📚 단원별 핵심 개념 & 암기

시험 전 꼭 알아야 할 개념과 공식

소인수분해

소수: 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 1보다 큰 자연수
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …)

합성수: 소수도 1도 아닌 자연수 (4, 6, 8, 9, 10, …)

소인수분해: 자연수를 소수의 곱으로 나타내는 것

72 = 2³ × 3²
(소인수: 2, 3)

⚡ 1은 소수도 합성수도 아니다 ⚡ 2는 유일한 짝수 소수 ⚡ 소인수분해는 유일하다

예제

180을 소인수분해하고 소인수의 합을 구하여라.

180 = 2² × 3² × 5 → 소인수: 2, 3, 5 → 합 = 10

약수의 개수 공식

a^m × bⁿ의 약수의 개수 = (m+1)(n+1)

72 = 2³ × 3² → (3+1)(2+1) = 12개

정수와 유리수

정수: 양의 정수(자연수) + 0 + 음의 정수
유리수: a/b (a, b는 정수, b≠0) 꼴로 나타낼 수 있는 수
절댓값: 수직선에서 원점까지의 거리 (항상 ≥ 0)

|a| = a (a≥0), |a| = -a (a<0)

⚡ 유리수 ⊃ 정수 ⊃ 자연수 ⚡ 0의 절댓값 = 0 ⚡ 양수 > 0 > 음수

덧셈: 부호 같으면 합 · 부호 다르면 차 (절댓값 큰 쪽 부호)
뺄셈: 빼는 수 부호 바꿔 덧셈으로
곱셈/나눗셈: 부호 같으면 (+), 다르면 (−)

예제

(-3) × (+4) ÷ (-2)를 계산하여라.

= (-12) ÷ (-2) = +6 = 6

문자와 식

일차식: 차수가 1인 다항식 (예: 3x − 2)
계수: 문자에 곱해진 수
동류항: 문자와 차수가 같은 항 → 더하고 뺄 수 있음

a(b+c) = ab + ac (분배법칙)
3(2x−1) = 6x − 3

⚡ 1×x = x (계수 1 생략) ⚡ x÷3 = x/3 ⚡ 동류항끼리만 계산

예제

4(x−2) − 3(2x−1)을 간단히 하여라.

= 4x−8−6x+3 = −2x−5

일차방정식

등식의 성질: 양변에 같은 수를 더하거나 빼거나 곱하거나 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등호 성립
이항: 한 변의 항을 부호를 바꾸어 다른 변으로 이동

ax = b → x = b/a (a ≠ 0)

⚡ 미지수는 좌변, 상수는 우변 ⚡ 계수를 1로 만들기 ⚡ 반드시 검산하기

예제

3(x−2) = x + 4를 풀어라.

3x−6 = x+4 → 2x = 10 → x = 5

비례식 풀이

a : b = c : d 이면 ad = bc (내항의 곱 = 외항의 곱)

2 : 3 = x : 9 → 3x = 18 → x = 6

소인수분해

다음 중 소수인 것은?

11은 소수도 합성수도 아닙니다.

29 = 3², 15 = 3×5, 51 = 3×17 → 합성수

323은 1과 23 이외의 약수가 없으므로 소수입니다.

정답: ④ 23

소인수분해

120을 소인수분해하면 2^a × 3^b × 5^c일 때, a+b+c의 값은?

1120 ÷ 2 = 60, 60 ÷ 2 = 30, 30 ÷ 2 = 15

215 ÷ 3 = 5, 5 ÷ 5 = 1

3120 = 2³ × 3¹ × 5¹ → a=3, b=1, c=1

4a+b+c = 3+1+1 = 5

정답: ③ 5

소인수분해 — 약수의 개수

2³ × 3² × 7의 약수의 개수는?

1약수의 개수 공식: (지수+1)의 곱

22³ × 3² × 7¹ → (3+1)(2+1)(1+1)

3= 4 × 3 × 2 = 24

정답: ③ 24

정수와 유리수 — 분류

다음 수 중 정수가 아닌 유리수의 개수는?
-3, 5/2, 0, -7/7, 1.6, 4

1-3: 음의 정수 → 정수

25/2 = 2.5: 정수 아닌 유리수 ✓

30: 정수(0)

4-7/7 = -1: 음의 정수 → 정수

51.6 = 8/5: 정수 아닌 유리수 ✓

64: 양의 정수 → 정수

7정수 아닌 유리수: 5/2, 1.6 → 2개

정답: ② 2개

정수와 유리수 — 절댓값

절댓값이 7/3보다 작거나 같은 정수의 개수는?

