Heart of Algebra — Linear Equations & Systems
Concept
일차방정식은 분배(distribute) → 동류항 정리(combine like terms) → 변수 고립(isolate)의 3단계로 푼다. 연립방정식은 대입법(substitution) 또는 가감법(elimination)으로 한 변수를 소거한다.
★ Memorize
가감법: 두 식을 더하거나 빼서 변수 하나를 없앤다 → (2x+y)+(x−y)=3x 형태로 정리.
Worked Example
If 4(x + 2) − 3 = 2x + 9, what is the value of x?
4x + 8 − 3 = 2x + 9 4x + 5 = 2x + 9 2x = 4 → x = 2
✓ Answer: x = 2If 3(x − 4) + 5 = 2x + 7, what is the value of x?
If 2x + y = 11 and x − y = 1, what is the value of x?
Linear Functions & Graphs
Concept
일차함수는 y = mx + b 형태이며, m은 기울기(slope), b는 y절편(y-intercept)이다. 기울기는 두 점 사이의 변화율이다.
★ Memorize
기울기 공식: m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁). 평행선은 기울기가 같고, 수직선은 기울기의 곱이 −1이다.
Worked Example
A line passes through (1, 4) and (3, 10). What is the slope?
m = (10 − 4)/(3 − 1) = 6/2 = 3
✓ Answer: 3A line passes through the points (2, 5) and (4, 11). What is the slope of this line?
A candle is 20 centimeters tall and burns at a constant rate of 2 centimeters per hour. Which equation gives the height h, in centimeters, of the candle after t hours of burning?
Quadratic Equations & Functions
Concept
이차방정식 ax² + bx + c = 0은 인수분해, 완전제곱식, 또는 근의 공식으로 푼다. 꼭짓점 형태 y = a(x−h)² + k는 꼭짓점이 (h, k)임을 바로 보여준다.
★ Memorize
근의 공식: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. 판별식 b²−4ac > 0이면 실근 2개, = 0이면 1개, < 0이면 실근 없음. a>0이면 최솟값, a<0이면 최댓값을 가진다.
Worked Example
What are the solutions to x² − 3x − 10 = 0?
두 수의 곱 = −10, 합 = −3 → −5와 2 (x − 5)(x + 2) = 0 → x = 5 또는 x = −2
✓ Answer: x = 5, −2What are the solutions to x² − 5x − 14 = 0?
The function f(x) = −2(x − 3)² + 8 reaches its maximum value when x equals what?
What is the positive solution to 2x² + 3x − 9 = 0?
Exponents, Radicals & Polynomials
Concept
지수법칙: 같은 밑끼리 곱하면 지수를 더하고, 나누면 지수를 뺀다. 다항식의 곱은 분배법칙(FOIL)으로 전개한다.
★ Memorize
aᵘ · aᵛ = a^(u+v), aᵘ/aᵛ = a^(u−v), (aᵘ)ᵛ = a^(uv). 곱셈공식: (a+b)² = a²+2ab+b², (a+b)(a−b) = a²−b².
Worked Example
Which expression is equivalent to (x² · x⁶) / x³?
x^(2+6)/x³ = x⁸/x³ = x⁵
✓ Answer: x⁵Which expression is equivalent to (x³ · x⁵) / x² for x ≠ 0?
Which expression is equivalent to (2x − 3)(x + 4)?
Rational Expressions & Equations
Concept
분수방정식은 양변에 분모의 최소공배수(LCD)를 곱해 분모를 없앤 뒤 푼다. 단, 분모를 0으로 만드는 값(extraneous solution)은 답에서 제외해야 한다.
★ Memorize
교차곱(cross-multiplication): a/b = c/d ⟺ ad = bc. 풀고 난 후 반드시 원래 분모가 0이 되지 않는지 확인한다.
Worked Example
Solve: 4/(x−1) = 2/(x+3), where x ≠ 1, −3.
4(x+3) = 2(x−1) 4x+12 = 2x−2 2x = −14 → x = −7
✓ Answer: x = −7What is the solution to 3/(x−2) = 6/(x+1), where x ≠ 2, −1?
Functions — Composition & Transformation
Concept
합성함수 f(g(x))는 안쪽 함수부터 먼저 계산한다. 함수의 평행이동은 f(x−h)+k 형태로, x축/y축 방향 이동을 나타낸다.
