밑을 통일 후 지수 비교
• 치환: t = logₐx 활용

📝 예제
log₂8 + log₂(1/2)의 값은?
= log₂2³ + log₂2⁻¹ = 3 − 1 = 2
2

삼각함수

★ 핵심 공식
① sin²θ + cos²θ = 1
② sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ
③ cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ
④ sin2θ = 2sinθcosθ
⑤ cos2θ = cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ
⑥ 코사인 법칙: a² = b²+c²−2bc cosA
⚡ 킬러 포인트

• 합성: a sinθ + b cosθ = √(a²+b²)·sin(θ+φ)
• 사인법칙: a/sinA = 2R
• 주기·최대최소 범위 확인

📝 예제
sin75°의 값은?
sin(45°+30°) = (√6+√2)/4
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미분법

★ 핵심 공식
① (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
② (eˣ)' = eˣ, (aˣ)' = aˣ lna
③ (lnx)' = 1/x
④ (sinx)' = cosx, (cosx)' = −sinx
⑤ 합성: {f(g(x))}' = f'(g(x))·g'(x)
⑥ 적의 미분: (uv)' = u'v + uv'
⚡ 킬러 포인트

• 극값: f'(x)=0 이고 부호 변화
• 변곡점: f''(x)=0 이고 부호 변화
• 역함수 미분: g'(b)=1/f'(a), f(a)=b

📝 예제
f(x)=x³−3x의 극솟값은?
f'(x)=3x²−3=0 → x=1, f(1)=−2 → 극솟값 −2
4

적분법

★ 핵심 공식
① ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1)+C (n≠−1)
② ∫eˣdx = eˣ+C
③ ∫(1/x)dx = ln|x|+C
④ ∫sinx dx = −cosx+C
⑤ ∫cosx dx = sinx+C
⑥ 넓이: ∫ₐᵇ|f(x)−g(x)|dx
⚡ 킬러 포인트

• 치환적분: u=g(x), du=g'(x)dx
• 부분적분: ∫uv'=uv−∫u'v
• 부호 주의! 위 − 아래

📝 예제
∫₀²(3x²+2x)dx의 값은?
[x³+x²]₀² = 8+4 = 12
5

수열의 극한 · 급수

★ 핵심 공식
① 등비급수: S = a/(1−r), |r|<1
② Σk = n(n+1)/2
③ Σk² = n(n+1)(2n+1)/6
④ Σk³ = [n(n+1)/2]²
⑤ 급수 수렴 ↔ 부분합 수열 수렴
⚡ 킬러 포인트

• 점화식 aₙ₊₁=paₙ+q → 특수해 α=q/(1−p)
• 수학적 귀납법: n=1 → k 가정 → k+1 증명
• ∞/∞: 최고차항으로 나누기

📝 예제
1 + 1/3 + 1/9 + ···의 합은?
a=1, r=1/3 → S=1/(1−1/3) = 3/2
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확률 · 통계

★ 핵심 공식
① P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
② 조건부: P(B|A)=P(A∩B)/P(A)
③ B(n,p): E=np, V=np(1−p)
④ 표준화: Z=(X−μ)/σ
⑤ ₙCᵣ = n!/(r!(n−r)!)
⚡ 킬러 포인트

• 독립: P(A∩B)=P(A)·P(B)
• 표본평균: E(X̄)=μ, V(X̄)=σ²/n
• 신뢰구간: X̄±1.96·σ/√n (95%)

📝 예제
X~B(100,0.3)일 때 E(X), V(X)는?
E(X)=30, V(X)=100×0.3×0.7=21
7

벡터 · 기하

★ 핵심 공식
① 내적: a⃗·b⃗=|a||b|cosθ
② 수직: a⃗·b⃗=0
③ 포물선 y²=4px: 초점(p,0), 준선x=−p
④ 타원 x²/a²+y²/b²=1: c²=a²−b²
⑤ 쌍곡선 x²/a²−y²/b²=1: 점근선 y=±(b/a)x
⚡ 킬러 포인트

• 성분 표현으로 내적 계산
• 두 직선 수직: 방향벡터 내적=0
• 원과 직선: d vs r 비교

📝 예제
(3,4)·(1,0)의 내적은?
3×1+4×0 = 3
문제 1/20
⏱ 100:00

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