17/3 = 2.333… ≈ 2.3

2|x| ≤ 7/3 이면 -2.33… ≤ x ≤ 2.33…

3이 범위의 정수: -2, -1, 0, 1, 2 → 5개

정답: ③ 5개

유리수의 계산 — 혼합

(-2)³ ÷ (-4) × 3 을 계산하면?

1(-2)³ = -8

2(-8) ÷ (-4) = +2

32 × 3 = 6

정답: ② 6

유리수의 계산 — 분수

(-3/4) ÷ (9/8) × (-2/3) 를 계산하면?

1나눗셈은 역수 곱셈으로: (-3/4) × (8/9) × (-2/3)

2부호: (-)(-)= (+) → 양수

3수 계산: (3×8×2)/(4×9×3) = 48/108 = 4/9

4(-3/4) × (8/9) × (-2/3) = +4/9

정답: ⑤ 4/9

정수 — 수의 대소 비교

다음 중 대소 관계가 옳은 것은?

1① -1/2=-0.5, -1/3≈-0.333 → -0.5 < -0.333 → 틀림

2② |-5|=5, |3|=3 → 5 > 3 → 틀림

3③ -0.5 < -0.3 → 틀림

4④ -3/4=-0.75, -2/3≈-0.667 → -0.75 < -0.667 → 옳음 ✓

5⑤ -(-2)=+2, 2 > 1 → 틀림

정답: ④ -3/4 < -2/3

문자와 식 — 식의 값

x = -2, y = 3 일 때, 3x² - 2y + 1의 값은?

1x=-2 대입: x² = (-2)² = 4

23x² = 3 × 4 = 12

3y=3 대입: -2y = -2×3 = -6

412 + (-6) + 1 = 7

정답: ③ 7

문자와 식 — 일차식 계산

2(3x − 4) − 3(x − 2)를 간단히 하면?

12(3x−4) = 6x − 8

2-3(x−2) = -3x + 6

3(6x−8) + (−3x+6) = 3x − 2

정답: ① 3x − 2

문자와 식 — 등식의 성질

등식 ax + b = cx + d에서 x에 대한 등식으로 옳은 것만 고른 것은?
㉠ 양변에 같은 수를 더해도 등호 성립
㉡ 양변에 0을 곱해도 등호 성립
㉢ 양변을 0으로 나누면 등호 성립
㉣ 양변에 같은 수를 곱해도 등호 성립

1㉠ 양변에 같은 수 덧셈 → 등호 성립 ✓

2㉡ 양변에 0을 곱하면 0=0 → 등호 성립하지만 정보 소실 (허용은 됨)

3㉢ 0으로 나누기는 정의되지 않음 → 불가 ✗

4㉣ 양변에 같은 수 곱하기 → 등호 성립 ✓

5등식의 성질: ㉠, ㉣이 핵심 (방정식 풀이에 사용)

정답: ③ ㉠, ㉣

일차방정식 — 풀기

방정식 5x − 3 = 3x + 7의 해는?

15x − 3x = 7 + 3 (이항)

22x = 10

3x = 5

4검산: 5×5−3=22, 3×5+7=22 ✓

정답: ⑤ x = 5

일차방정식 — 괄호 포함

방정식 4(x + 1) = 2(3x − 5)의 해는?

14x + 4 = 6x − 10 (괄호 전개)

24 + 10 = 6x − 4x (이항)

314 = 2x → x = 7

4검산: 4(7+1)=32, 2(3×7−5)=2×16=32 ✓

정답: ④ x = 7

일차방정식 — 분수 포함

방정식 x/2 − 1 = x/3 + 1의 해는?

1양변에 분모의 최소공배수 6을 곱하기

23x − 6 = 2x + 6

33x − 2x = 6 + 6 → x = 12

4검산: 12/2−1=5, 12/3+1=5 ✓

정답: ④ x = 12

일차방정식 — 활용 (나이)

현재 아버지의 나이는 아들 나이의 4배이다. 10년 후에는 아버지 나이가 아들 나이의 2배가 된다면, 현재 아들의 나이는?