★ Memorize
f(x−h)는 오른쪽으로 h만큼, f(x)+k는 위로 k만큼 이동. −f(x)는 x축 기준 대칭(reflection).
Worked Example
If f(x) = x + 5 and g(x) = 3x, what is f(g(1))?
g(1) = 3(1) = 3 f(3) = 3 + 5 = 8
✓ Answer: 8If f(x) = x² + 1 and g(x) = 2x − 3, what is the value of f(g(2))?
The graph of g is the graph of f(x) = x² shifted 3 units to the right and 2 units down. Which equation defines g(x)?
Ratios, Rates, Proportions & Percentages
Concept
비율 문제는 비례식을 세우고 교차곱으로 푼다. 퍼센트 증가/감소는 원래 값에 (1 ± r/100)을 곱해 계산한다.
★ Memorize
"r%만큼 증가" → ×(1 + r/100), "r%만큼 감소" → ×(1 − r/100). 연속된 변화는 순서대로 곱한다 (한 번에 더하지 않는다).
Worked Example
A $50 item is increased by 10%, then decreased by 10%. What is the final price?
50 × 1.10 = 55 55 × 0.90 = 49.50
✓ Answer: $49.50 (원래 가격보다 낮음에 주의)A shirt's price of $40 is increased by 15%. The new price is then decreased by 20%. What is the final price of the shirt?
A recipe uses 3 cups of flour for every 2 cups of sugar. If a baker uses 12 cups of flour, how many cups of sugar are needed to keep the same ratio?
Statistics — Mean, Median & Standard Deviation
Concept
평균(mean)은 모든 값의 합을 개수로 나눈 값, 중앙값(median)은 정렬했을 때 가운데 값이다. 표준편차(standard deviation)는 데이터가 평균으로부터 얼마나 퍼져 있는지를 나타낸다.
★ Memorize
모든 데이터에 같은 수 k를 더하면 평균과 중앙값도 k만큼 증가하지만, 표준편차는 변하지 않는다. 모든 데이터에 k를 곱하면 표준편차도 |k|배가 된다.
Worked Example
A data set has a median of 12. If every value is increased by 5, what is the new median?
새 중앙값 = 기존 중앙값 + 5 = 17
✓ Answer: 17The mean of a data set of 5 numbers is 20. If each number in the set is increased by 4, what is the new mean of the set?
Data Set A: {10, 10, 10, 10}. Data Set B: {2, 8, 12, 18}. Both sets have a mean of 10. Which statement about the standard deviations of the two sets must be true?
Probability
Concept
확률 = (원하는 경우의 수) / (전체 경우의 수). "~가 아닐 확률"은 1 − P(사건)으로 구한다.
★ Memorize
독립사건의 "그리고(and)"는 확률을 곱하고, "또는(or)" (배반사건)은 확률을 더한다. 표(table) 문제는 항상 전체 합계 행/열을 먼저 확인한다.
Worked Example
A jar has 6 red and 4 yellow candies. What is the probability of NOT picking yellow?
전체 = 10, yellow = 4, not yellow = 6 P = 6/10 = 3/5
✓ Answer: 3/5A bag contains 4 red, 3 blue, and 5 green marbles. If one marble is drawn at random, what is the probability that it is NOT green?
Geometry — Triangles, Circles & Volume
Concept
직각삼각형은 피타고라스 정리 a² + b² = c²를 사용한다. 원의 표준방정식은 (x−h)² + (y−k)² = r² (중심 (h,k), 반지름 r). 입체도형은 부피 공식을 정확히 외워야 한다.
★ Memorize
원기둥: V = πr²h · 원뿔: V = (1/3)πr²h · 구: V = (4/3)πr³. 특수각 삼각형 30-60-90 비율은 x : x√3 : 2x, 45-45-90은 x : x : x√2.
Worked Example
A right triangle has legs of length 6 and 8. What is the hypotenuse?
c = √(6² + 8²) = √(36+64) = √100 = 10
✓ Answer: 10A right triangle has legs of length 9 and 12. What is the length of the hypotenuse?
A circle in the xy-plane has the equation (x − 2)² + (y + 3)² = 49. What is the radius of the circle?
A right circular cylinder has a radius of 3 and a height of 10. What is the volume of the cylinder, in terms of π?
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