고2-1 기말수학 핵심 기출 20제

① 수열

핵심 개념

등차수열과 등비수열

등차수열: \(a_n = a_1 + (n-1)d\), \(S_n = \dfrac{n\{2a_1+(n-1)d\}}{2}\)
등비수열: \(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\), \(S_n = \dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1}\) \((r \ne 1)\)

등차중항: \(2b = a+c\), 등비중항: \(b^2 = ac\)
등차수열의 합 공식: \(S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}\)
\(a_n = S_n - S_{n-1}\) (\(n \ge 2\)), \(a_1 = S_1\)

예제

등차수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_3=7\), \(a_7=15\)일 때, \(a_{20}\)을 구하여라.

풀이: \(d=2\), \(a_1=3\) → \(a_{20}=3+19\times2=41\)

핵심 개념

수열의 합 시그마(\(\sum\)) 공식

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k = \dfrac{n(n+1)}{2}\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3 = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^{\!2}\)

\(\sum\) 상수 \(c\) : \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c = cn\)
분리 법칙: \(\displaystyle\sum(a_k \pm b_k) = \sum a_k \pm \sum b_k\)
부분분수: \(\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}\) 이용

예제

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}(3k^2-k)\) 를 구하여라.

풀이: \(3\cdot\dfrac{10\cdot11\cdot21}{6} - \dfrac{10\cdot11}{2} = 1155 - 55 = 1100\)

② 지수·로그

핵심 개념

지수법칙 & 로그 성질

지수: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\), \(\;(a^m)^n=a^{mn}\), \(\;a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\), \(\;a^{1/n}=\sqrt[n]{a}\)

로그: \(\log_a MN = \log_a M+\log_a N\), \;\(\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N\)
\(\log_a M^n = n\log_a M\), \;\(\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}\) (밑변환)

\(\log_a a = 1\), \(\log_a 1 = 0\)
\(a^{\log_a N} = N\) — 역함수 관계 핵심
상용로그: \(\log_{10} 2 \approx 0.3010\), \(\;\log_{10} 3 \approx 0.4771\)

예제

\(\log_2 6 + \log_2 \dfrac{4}{3}\) 을 계산하여라.

풀이: \(\log_2\!\left(6\times\dfrac{4}{3}\right)=\log_2 8 = 3\)

핵심 개념

지수함수·로그함수 그래프

\(y=a^x\) (\(a>1\)): 증가, 점근선 \(y=0\), 점 \((0,1)\) 통과
\(y=\log_a x\) (\(a>1\)): 증가, 점근선 \(x=0\), 점 \((1,0)\) 통과
서로 역함수 → \(y=x\)에 대칭
지수·로그 방정식: 양변을 같은 밑으로 맞추거나 \(t=a^x\) 치환

예제

\(4^x - 3\cdot2^x - 4 = 0\) 의 실수 해를 구하여라.

풀이: \(t=2^x\)로 치환 → \(t^2-3t-4=0\) → \((t-4)(t+1)=0\) → \(t=4\) → \(x=2\)

③ 삼각함수

핵심 개념

삼각함수 기본 공식

\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\), \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
\(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\), \(1+\cot^2\theta = \csc^2\theta\)

특수각: \(\sin30°=\tfrac{1}{2}\), \(\cos30°=\tfrac{\sqrt3}{2}\), \(\tan30°=\tfrac{1}{\sqrt3}\)
특수각: \(\sin45°=\tfrac{\sqrt2}{2}\), \(\sin60°=\tfrac{\sqrt3}{2}\)
호도법: \(180°= \pi\) rad, 호의 길이 \(l=r\theta\), 넓이 \(S=\tfrac{1}{2}r^2\theta\)

예제

\(\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{\sqrt{6}}{2}\) 일 때, \(\sin\theta\cos\theta\) 를 구하여라.

풀이: 양변 제곱 → \(1+2\sin\theta\cos\theta=\dfrac{3}{2}\) → \(\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\)

핵심 개념

삼각함수의 그래프 · 주기

\(y=a\sin(bx+c)+d\): 진폭 \(|a|\), 주기 \(\dfrac{2\pi}{|b|}\), 수직이동 \(d\)
\(y=\tan x\): 주기 \(\pi\), 점근선 \(x=\dfrac{\pi}{2}+n\pi\)
덧셈정리: \(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)
배각공식: \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\), \(\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha\)

예제

\(y=3\sin\!\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)+1\)의 최댓값과 주기를 구하여라.

최댓값: \(3+1=4\), 주기: \(\dfrac{2\pi}{2}=\pi\)

④ 수열의 극한

핵심 개념

수열의 극한 계산법

분모·분자 최고차항으로 나누기: \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{an^2+\cdots}{bn^2+\cdots}=\dfrac{a}{b}\)
\(\infty-\infty\) 꼴: 분자 유리화 또는 인수분해
등비급수: \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\dfrac{a}{1-r}\) (\(|r|<1\))

수렴 조건: 등비수열 \(r^n\) → \(|r|<1\)이면 \(0\)으로 수렴
최고차항 차수 비교: (분자) > (분모) → \(\pm\infty\), = → 계수비, < → 0
샌드위치 정리(조임 정리) 자주 출제

예제

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{3n^2+2n-1}{2n^2-n+4}\) 를 구하여라.

풀이: 분모·분자를 \(n^2\)으로 나누면 → \(\dfrac{3}{2}\)