1현재 아들 나이를 x라 하면 아버지 나이 = 4x

210년 후: 아버지 4x+10, 아들 x+10

3방정식: 4x+10 = 2(x+10)

44x+10 = 2x+20 → 2x = 10 → x = 5

5현재 아들 나이: 5세 → 가장 가까운 선택지 확인...

6검산: 아버지=20, 10년후 아버지=30, 아들=15, 30=2×15 ✓

정답: ③ 5세
현재 아들=5세, 아버지=20세 / 10년후: 아들=15세, 아버지=30세 → 30=2×15 ✓

일차방정식 — 활용 (속력)

집에서 학교까지 시속 4km로 걸어가면 시속 12km로 자전거를 타고 가는 것보다 20분 더 걸린다. 집에서 학교까지의 거리는?

1거리를 x km라 하자.

2걸어가는 시간: x/4 시간, 자전거 시간: x/12 시간

320분 = 1/3 시간

4x/4 − x/12 = 1/3

5양변×12: 3x − x = 4 → 2x = 4 → x = 2

6검산: 걷기=2/4=0.5h, 자전거=2/12=1/6h, 차이=1/3h=20분 ✓

정답: ② 2 km

일차방정식 — 비례식

(3x+1) : 5 = (x+3) : 3 일 때, x의 값은?

1비례식: 내항의 곱 = 외항의 곱

25(x+3) = 3(3x+1)

35x+15 = 9x+3

415−3 = 9x−5x → 12 = 4x → x = 3

5검산: (3×3+1):5 = 10:5 = 2, (3+3):3 = 6:3 = 2 ✓

정답: ③ x = 3

소인수분해 — 최대공약수·최소공배수

두 수 36과 48의 최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM)의 합은?

136 = 2² × 3², 48 = 2⁴ × 3

2GCD = 2² × 3 = 12 (공통 소인수, 작은 지수)

3LCM = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144 (공통 소인수, 큰 지수)

4GCD + LCM = 12 + 144 = 156

정답: ③ 156

문자와 식 — 활용 (거스름돈)

1개에 500원인 사탕과 1개에 300원인 껌을 합쳐서 20개 사고 8000원을 냈을 때, 거스름돈이 생기지 않았다면 사탕을 몇 개 샀는가?

1사탕 수를 x라 하면, 껌 수 = 20−x

2500x + 300(20−x) = 8000

3500x + 6000 − 300x = 8000

4200x = 2000 → x = 10

5검산: 500×10+300×10=5000+3000=8000 ✓

정답: ② 10개

복합 — 최고난도

어떤 자연수 n에 대해 n을 소인수분해하면 2² × 3 × p (p는 소수)이고, n의 약수의 개수는 12개이다. 이때 p의 값은?

1n = 2² × 3¹ × p¹ (p는 2,3과 다른 소수)

2약수의 개수 = (2+1)(1+1)(1+1) = 3×2×2 = 12 ✓

3조건을 만족하는 p: 2와 3이 아닌 어떤 소수도 가능

4예) p=5이면 n=60, p=7이면 n=84, p=11이면 n=132

5모두 약수의 개수 12개를 만족함

정답: ⑤ p는 2, 3이 아닌 어떤 소수도 가능
단, 문제에서 p는 2와 3이 아닌 소수여야 합니다. 따라서 ⑤가 정답.

중1·1학기 수학 기말 핵심 기출 20선

제한시간: 40분 | 객관식 5지선다

1. 다음 중 소수인 것은?

① 1　② 9　③ 15　④ 23　⑤ 51

2. 120을 소인수분해하면 2^a × 3^b × 5^c일 때, a+b+c의 값은?

① 3　② 4　③ 5　④ 6　⑤ 7

3. 2³ × 3² × 7의 약수의 개수는?

① 20　② 22　③ 24　④ 26　⑤ 28

4. −3, 5/2, 0, −7/7, 1.6, 4 중 정수가 아닌 유리수의 개수는?

① 1개　② 2개　③ 3개　④ 4개　⑤ 5개

5. 절댓값이 7/3보다 작거나 같은 정수의 개수는?

① 3개　② 4개　③ 5개　④ 6개　⑤ 7개

6. (−2)³ ÷ (−4) × 3을 계산하면?

① −6　② 6　③ −12　④ 12　⑤ 3

7. (−3/4) ÷ (9/8) × (−2/3)을 계산하면?

① −2/9　② 2/9　③ −1/9　④ 1/9　⑤ 4/9

8. 다음 중 대소 관계가 옳은 것은?

① −1/2 > −1/3　② |−5| < |3|　③ −0.5 > −0.3　④ −3/4 < −2/3　⑤ −(−2) < 1

9. x = −2, y = 3일 때, 3x² − 2y + 1의 값은?

① 3　② 5　③ 7　④ 9　⑤ 11

10. 2(3x − 4) − 3(x − 2)를 간단히 하면?

① 3x−2　② 3x+2　③ 3x−14　④ 3x+14　⑤ 3x−10

11. 등식의 성질 중 옳은 것만 고른 것은? (㉠더하기, ㉡×0, ㉢÷0, ㉣같은 수 곱하기)

① ㉠,㉡　② ㉠,㉢　③ ㉠,㉣　④ ㉡,㉢　⑤ ㉡,㉣

12. 방정식 5x − 3 = 3x + 7의 해는?

① x=1　② x=2　③ x=3　④ x=4　⑤ x=5

13. 방정식 4(x + 1) = 2(3x − 5)의 해는?

① x=4　② x=5　③ x=6　④ x=7　⑤ x=8

14. 방정식 x/2 − 1 = x/3 + 1의 해는?

① x=6　② x=8　③ x=10　④ x=12　⑤ x=14

15. 현재 아버지는 아들의 4배 나이. 10년 후 아버지가 아들의 2배이면, 현재 아들 나이?

① 3세　② 4세　③ 5세　④ 6세　⑤ 7세

16. 시속 4km 도보 vs 시속 12km 자전거, 20분 차이. 학교까지 거리는?

① 1km　② 2km　③ 3km　④ 4km　⑤ 5km

17. (3x+1) : 5 = (x+3) : 3 일 때, x의 값은?

① 1　② 2　③ 3　④ 4　⑤ 5

18. 36과 48의 최대공약수와 최소공배수의 합은?

① 132　② 144　③ 156　④ 168　⑤ 180

19. 사탕(500원)과 껌(300원) 합계 20개, 8000원. 사탕 몇 개?

① 8개　② 10개　③ 12개　④ 14개　⑤ 16개

20. n = 2² × 3 × p (p는 소수), 약수의 개수 12개일 때 p는?

① 5　② 7　③ 11　④ 13　⑤ 어떤 소수도 가능

정답 및 해설

문항	정답	핵심 풀이
1	④	23은 소수, 1은 소수 아님, 9=3², 15=3×5, 51=3×17
2	③	120=2³×3×5 → a=3,b=1,c=1 → 합=5
3	③	(3+1)(2+1)(1+1)=4×3×2=24
4	②	5/2, 1.6이 정수 아닌 유리수 → 2개
5	③	7/3≈2.33, 정수: -2,-1,0,1,2 → 5개
6	②	(-2)³=-8, (-8)÷(-4)=2, 2×3=6
7	⑤	(-3/4)×(8/9)×(-2/3)=+4/9
8	④	-3/4=-0.75 < -2/3≈-0.667 → 옳음
9	③	3×4-6+1=12-6+1=7
10	①	6x-8-3x+6=3x-2
11	③	0으로 나누기 불가, 나머지 ㉠㉣ 성립
12	⑤	2x=10 → x=5
13	④	4x+4=6x-10 → 2x=14 → x=7
14	④	×6: 3x-6=2x+6 → x=12
15	③	4x+10=2(x+10) → 2x=10 → x=5 (선택지 ③:5세)
16	②	x/4-x/12=1/3 → 2x=4 → x=2km
17	③	5(x+3)=3(3x+1) → 5x+15=9x+3 → x=3
18	③	GCD=12, LCM=144, 합=156
19	②	500x+300(20-x)=8000 → x=10
20	⑤	(2+1)(1+1)(1+1)=12, p는 2,3 아닌 모든 소수 가능

중1·1학기 수학
핵심 기출 20선

📚 단원별 핵심 개념 & 암기

소인수분해

정수와 유리수

문자와 식

일차방정식

🎯 최종 결과

중1·1학기 수학 기말 핵심 기출 20선

정답 및 해설

중1·1학기 수학핵심 기출 20선

📚 단원별 핵심 개념 & 암기

소인수분해

정수와 유리수

문자와 식

일차방정식

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정답 및 해설

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